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seba23393
Nivel 6
Edad: 31
Registrado: 27 Mar 2013
Mensajes: 258
Carrera: No especificada
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Brai11
Nivel 5
Edad: 31
Registrado: 29 Jun 2012
Mensajes: 157
Carrera: Industrial y Mecánica
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si alguno tiene tiempo porfavor pase todo el parcial pq me fue muy mal 
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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 11
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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| Estoy en la misma con el Ej 1, un garrón.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Para el punto a), analizando la parametrización ![[tex]\phi[/tex]](images/latex/7d54d851a6c3d8eeea3473c298592b88e2219186_0.png "[tex]\phi[/tex]") se puede ver que los puntos de la superficie ![[tex]S_1[/tex]](images/latex/04019efb0a69e3bf00b2b26c8385ef6484e24d4a_0.png "[tex]S_1[/tex]") satisfacen en coordenadas cartesianas la ecuación ![[tex]z = x^2 + 2y^2[/tex]](images/latex/b389b1202240ad346367c7ed8b848c41c8f85fcc_0.png "[tex]z = x^2 + 2y^2[/tex]") . ![[tex]S_1 \cap S_2[/tex]](images/latex/0ad12cc6798ab4eb7a7d7fa7e1baf1bd08e12849_0.png "[tex]S_1 \cap S_2[/tex]") es entonces la curva cuyos puntos satisfacen el sistema de ecuaciones:
![[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}x^2 + 2y^2 & = & z \\x^2 + y^2 & = & 1\end{array} \right .[/tex]](images/latex/fe298fc035cdcbf4794004e2f6001f49a8b7451b_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}x^2 + 2y^2 & = & z \\x^2 + y^2 & = & 1\end{array} \right .[/tex]")
Que es equivalente al sistema de ecuaciones:
![[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}1 + y^2 & = & z \\x^2 + y^2 & = & 1\end{array} \right .[/tex]](images/latex/e3651de056539d8ced2cad2961ae92d95d3a2c0c_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}1 + y^2 & = & z \\x^2 + y^2 & = & 1\end{array} \right .[/tex]")
Entonces, una parametrización posible de la curva C es ![[tex]\gamma(t) = (\cos t,\ \sen t,\ 1 + \sen^2 t)[/tex]](images/latex/e79a50613faa3bbcdbe1eda95dbc7e8f7e036747_0.png "[tex]\gamma(t) = (\cos t,\ \sen t,\ 1 + \sen^2 t)[/tex]") para ![[tex]t \in [0, 2\pi][/tex]](images/latex/2f928b626d71ae7419494f5c666e418d986d3ebd_0.png "[tex]t \in [0, 2\pi][/tex]") . Se deja como ejercicio comprobar que es regular (jeje).
Para el punto b), el plano dado tiene como vector normal a [/tex]](images/latex/0af219f47015487ec6ffcba2d388e8a9e1a8a34d_0.png "[tex](\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)[/tex]") . Usando la parametrización de C del punto a), el vector tangente es ![[tex]\gamma'(t) = (-\sen t,\ \cos t,\ 2\sen t\cos t)[/tex]](images/latex/446b6ac89e1ad3e743e76677f51a756c602cc06a_0.png "[tex]\gamma'(t) = (-\sen t,\ \cos t,\ 2\sen t\cos t)[/tex]") . El vector tangente a C será ortogonal al plano en un punto ![[tex]X = \gamma(t)[/tex]](images/latex/af75b401416405b2c46f3516acb4f45db9fbf078_0.png "[tex]X = \gamma(t)[/tex]") de la curva si para ese valor de t, ![[tex]\gamma'(t)[/tex]](images/latex/9bb570d5a94ff0fb0be05906c1be723f11281075_0.png "[tex]\gamma'(t)[/tex]") es paralelo al vector normal del plano, es decir, si existe algún ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") real tal que ![[tex]\gamma'(t) = \lambda(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)[/tex]](images/latex/0df55536816d733e3667bb18c2026c0bca8152c0_0.png "[tex]\gamma'(t) = \lambda(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)[/tex]") . Entonces, hay que encontrar todas las soluciones [/tex]](images/latex/9fa0877e2057599b8211ddf46d3cbcf014ed08b0_0.png "[tex](t, \lambda)[/tex]") del sistema de ecuaciones:
