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Mensaje |
alfred_oh
Nivel 4
Registrado: 20 Feb 2013
Mensajes: 102
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Buenas, tengo que analizar la convergencia de estas series:
1)
Mi libro propone usar el criterio del Mayorante desarrollando de la siguiente forma:
para todo k>=3 y debido a que la serie:
por ser la Telescopica converge, nuestra serie tambien converge. Mi pregunta es: ¿Por
qué k tiene que ser >= que 3? Exactamente que quiere decir que k>=3? Qué el indice
inferior de las dos series lo tenemos que cambiar a 3? O tal vez que tenemos que ignorar
los dos primeros valores, para k=1 y k=2 de ambas series?
2)Me ocurre lo mismo con esta serie:
El libro utiliza el Criterio del Cociente:
Colocando la restriccion de para k>=3. Se trata del mismo procedimiento que el del ejercicio anterior?
Alguien me podría echar una mano porfa? Gracias!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Entiendo que son simplemente casos particulares en los que no se cumple la desigualdad a la que se pretende llegar para utilizar el criterio de convergencia del problema. Y que por lo tanto, para probar convergencia (o no convergencia) se requieren unos pasos extra más para tenerlo en cuenta.
Para el criterio usado en 1) quieren probar que:
![[tex]0 \leq \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \leq \frac{1}{k(k+1)}[/tex]](images/latex/36d2bd05877e906763de60c2bfb44e8f20b73c4c_0.png "[tex]0 \leq \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \leq \frac{1}{k(k+1)}[/tex]")
Que no se cumple para k =1, ya que:
![[tex]\frac{1}{1!} - \frac{3}{(1+1)!} = 1 - \frac{3}{2!} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} < 0[/tex]](images/latex/8820474290f6d937649b16e8524df8500330cc90_0.png "[tex]\frac{1}{1!} - \frac{3}{(1+1)!} = 1 - \frac{3}{2!} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} < 0[/tex]")
Para k = 2 sin embargo sí se cumple, no sé por qué lo excluyen:
![[tex]\frac{1}{2!} - \frac{3}{(2+1)!} = \frac{1}{2} - \frac{3}{3!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \geq 0[/tex]](images/latex/804dbd2689723cdedbf636cc40948ed0ab1da96c_0.png "[tex]\frac{1}{2!} - \frac{3}{(2+1)!} = \frac{1}{2} - \frac{3}{3!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \geq 0[/tex]")
O sea, se cae en la igualdad, pero no tiene nada de raro. Pero que el criterio no se cumpla para k = 1 en particular no interesa, ya que:
![[tex]\sum_{k=1}^\infty \left ( \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \right ) = -\frac{1}{2} + \sum_{k=2}^\infty \left ( \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \right )[/tex]](images/latex/b2795c9f9970efedf296442fdea3a0d25fd78816_0.png "[tex]\sum_{k=1}^\infty \left ( \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \right ) = -\frac{1}{2} + \sum_{k=2}^\infty \left ( \frac{1}{k!} - \frac{3}{(k+1)!} \right )[/tex]")
Si segunda serie converge (digamos, a un cierto real L) por el criterio utilizado, ya que para ésa se cumplen las desigualdades para todos los k's involucrados (para k = 2 la desigualdad "por debajo" es una igualdad, pero no importa), la original también converge (a L - ![[tex]\textstyle \frac{1}{2}[/tex]](images/latex/32959d7f651895458d90f15604e2a4cad8bcc075_0.png "[tex]\textstyle \frac{1}{2}[/tex]") ).
Para el criterio usado en 2) la parte importante de la resolución es probar que:
![[tex]\frac{k^2 + k}{(k+1)^2+k+1} \geq \frac{1}{3}[/tex]](images/latex/1032cbb3ea33e16e6b4d91b3a2bbb63872ce7535_0.png "[tex]\frac{k^2 + k}{(k+1)^2+k+1} \geq \frac{1}{3}[/tex]")
Para probar que:
![[tex]\left | \frac{\displaystyle \frac{3^{2k+1}}{(k+1)^2+k+1}}{\displaystyle \frac{3^{2k-1}}{k^2+k}} \right | = 9\frac{k^2 + k}{(k+1)^2+k+1} \geq 3 > 1[/tex]](images/latex/16cf53665939b6e4bb6a1c70029a7ea6bd243a7f_0.png "[tex]\left | \frac{\displaystyle \frac{3^{2k+1}}{(k+1)^2+k+1}}{\displaystyle \frac{3^{2k-1}}{k^2+k}} \right | = 9\frac{k^2 + k}{(k+1)^2+k+1} \geq 3 > 1[/tex]")
Y la desigualdad de más arriba se cumple incluso para k = 2 y k = 1 (es una igualdad en este último caso), así que no sé el porqué de las dos exclusiones.
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