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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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Buenas! Les hago una consulta a ver si alguno me puede dar una mano. Tengo una distribución de cargas sobre un cuadrado y me piden el campo eléctrico sobre la recta perpendicular al mismo pasante por el centro del cuadrado. Ahora bien, plateando por definición me volví loco para resolver la integral e incluso con wolfram y mathcad me quedaba algo realmente horrible, pero realicé una analogía con el plano infinito que no se si es del todo correcta.
Sobre el eje descripto el campo va a tener dirección coincidente por cuestiones de simetría, entonces yo pensé que se puede aplicar Gauss tomando un cubo infinitesimo alineado con el cuadrado y considerando que el campo en las proximidades del eje es constante. Se obtiene así la misma expresión que para uno plano infinito. Ahora bien, creo yo que si o si tiene que depender del lado del cuadrado, cosa que en este caso no sucede.
Seguramente haya que resolverlo por definición pero quizás se me está perdiendo algún detalle para facilitar el asunto. Muchas gracias de antemano! Saludos!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Está bien lo que hiciste. Para puntos muy cercanos al plano, las dimensiones del mismo son mucho mayores que esa distancia. Por ende, el campo electrostático, en puntos muy cercanos, es el mismo que el de un plano infinito (y no depende del lado del cubo que consideraste, depende de la distribución de cargas).
Cuando te alejas, tenes que considerar los efectos de borde que se dan en los límites físicos del plano. Cosa que no es fácil para nada.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| nachito44 escribió:
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Ahora bien, plateando por definición me volví loco para resolver la integral e incluso con wolfram y mathcad me quedaba algo realmente horrible [...] creo yo que si o si tiene que depender del lado del cuadrado[...]
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Sí, queda algo horrible  Y sí, el resultado depende del lado del cuadrado L. Aplicando la Ley de Coulomb te tiene que haber quedado:
![[tex]\vec E(0, 0, z) = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \iint_S \frac{z \hat k - x \hat i - y \hat j}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}dxdy[/tex]](images/latex/8bcd07dddb9d16b9a50733a7e53ee8cd79b65e89_0.png "[tex]\vec E(0, 0, z) = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \iint_S \frac{z \hat k - x \hat i - y \hat j}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}dxdy[/tex]")
Que son tres integrales dobles, una para cada componente. Las de las componentes en ![[tex]\hat i[/tex]](images/latex/f6620b1fa3e2e46115b5c61674f37fdf2ce105cb_0.png "[tex]\hat i[/tex]") y ![[tex]\hat j[/tex]](images/latex/f58533886108dfbb79934905df8e34db2102bf19_0.png "[tex]\hat j[/tex]") son 0 porque:
![[tex]\int_{-L/2}^{L/2} \frac{(-x)dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left . \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2} = 0[/tex]](images/latex/abdff83dd4436907ee2603ee0f055809a2f86b4e_0.png "[tex]\int_{-L/2}^{L/2} \frac{(-x)dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left . \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2} = 0[/tex]")
![[tex]\int_{-L/2}^{L/2} \frac{(-y)dy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left . \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2} = 0[/tex]](images/latex/fd82d137a0d3401f8088d99558b9b85a487b25b9_0.png "[tex]\int_{-L/2}^{L/2} \frac{(-y)dy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left . \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2} = 0[/tex]")
Ésas eran las fáciles, la difícil es la que queda en la componente en ![[tex]\hat k[/tex]](images/latex/48c95c032c08f9d9492f954c10435daed5dc156f_0.png "[tex]\hat k[/tex]") , y si hay alguna forma saber cuánto da sin Wolfram, desconozco 
![[tex]\iint_S \frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \int_{-L/2}^{L/2} \left [ \int_{-L/2}^{L/2} \frac{zdx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right ] dy=[/tex]](images/latex/f39173f6df02a70721246ae6030846d4eb65c98d_0.png "[tex]\iint_S \frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \int_{-L/2}^{L/2} \left [ \int_{-L/2}^{L/2} \frac{zdx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right ] dy=[/tex]")
![[tex]= \int_{-L/2}^{L/2} \left . \frac{zx}{(y^2 + z^2)\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2}dy = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{Lz}{(y^2 + z^2)\sqrt{(L/2)^2 + y^2 + z^2}} dy =[/tex]](images/latex/6fd09d1daabe1e0fc86f91ad658a5d54996c87f1_0.png "[tex]= \int_{-L/2}^{L/2} \left . \frac{zx}{(y^2 + z^2)\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right |_{-L/2}^{L/2}dy = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{Lz}{(y^2 + z^2)\sqrt{(L/2)^2 + y^2 + z^2}} dy =[/tex]")