![[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}\sen t & = & -\lambda \sqrt{2} \\\cos t & = & \lambda \sqrt{2} \\2\sen t\cos t & = & 2\lambda\end{array} \right .[/tex]](images/latex/02844ea5e01e1be92e8ec146676d3dd3f144c8f5_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{rcl}\sen t & = & -\lambda \sqrt{2} \\\cos t & = & \lambda \sqrt{2} \\2\sen t\cos t & = & 2\lambda\end{array} \right .[/tex]")
Ese sistema tiene una sola solución que cumple : ![[tex]t = \frac{3\pi}{4}[/tex]](images/latex/6dee9ecd1fa540993598e2bfbb761781ec2e0ff8_0.png "[tex]t = \frac{3\pi}{4}[/tex]") con ![[tex]\lambda = -\frac{1}{2}[/tex]](images/latex/d54cd9ab2c8089e2516e215ac47f4dacd827384d_0.png "[tex]\lambda = -\frac{1}{2}[/tex]") . Así que hay un solo punto en el que el vector tangente a C es ortogonal al plano: ![[tex]\gamma \left (\frac{3\pi}{4} \right ) = \left (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{2} \right )[/tex]](images/latex/ec6dfb8f4b946203576235ae00dcab0e20f9a8a1_0.png "[tex]\gamma \left (\frac{3\pi}{4} \right ) = \left (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{2} \right )[/tex]") .
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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
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Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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Tratemos de resolverlo, investigando he notado que la superficie parametrizada que da inicialmente es muy parecida a la parametrización de un paraboloide Elíptico.
![[tex] S(u,v)=(a.v.\cos{u}\:;b.v.\sen{u}\:;v^2)\: [/tex]](images/latex/3b0510d5ef2ff32f89bd751f8bf5c7f1d24e4a39_0.png "[tex] S(u,v)=(a.v.\cos{u}\:;b.v.\sen{u}\:;v^2)\: [/tex]")
Siendo el paraboloide Elíptico:
![[tex] \displaystyle\frac{z}{c}\: = \: \displaystyle\frac{x^2}{a^2} \: + \: \frac{y^2}{b^2} [/tex]](images/latex/defce0f48f3e04eb0f3d1d123e1bd6597e45f0fe_0.png "[tex] \displaystyle\frac{z}{c}\: = \: \displaystyle\frac{x^2}{a^2} \: + \: \frac{y^2}{b^2} [/tex]")
El ejercicio plantea:
![[tex] \phi(u,v)=(\displaystyle\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u}\:;v.\sen{u}\:;v^2)\: [/tex]](images/latex/cf4482d0d04877a6141efba7784202cadb3f9813_0.png "[tex] \phi(u,v)=(\displaystyle\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u}\:;v.\sen{u}\:;v^2)\: [/tex]")
para intersectar con:
![[tex] x^2 + y^2 = 1[/tex]](images/latex/d6322580997d1913e59a40508825cdff9f2c0bb5_0.png "[tex] x^2 + y^2 = 1[/tex]")
Tengo aún así inseguridad al momento de plantear una analogía entre la parametrización que encontré y la dada en el examen, ¿Qué suponen?
Fuente:
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/jc/cuad_param.html
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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
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Carrera: Electrónica
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Por favor, pongan en duda mi planteo y resolución, yo creo haberlo hecho bien pero no tengo toda la seguridad, pueden revisarlo.
