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alfred_oh
Nivel 4



Registrado: 20 Feb 2013
Mensajes: 102


austria.gif
MensajePublicado: Vie May 03, 2013 3:48 pm  Asunto:  Ayuda:Concepto de variación total de f en un intervalo[a,b] Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Estoy intentando entender el concepto de variación total que es como lo pone el Wikipedia el siguiente:
________________________________________________________________________________________________________________
"La variacion total de una función real f:[a,b]->R que está definida en un intervalo cerrado es el Supremo (la cota superior mas pequeña)
Image
donde sup es el Supremo de todas las Particiones que se pueden formar
Image
del intervalo [a,b] La n dada depende de P"
________________________________________________________________________________________________________________
Lo que he entendido es lo siguiente: Tenemos por una parte un función que no necesariamente es continua ya que no se especifica así en la definición. Esta esta definida en el intervalo [a,b]. Ahora definimos todas las posibles particiones del intervalo [a,b], por lo tanto estas particiones serán infinitas. y a traves de la formula
Image
Calculamos las variaciones, es decir sumamos todas las diferencias f(x_k)-f(x_k-1) para todas las i's entre 1 y n(el numero de particiones que tiene un partición cualquiera). Una vez tenemos todas las particiones, las colocamos en un conjunto y buscamos el supremo de ese conjunto de variaciones. El supremo sera la VARIACION TOTAL.
------------------------------------------------¿Está bien hasta allí?------------------
Estas son las cosas que no entiendo:
¿El numero de particiones que puedo obtener del intervalo [a,b] es infinito? ¿Si es así entonces no se puede calcular "a mano" todos las variaciones?
¿Si no se puede calcular todas las variaciones cómo podremos entonces averiguar el supremo?
Por ultimo les dejo un ejemplo que pone en Wikipedia de una funcion con variacion infinita:
________________________________________________________________________________________________________________
Queremos demostrar que para el intervalo [0,1] la función continua
Image
cumple que:
Image
Para todos los n∊N son
Image
entiendo que (t_k)^(n) es una de las divisiones de la una particion con n "intervalos"
Debido a que se cumple
Image
y como la serie armónica diverge la Variacion es infinita
________________________________________________________________________________________________________________
Aquí si que me mareo =S
1.¿De dónde se saca ese 1/(n+1-k) para k∊{1,...,n}?
2.Cómo se obtiene el último sumatorio?
3.Cómo se llega a la serie armónica? Se que ella diverge pero como la obtenemos?

Espero que me puedan echar una mano con esto! Gracias!


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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
CARRERA.electronica.5.gif
MensajePublicado: Sab May 04, 2013 3:23 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

alfred_oh escribió:
Estas son las cosas que no entiendo:
¿El numero de particiones que puedo obtener del intervalo [a,b] es infinito?

Sí.

alfred_oh escribió:
¿Si es así entonces no se puede calcular "a mano" todos las variaciones?

Claro, no podés calcularlas una por una.

alfred_oh escribió:
¿Si no se puede calcular todas las variaciones cómo podremos entonces averiguar el supremo?

Con ingeniosas deducciones matemáticas :P

Respecto al ejemplo:

alfred_oh escribió:
1.¿De dónde se saca ese 1/(n+1-k) para k∊{1,...,n}?

Es una partición del intervalo [0, 1] convenientemente elegida para obtener un conjunto de sumas que no está acotado superiormente, y demostrar así que la variación total de f(t) en el intervalo [0, 1] es infinito. Ver respuestas anterior y siguiente Smile

alfred_oh escribió:
2.Cómo se obtiene el último sumatorio?
3.Cómo se llega a la serie armónica? Se que ella diverge pero como la obtenemos?

[tex]f(t_{k+1}^{(2n)}) = t_{k+1}^{(2n)} \cos \left ( \frac{\pi}{2t_{k+1}^{(2n)}} \right ) =\frac{1}{2n-k} \cos \left [ (2n-k) \frac{\pi}{2} \right ] =\left \{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac{(-1)^{n-r}}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r \\0 & \mbox{si } k = 2r+1\end{array} \right .[/tex]

Para r = 0, 1, ..., n - 1. Dado que para k impar (k = 2r+1), 2n-k es impar y el coseno de múltiplos impares de [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] es 0, y para k par (k = 2r), 2n-k es par, y el coseno de múltiplos pares de [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] es 1 ó -1. Asimismo:

[tex]f(t_k ^{(2n)}) = \left \{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{si } k = 0 \\\displaystyle t_k ^{(2n)} \cos \left ( \frac{\pi}{2t_k ^{(2n)}} \right ) &\mbox{si } k = 1, ..., 2n-1\end{array} \right . =\left \{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{si } k = 0 \\\displaystyle \frac{1}{2n+1-k} \cos \left [ (2n+1-k) \frac{\pi}{2} \right ] &\mbox{si } k = 1, ..., 2n-1\end{array} \right . =[/tex]
[tex]= \left \{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{si } k = 2r \\\displaystyle \frac{(-1)^{n-r}}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r+1\end{array} \right .[/tex]

Entonces:

[tex]f(t_{k+1}^{(2n)}) - f(t_k ^{(2n)}) = \left \{ \begin{array}{rl}\displaystyle \frac{(-1)^{n-r}}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r \\\displaystyle -\frac{(-1)^{n-r}}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r+1\end{array} \right .[/tex]

[tex]|f(t_{k+1}^{(2n)}) - f(t_k ^{(2n)})| = \left \{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac{1}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r \\\displaystyle \frac{1}{2(n-r)} & \mbox{si } k = 2r+1\end{array} \right .[/tex]

[tex]\sum_{k = 0}^{2n-1} |f(t_{k+1}^{(2n)}) - f(t_k ^{(2n)})| = \sum_{r = 0}^{n-1} \frac{1}{2(n-r)} + \sum_{r = 0}^{n-1} \frac{1}{2(n-r)} = \sum_{r = 0}^{n-1} \frac{1}{n-r} = \sum_{v = 1}^n \frac{1}{v}[/tex]

Haciendo el cambio de índice v = n - r. Como la serie armónica diverge, para todo K real positivo hay un N natural para el cual si n > N, [tex]\sum_{v = 1}^n \frac{1}{v} > K[/tex]. Que entonces significa que para todo K real positivo existe una partición [tex]t_k ^{(2n)}[/tex] para la cual [tex]\sum_{k = 0}^{2n-1} |f(t_{k+1}^{(2n)}) - f(t_k ^{(2n)})| > K[/tex]. Que entonces significa que el conjunto de sumas de ese estilo es no acotado superiormente.

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gedefet
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MensajePublicado: Lun May 06, 2013 5:07 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

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Elmo Lesto
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MensajePublicado: Mar May 07, 2013 12:01 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

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