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RampaC
Nivel 2
Joined: 02 Jan 2011
Posts: 12
Carrera: Química
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Estoy teniendo problemas al intentar calcular la integral ![[tex] \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^3+8} [/tex]](images/latex/46fd427dd2a75305b552689493cec63e3587b53f_0.png "[tex] \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^3+8} [/tex]") aplicando el teorema del residuo. Sé que existe un teorema para calcularlas cuando la función tiene un polo en el eje real (como en este caso), pero el polo está fuera de los límites de integración y la integral diverge en ![[tex] (-\infty,+\infty) [/tex]](images/latex/3310724e49707c7b9203ed76154e8dc930712916_0.png "[tex] (-\infty,+\infty) [/tex]") según Wolfram. Probé armando una curva ![[tex] \Gamma_r = [0,r] \cup \gamma_r \cup L_r [/tex]](images/latex/836c591774f04118fe3871e2b3c3badf74496660_0.png "[tex] \Gamma_r = [0,r] \cup \gamma_r \cup L_r [/tex]") siendo ![[tex] \gamma_r : z(t)=e^{ti}; 0 \le t \le \frac \pi 2 [/tex]](images/latex/dfcb989afbdff3aec780b7e72b1c612356711b97_0.png "[tex] \gamma_r : z(t)=e^{ti}; 0 \le t \le \frac \pi 2 [/tex]") y ![[tex] L_r : z(t)=ti; 0 \le t \le r [/tex]](images/latex/7f272ff26d8480faf2ab9577f60dcc68dfcf0f1a_0.png "[tex] L_r : z(t)=ti; 0 \le t \le r [/tex]") pero al intentar calcular la integral sobre el último camino me encuentro en el mismo problema.
Estoy trabado, les agradezco si pueden ayudarme.
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koreano
Nivel 9
Joined: 15 Jul 2010
Posts: 1796
Carrera: No especificada
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Para el ![[tex]\gamma_r[/tex]](images/latex/6067516bf75b6bb1b99280f74443e5f7adb1cbf4_0.png "[tex]\gamma_r[/tex]") te faltó incluir el término del radio. No me acuerdo bien a qué tenés que llegar pero la idea es que sea la contribución de todos los segmentos sea 0 excepto la parte sobre el eje real. Para eso tenías que usar esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_lemma o alguno de los lemas de Jordan (puede que la contribución de algun cachito no de 0 y lo tengas que restar o sumar a tu integral). Después es hacer la suma de los residuos que en este caso es 1 sola singularidad la que interesa
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RampaC
Nivel 2
Joined: 02 Jan 2011
Posts: 12
Carrera: Química
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Sí, fue un error de al pasarlo.
El tema es que como lo planteé, ![[tex] \oint_{\Gamma_r} f(z)dz=\int_0^r f(z)dz+\int_{\gamma_r} f(z)dz+\int_{L_r}f(z)dz=0 [/tex]](images/latex/038eaeee1eb4e9583241b9c9304347b7f83262f3_0.png "[tex] \oint_{\Gamma_r} f(z)dz=\int_0^r f(z)dz+\int_{\gamma_r} f(z)dz+\int_{L_r}f(z)dz=0 [/tex]") por el teorema de Cauchy. Acotando, llego a que ![[tex] \lim_{r \to \infty} \int_{\gamma_r} f(z)dz=0 [/tex]](images/latex/b85a0f9a3a52903a272dfe696202298c367ef898_0.png "[tex] \lim_{r \to \infty} \int_{\gamma_r} f(z)dz=0 [/tex]") pero cuando intento calcular la integral sobre ![[tex] L_r [/tex]](images/latex/10bdcbb02389e63e23d917c39e858ae19c462b14_0.png "[tex] L_r [/tex]") , vuelvo prácticamente a la original, así que algo debe estar mal...
Se supone que se calcula con residuos, pero la única singularidad está fuera del recinto de integración, además que la integral diverge en y en ![[tex] (-2,+\infty) [/tex]](images/latex/6c942f744f04fbc35ac4fb9366e1e956ea70b6b5_0.png "[tex] (-2,+\infty) [/tex]") .