ENUNCIADO:
1) Sea ![[tex] S_1 [/tex]](images/latex/f7daf55c8008c95fbf4940c7c871c3c3fcfd7beb_0.png "[tex] S_1 [/tex]") , La superficie parametrizada por: ![[tex] \phi : D\subset R^2\longrightarrow{}R^3 [/tex]](images/latex/0658e017c7ccfb92d47930c6fac4d7db1768834c_0.png "[tex] \phi : D\subset R^2\longrightarrow{}R^3 [/tex]")
Que es:
![[tex] \phi (u;v) = (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u} \, ;v\sen{u} \, ;v^2) [/tex]](images/latex/22d43a60ec84aceef5ebdc4dc173f81a8514270b_0.png "[tex] \phi (u;v) = (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u} \, ;v\sen{u} \, ;v^2) [/tex]")
Con ![[tex] D=\left\{{(u,v)\in{} R^2 : v\geq0 ,\: 0\leq u \leq 2 \pi }\right\} [/tex]](images/latex/c615716453f1d5c00d7c999f82671ee2b348f32a_0.png "[tex] D=\left\{{(u,v)\in{} R^2 : v\geq0 ,\: 0\leq u \leq 2 \pi }\right\} [/tex]")
y sea ![[tex] S_2 [/tex]](images/latex/96de47f0d53aca044a52393cdad8666ee021974f_0.png "[tex] S_2 [/tex]") la superficie de ecuación: ![[tex] x^2 + y^2 = 1 [/tex]](images/latex/46e240a782408885ca2fcc451fb3036f83c6b852_0.png "[tex] x^2 + y^2 = 1 [/tex]")
a) Hallar una parametrización regular para la curva ![[tex] C=S_1 \cap S_2 [/tex]](images/latex/e40bc746e41ae06810b9369ab6eeb4fb27d1960d_0.png "[tex] C=S_1 \cap S_2 [/tex]")
b)Hallar, si existen, los puntos de ![[tex] C [/tex]](images/latex/3518ab32da03faeecd63477faa015af636b479d4_0.png "[tex] C [/tex]") donde el vector tangente es ortogonal al plano de ecuación ![[tex] -\sqrt[]{2}x - \sqrt[]{2}y + 2z = 4 + \sqrt[]{2} [/tex]](images/latex/ac83877ca52f9359b26539d2a000ea60e9336a2f_0.png "[tex] -\sqrt[]{2}x - \sqrt[]{2}y + 2z = 4 + \sqrt[]{2} [/tex]")
Resolución:
a) Busco la intersección :
Se puede establecer la sig. igualdad que conserva la relación de la ec. ![[tex] \phi [/tex]](images/latex/61901f672082d94f9f58e58a78996665e3aed88c_0.png "[tex] \phi [/tex]") , como: ![[tex] 2x^2 + y^2 = z [/tex]](images/latex/8b76ddb61374586f9dd2ddb98175413f08fbfd6e_0.png "[tex] 2x^2 + y^2 = z [/tex]")
Queda demostrada dicha relación, como:
![[tex] 2 (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u})^2 + (v\sen{u})^2 = v^2 [/tex]](images/latex/73a4f3e17077c47df6d01401cfe3a3b9ebeafe9d_0.png "[tex] 2 (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u})^2 + (v\sen{u})^2 = v^2 [/tex]")
Donde despejando se cumple la igualdad ![[tex] v^2 = v^2 [/tex]](images/latex/a1ea7ab0256569517c9258331dc073a0975b5aa6_0.png "[tex] v^2 = v^2 [/tex]")
Entonces ahora puedo definir la intersección: ![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2 + y^2 = z \\ x^2 + y^2 = 1 \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/a6ca4669c52aa900c3281f250243ca51494f393f_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2 + y^2 = z \\ x^2 + y^2 = 1 \\\end{array}\right. [/tex]")
Donde resolviendo y despejando llego a ![[tex] z = x^2 + 1 [/tex]](images/latex/c0b52fd99759924e7e65615b5538cddcf68a2d74_0.png "[tex] z = x^2 + 1 [/tex]")
Puedo considerar ![[tex] x=cos(t) ; y=sen(t) [/tex]](images/latex/83c7a8e718f773dee8c5f2cc65e7c615b4088186_0.png "[tex] x=cos(t) ; y=sen(t) [/tex]") Entonces ![[tex] z = cos^2 (t) + 1 [/tex]](images/latex/51966b87c752fcf31faf9c1e68ace3d87109cdb7_0.png "[tex] z = cos^2 (t) + 1 [/tex]")
Obteniendo así la parametrización:
![[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos(t) \, ; sen(t) \, ; cos^2 (t) + 1 ) [/tex]](images/latex/3243657bb7b7b1683ee4200bbec95c6dfea5abe3_0.png "[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos(t) \, ; sen(t) \, ; cos^2 (t) + 1 ) [/tex]")
Que resulta regular, ya que no se anula su derivada respecto a t.
