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alfred_oh
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Registrado: 20 Feb 2013
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MensajePublicado: Sab Feb 23, 2013 4:52 pm  Asunto:  Maximo, Minimo, Infimo y Supremo de este conjunto Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenas, tengo que indicar si este conjunto:
Image
tiene Maximo, Minimo, Infimo o Supremo y si es asi decir cual es.
Alguien me echa una mano porfa? Gracias!


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sabian_reloaded
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Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2921
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Sab Feb 23, 2013 5:14 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Tenés que buscar máximos y mínimos... ¿qué usás entonces?

Derivada.

[tex] \frac {d} {dx} \left (x + \frac {1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0[/tex]

Entonces la función tiene un único punto críticos en

[tex] x = 1 [/tex] (en los reales positivos)

Además [tex] f(1) = 2, f\left (\frac {1}{2} \right) = \frac {5}{2}, f (2) = \frac {5}{2} [/tex]

Por lo tanto en x=1 tenés un mínimo, que vale 2. También va a ser el ínfimo porque está dentro del conjunto.

Luego tenés máximo en x=2, (no compartido con x=1/2 porque este último no pertenece al conjunto). Nuevamente, 5/2 es máximo y supremo.


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alfred_oh
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Registrado: 20 Feb 2013
Mensajes: 102


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MensajePublicado: Dom Feb 24, 2013 5:23 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

sabian_reloaded escribió:
Tenés que buscar máximos y mínimos... ¿qué usás entonces?

Derivada.

[tex] \frac {d} {dx} \left (x + \frac {1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0[/tex]

Entonces la función tiene un único punto críticos en

[tex] x = 1 [/tex] (en los reales positivos)

Además [tex] f(1) = 2, f\left (\frac {1}{2} \right) = \frac {5}{2}, f (2) = \frac {5}{2} [/tex]

Por lo tanto en x=1 tenés un mínimo, que vale 2. También va a ser el ínfimo porque está dentro del conjunto.

Luego tenés máximo en x=2, (no compartido con x=1/2 porque este último no pertenece al conjunto). Nuevamente, 5/2 es máximo y supremo.


Gracias por la explicación! Ahora me quedo más claro. Sólo una pregunta, ya que sabemos que sólo hay un punto crítico en x=1 y que los dos extremos en x de nuestra funcion son f(1/2)=5/2 (un poco menos, pues 1/2 no esta en el Dominio) y f(2)=5/2 quiere decir que en el intervalo (1/2,1) y (1,2] no habrá un valor por encima de 5/2 o por debajo de 1? De lo contrarió se tendrían que haber obtenido al buscar los puntos criticos no? Gracias!


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sabian_reloaded
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Edad: 24
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2921
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Dom Feb 24, 2013 6:33 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Guarda la función en x=1 vale 2, no 1.

Y yo en realidad derivé no para ver los máximos y mínimos propiamente dichos sino para ver en que regiones crecía y decrecía la función; es decir, los pasos por cero de la derivada.

Como en la región que estamos trabajando sólo hay un paso por cero de ella y, además, al evaluar en puntos cercanos nos da valores más altos => concluímos que es un mínimo (x=1, f(x) = 2).

Luego como es monótonamente creciente (es decir, no se estaciona en ningún lado -equivalente a derivada nula- ) podemos decir que los máximos en ese intervalo los alcanza en los bordes.

No sé si era esto lo que preguntabas.

Saludos


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alfred_oh
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Registrado: 20 Feb 2013
Mensajes: 102


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MensajePublicado: Dom Feb 24, 2013 7:59 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

sabian_reloaded escribió:
Guarda la función en x=1 vale 2, no 1.

Y yo en realidad derivé no para ver los máximos y mínimos propiamente dichos sino para ver en que regiones crecía y decrecía la función; es decir, los pasos por cero de la derivada.

Como en la región que estamos trabajando sólo hay un paso por cero de ella y, además, al evaluar en puntos cercanos nos da valores más altos => concluímos que es un mínimo (x=1, f(x) = 2).

Luego como es monótonamente creciente (es decir, no se estaciona en ningún lado -equivalente a derivada nula- ) podemos decir que los máximos en ese intervalo los alcanza en los bordes.

No sé si era esto lo que preguntabas.

Saludos


Gracias! Si más o menos era eso. Me interesa mucho lo que dices "como es monótonamente creciente (es decir, no se estaciona en ningún lado -equivalente a derivada nula- )" Eso es algún teorema? Yo utilizo esto para estudiar la monotonia:
"La derivada de una función nos indica la monotonía de la misma, es decir, los intervalos donde la función crece y decrece y estos intervalos determinan los máximos y mínimos locales de la función.
Cuando, para un intervalo de X, f'(x)>0 la función es creciente en ese intervalo
Cuando, para un intervalo de X, f'(x)<0 la función es decreciente en dicho intervalo.
Cuando f'(x)=0, la función puede tener en X un máximo o un mínimo local, la determinación de si es un máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas, vendrá dada por la monotonía."
En este caso cojo un elemento del intervalo (1/2,1) por ejemplo 1/4 y lo evaluo en f'(x) y me da que es negativo por lo tanto la funcion es monotonamente decreciente
Luego, cojo un elemento del intervalo (1,2] por ejemplo 2 y me da que es positivo por lo tanto la funcion es monotonamente creciente.
Lo que pasa es que volvemos a lo mismo, como se que para el intervalo de (1/2,1) f'(x)<0? Porque cogiendo solo un elemento del intervalo no vale no? Gracias!


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sabian_reloaded
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MensajePublicado: Dom Feb 24, 2013 3:31 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Claro que vale! Es una mezcla de mostrar que vale 0 en un único punto de ese intervalo con lo que se obtiene de la evaluación en un punto (siempre y cuando f' sea contínua).

Pensá que cambiar de signo requiere un paso por 0, y ya se probó que el único lugar donde pasa eso es x=1.


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