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df
Nivel 9
Age: 33
Joined: 15 May 2010
Posts: 2298
Carrera: Civil
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| Hay 3 singularidades, las 3 raices cubicas de -8. Si integrás sobre una curva que sea un cacho del eje real, despues un arco de circunferencia, y volves al origen por el eje imaginario, cuando el radio del arco tiende a infinito, la integral ahi se va a 0, y te quedan 2 integrales, y de alguna forma marihuanezca.. las relacionás y asi sale.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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M1thrand1r
Nivel 4
Age: 31
Joined: 08 Apr 2013
Posts: 92
Carrera: Electrónica
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| Dios..... asiq esto es analisis 3 eh..... la pucha.
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RampaC
Nivel 2
Joined: 02 Jan 2011
Posts: 12
Carrera: Química
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| df wrote:
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Hay 3 singularidades, las 3 raices cubicas de -8. Si integrás sobre una curva que sea un cacho del eje real, despues un arco de circunferencia, y volves al origen por el eje imaginario, cuando el radio del arco tiende a infinito, la integral ahi se va a 0, y te quedan 2 integrales, y de alguna forma marihuanezca.. las relacionás y asi sale.
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Claro, qué gil, me olvidé que estaba en variable compleja... Bueno, entonces la integral me daría ![[tex] 2 \pi i \cdot \mbox{Res}\left[ \frac 1{z^3+8},1+\sqrt3 i \right] [/tex]](images/latex/66cc92dcabc2946d1f01eec4c510f80d9cce9030_0.png "[tex] 2 \pi i \cdot \mbox{Res}\left[ \frac 1{z^3+8},1+\sqrt3 i \right] [/tex]") menos la integral sobre el eje imaginario (ya que sobre el arco de curva se hace 0)... que no sé cómo corno la calculo ahora, pero estoy medio quemado con este ejercicio, después veo cómo lo termino.
Gracias a los dos por contestar!
PD: df la cursaste siguiendo Civil? La tenés como optativa?
| M1thrand1r wrote:
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Dios..... asiq esto es analisis 3 eh..... la pucha.
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Ésto es sólo la primera parte de Análisis III 
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df
Nivel 9
Age: 33
Joined: 15 May 2010
Posts: 2298
Carrera: Civil
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Si, la hice siguiendo civil, como optativa.
La onda sería que ese 2pi i por el residuo, tenga parte real e imaginaria, y que la integral sobre el eje imaginario de solo imaginario, sin parte real, y la integral que queres es la parte real de 2pi i por el residuo, pero justo esa integral sobre el eje imaginario da un numero con parte real distinta de 0, o sea, un ejercicio de mierda, y buscar algun otro camino para integrar sería flashearla demasiado, no se me ocurre la verdad.
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RampaC
Nivel 2
Joined: 02 Jan 2011
Posts: 12
Carrera: Química
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Cómo calculaste la integral sobre el eje imaginario? Me queda ![[tex] \lim_{r \to \infty} \int_{L_r} f(z)dz=\lim_{r \to \infty} \int_0^r \frac{i}{i^3 t^3+8}dt=-\lim_{r \to \infty} \int_0^r \frac{dt}{t^3+8} [/tex]](images/latex/6dddac5330cc7d69336561e2acd402781088a5ae_0.png "[tex] \lim_{r \to \infty} \int_{L_r} f(z)dz=\lim_{r \to \infty} \int_0^r \frac{i}{i^3 t^3+8}dt=-\lim_{r \to \infty} \int_0^r \frac{dt}{t^3+8} [/tex]") que es lo que decía, volvía a la integral original...
Porque si tiene parte real no importa, se suma o resta a la que da la otra, pero lo que tiene que pasar es que tenga parte imaginaria y sea opuesta a la de la otra integral.
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RampaC
Nivel 2
Joined: 02 Jan 2011
Posts: 12
Carrera: Química
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| Ahora que veo bien, se van todas las i así que el resultado sería real no más, así que no va a pasar lo que digo... Posta que sí, ejercicio de mierda!
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