![[tex] \overline{ \varphi}^{\prime} (t) = ( -sen(t) \, ; cos(t) \, ; -2sen(t) cos(t) ) [/tex]](images/latex/6d6341700aa93af81e0b55cbdd1dce02097c56bf_0.png "[tex] \overline{ \varphi}^{\prime} (t) = ( -sen(t) \, ; cos(t) \, ; -2sen(t) cos(t) ) [/tex]")
b)
Las direcciones tangentes a la curva las obtengo de
y como deben ser estas direcciones, normales al plano , en otras palabras, deberán ser paralelas a la normal del plano ![[tex] \overline{N} = ( -\sqrt[]{2} \, ; -\sqrt[]{2} \, ; 2) [/tex]](images/latex/f43c0b8f6561034d430d89aa75aaf2fe77252146_0.png "[tex] \overline{N} = ( -\sqrt[]{2} \, ; -\sqrt[]{2} \, ; 2) [/tex]")
Planteando que esas direcciones tangentes a la curva son múltiplo de la normal del plano, entonces:
![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda ( - \sqrt{2} ) = - sen (t) \\ \lambda ( - \sqrt{2} ) = cos (t) \\ \lambda 2 = -2 sen (t) cos (t) \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/7d2f4ed9e965acf301d53765cfa86a45f6c37c76_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda ( - \sqrt{2} ) = - sen (t) \\ \lambda ( - \sqrt{2} ) = cos (t) \\ \lambda 2 = -2 sen (t) cos (t) \\\end{array}\right. [/tex]")
Despejando obtengo ![[tex] \lambda = \displaystyle\frac{1}{2} [/tex]](images/latex/0b64b7e783adf09b237bb6923bd2175dc02fbc5a_0.png "[tex] \lambda = \displaystyle\frac{1}{2} [/tex]")
Ese valor lo reemplazo en el sistema de ecuaciones anterior, obteniendo así:
![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} sen (t) = \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos (t) = ( - \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ sen (t) cos (t) = ( - \displaystyle\frac{1}{2} ) \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/997ea3711aebdf05853663c60472f4933b81eb77_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} sen (t) = \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos (t) = ( - \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ sen (t) cos (t) = ( - \displaystyle\frac{1}{2} ) \\\end{array}\right. [/tex]")
Donde depejando llego al valor ![[tex] t = \displaystyle\frac{3}{4} \pi [/tex]](images/latex/744cd1b91c63ee8a246c5944a29e047360d5a60f_0.png "[tex] t = \displaystyle\frac{3}{4} \pi [/tex]")
Dicho valor lo reemplazo en la parametrización para hallar el/los punto/s donde se cumple esta condición de la dirección tangente que sea paralela a la normal del plano.
![[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; sen( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; cos^2 ( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) + 1 ) \: = \: ( - \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{3}{2} ) \, = \, P [/tex]](images/latex/633a7165d89f239b790d1962bdf3fd33c6e0326e_0.png "[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; sen( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; cos^2 ( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) + 1 ) \: = \: ( - \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{3}{2} ) \, = \, P [/tex]")
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nnmm
Nivel 1
Registrado: 10 Dic 2013
Mensajes: 2
Carrera: No especificada
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Queria saber si se estan olvidando del 7/4pi o directamente no va?.
El punto seria P=(raiz2/2;-raiz2/2;3/2)
y me sumo al pedido del 3. Todo si es posible .
Gracias.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| nnmm escribió:
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Queria saber si se estan olvidando del 7/4pi o directamente no va?