![[tex]= \left . 2 \arctg \left ( \frac{Ly}{2z \sqrt{(L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right ) \right |_{-L/2}^{L/2} = 4 \arctg \left ( \frac{L^2}{4z \sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right )[/tex]](images/latex/82f9e226aaa372a2ab2dcc995af6a85d4984d2de_0.png "[tex]= \left . 2 \arctg \left ( \frac{Ly}{2z \sqrt{(L/2)^2 + y^2 + z^2}} \right ) \right |_{-L/2}^{L/2} = 4 \arctg \left ( \frac{L^2}{4z \sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right )[/tex]")
Considerando ![[tex]\frac{1}{z} = \frac{1}{|z|}[/tex]](images/latex/9ce093b505b12531c5c478b9122ea0c24f166388_0.png "[tex]\frac{1}{z} = \frac{1}{|z|}[/tex]") si z > 0, y ![[tex]-\frac{1}{|z|}[/tex]](images/latex/ee255ef7c115b8a8c521398d0d862399e768a805_0.png "[tex]-\frac{1}{|z|}[/tex]") si z < 0, y que ![[tex]\arctg x[/tex]](images/latex/df06f383bdada74a7ccefdde4be3f96024b38867_0.png "[tex]\arctg x[/tex]") es impar, esto se puede escribir como:
![[tex]\iint_S \frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left \{ \begin{array}{rl}4\arctg \left ( \displaystyle \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) & \mbox{si } z > 0 \\-4\arctg \left ( \displaystyle \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) & \mbox{si } z < 0\end{array}\right .[/tex]](images/latex/25819b1c24aab718a9eb0d8705163ef535c15bcb_0.png "[tex]\iint_S \frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \left \{ \begin{array}{rl}4\arctg \left ( \displaystyle \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) & \mbox{si } z > 0 \\-4\arctg \left ( \displaystyle \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) & \mbox{si } z < 0\end{array}\right .[/tex]")
Entonces:
![[tex]\vec E(0, 0, z) = \left \{ \begin{array}{rl}\displaystyle \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\arctg \left ( \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) \hat k & \mbox{si } z > 0 \\\displaystyle -\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\arctg \left ( \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) \hat k & \mbox{si } z < 0\end{array}\right .[/tex]](images/latex/04b56dbc88b74f646138ea87ac1c80ea6447969e_0.png "[tex]\vec E(0, 0, z) = \left \{ \begin{array}{rl}\displaystyle \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\arctg \left ( \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) \hat k & \mbox{si } z > 0 \\\displaystyle -\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\arctg \left ( \frac{L^2}{4|z|\sqrt{2(L/2)^2 + z^2}} \right ) \hat k & \mbox{si } z < 0\end{array}\right .[/tex]")
Cuando ![[tex]L \to +\infty[/tex]](images/latex/218b78497f23dbe92441754cc7401d7b7a33314d_0.png "[tex]L \to +\infty[/tex]") da la expresión del plano infinito, ya que la inversa de la tangente tiende a ![[tex]\textstyle \frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/62b7fa2e7ebf266b625db3ebec3f082f712fc53e_0.png "[tex]\textstyle \frac{\pi}{2}[/tex]") . Y estando cerca del plano (|z|/L suficientemente pequeño) lo mismo, el argumento de la inversa de la tangente es grande.
EDIT: Redacción y presentación.
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Última edición por Huey 7 el Mie Abr 10, 2013 7:56 pm, editado 2 veces
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Son unos grosos. Ahora tengo la tranquilidad que estaba bien orientado en mi razonamiento que no es poca cosa jajaj. Gracias!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Wolfram salva las patatas de vuelta. Y huey hace lo suyo tambien. Para aportar algo: siempre que te queden integrales horribles está bien dejarlas sin resolver, pero yo antes le echaría un ojo a posibles aproximaciones, tanto por simetría como de "esto tiende a tanto cuando esto otro tiende a tanto".
Dije tanto como 8 veces, este mensaje va a ser facil de comprimir en la base de datos del tanto digo foro.
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giselars7
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 184
Ubicación: Berazategui
Carrera: Electrónica y Mecánica
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| Hago una consulta relacionada a este problema, pero en este caso se le suma una distribucion lineal infinita. Lo que tengo que buscar es donde ubicarla como para que el campo resultante a 15 cm del centro del cuadrado me de cero. Lo que primero deduje es que tienen que ser paralelos, no? Pero de ahi ya me trabo y no se que hacer, me podrian dar una mano?
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![[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]](images/latex/af60243d6e4925a5612ac9bcba143670b8a83b2d_0.png "[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Calculá por separado y después usa el ppio de superposicion
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