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No va. El sistema de 3 ecuaciones que surge de pedir que el vector tangente a la curva sea paralelo a la normal del plano no tiene solución para ningún si ![[tex]t = \frac{7\pi}{4}[/tex]](images/latex/3805b5f0bc2011c6482d512958244dfbcc4ab224_0.png "[tex]t = \frac{7\pi}{4}[/tex]") .
| nnmm escribió:
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y me sumo al pedido del 3.
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a) El conjunto de nivel 0 de f es x = 0. Que en coordenadas polares es la unión del conjunto ![[tex]\theta = \frac{\pi}{ 2}[/tex]](images/latex/a47a4ff7dd3ae9471be767e2183ce915c1f58be0_0.png "[tex]\theta = \frac{\pi}{ 2}[/tex]") (y positivas) con el conjunto ![[tex]\theta = \frac{3\pi}{2}[/tex]](images/latex/97d31d6ee696f48682ac9a590c5d2616fb2d69e8_0.png "[tex]\theta = \frac{3\pi}{2}[/tex]") (y negativas). El conjunto de nivel e de f es aquel para el cual ![[tex]e^{y/|x|} = e[/tex]](images/latex/d287473e93bc14d2be652b6f3f5d2ec404117441_0.png "[tex]e^{y/|x|} = e[/tex]") , es decir, y = |x|. Que en coordenadas polares es la unión del conjunto ![[tex]\theta = \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/45d3943550a7aac53afc96f21b97da706b59b62b_0.png "[tex]\theta = \frac{\pi}{4}[/tex]") (x positivas) con el conjunto ![[tex]\theta = \frac{3\pi}{4}[/tex]](images/latex/414be634e7447a4698bbfac70940eaab1b85f0a1_0.png "[tex]\theta = \frac{3\pi}{4}[/tex]") (x negativas).
b) El límite de f para  \to (0, 0)[/tex]](images/latex/e1994282b00a67bb29012615ad3543d93761129c_0.png "[tex](x, y) \to (0, 0)[/tex]") por rectas de la forma y = ax da diferente para cada una: ![[tex]e^a[/tex]](images/latex/987a47c1a4a13f08b6dd1356ab08490c7cf597d2_0.png "[tex]e^a[/tex]") o ![[tex]e^{-a}[/tex]](images/latex/9b0e7a186c7b7109672887821c2172006d0949fc_0.png "[tex]e^{-a}[/tex]") si ![[tex]x \to 0^+[/tex]](images/latex/f1c8eb551612c78a9097b03d982737486f07535c_0.png "[tex]x \to 0^+[/tex]") o ![[tex]x \to 0^-[/tex]](images/latex/f38183cdff0274c52f3d9f47fa29824057983ea8_0.png "[tex]x \to 0^-[/tex]") , respectivamente, y diferente además para cada a. Así que f no puede ser contínua. Ni tampoco diferenciable, entonces, porque diferenciable ![[tex]\Rightarrow[/tex]](images/latex/50d9fd969a9908886f5754ebc6d6b6f747c8c7c5_0.png "[tex]\Rightarrow[/tex]") contínua.
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neodymio
Nivel 8
Registrado: 27 Ago 2011
Mensajes: 791
Carrera: Mecánica
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| Huey 7 escribió:
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Para el punto a), analizando la parametrización se puede ver que los puntos de la superficie satisfacen en coordenadas cartesianas la ecuación . es entonces la curva cuyos puntos satisfacen el sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al sistema de ecuaciones:
Entonces, una parametrización posible de la curva C es para . Se deja como ejercicio comprobar que es regular (jeje).
Para el punto b), el plano dado tiene como vector normal a . Usando la parametrización de C del punto a), el vector tangente es . El vector tangente a C será ortogonal al plano en un punto de la curva si para ese valor de t, es paralelo al vector normal del plano, es decir, si existe algún real tal que . Entonces, hay que encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones:
Ese sistema tiene una sola solución que cumple : con . Así que hay un solo punto en el que el vector tangente a C es ortogonal al plano: .
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Si no me avivo como pasar de la parametrizacion a implicita, hay otro metodo?
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Sitio en construcción.
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