| Autor |
Mensaje |
Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
|
|
Buenas!
En un ejercicio tengo que buscar una matriz que cumpla ciertos requisitos. Uno de ellos es:
Máx { ||Ax||^2 : ||x|| = 2 } = 30
sé que:
mín (AVA) =< (xT . A . x) / ||x|| =< máx (AVA)
y que ||Ax||^2 = (Ax , Ax) = xT A^T A x
Pero no logro calcular el valor singular máximo de todos esos datos... debe ser alguna burrada pero alguno me tira alguna punta? Gracias.
|
|
|
|
_________________
91,67%
|
|
| |
    |
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
¿Estos son todos tus datos? ¿No te dan la matriz? ¿No te dicen nada de la matriz?
La desigualdad de Rayleigh es ![[tex]\lambda_{m} \le \frac{Q(x)}{\left\|x\right\|^{2}} \le \lambda_{M}[/tex]](images/latex/5d3ef3546303824a78e32cc594455df9a081e80c_0.png "[tex]\lambda_{m} \le \frac{Q(x)}{\left\|x\right\|^{2}} \le \lambda_{M}[/tex]") para ![[tex]Q(x)[/tex]](images/latex/1f7f305b111ce3100d0d10d6ab55dcc04784e97b_0.png "[tex]Q(x)[/tex]") una forma cuadrática (en este caso la norma).
|
|
|
|
Última edición por Jackson666 el Lun Ene 28, 2013 6:31 pm, editado 1 vez
|
|
   |
|
|
Educ
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 20 Nov 2010
Mensajes: 158
Ubicación: The land of a new Rising Sun
Carrera: Informática
|
|
Vos sabes que los valores singulares de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") (![[tex]\sigma[/tex]](images/latex/21eed4cb9fd04eabb3403f769936c26db30fc52b_0.png "[tex]\sigma[/tex]") ) son iguales a la raíz de los autovalores de ![[tex]A^{T}A[/tex]](images/latex/40a11d82c16dc037962b62f04f27f126db39807e_0.png "[tex]A^{T}A[/tex]") (![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") ). Aparte vos tenes que ![[tex]Q(x)=||Ax||^2=x^{T}A^{T}Ax[/tex]](images/latex/c2845a5f060be3a532600b7e60b9332d97410a3c_0.png "[tex]Q(x)=||Ax||^2=x^{T}A^{T}Ax[/tex]") y ![[tex]\left \| x \right \| = 2[/tex]](images/latex/75d647e3d747072e98ce271297f6c9805d9821e8_0.png "[tex]\left \| x \right \| = 2[/tex]") , entonces por la desigualdad de Rayleigh:
![[tex]\lambda_{min}\left \| x \right \|^2 \leq Q(x)\leq \lambda_{max}\left \| x \right \|^2[/tex]](images/latex/3c990b3f7e72d0a875e7df5bb87d1d17f49fbf3f_0.png "[tex]\lambda_{min}\left \| x \right \|^2 \leq Q(x)\leq \lambda_{max}\left \| x \right \|^2[/tex]")
Reemplazando por los datos:
![[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\lambda_{max}[/tex]](images/latex/4d9cde57888b191ac343b5af44221453a4831adb_0.png "[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\lambda_{max}[/tex]")
Como ya sabes el valor del máximo, te queda ![[tex]4 \sqrt{\lambda_{max}}=30[/tex]](images/latex/d22c30c6655f3fc834e1053f7207599605aeb724_0.png "[tex]4 \sqrt{\lambda_{max}}=30[/tex]") y que ![[tex]\sqrt{\lambda_{max}}=\sigma_{max}[/tex]](images/latex/2d28c9670151dc6596c712637f531e83c527748c_0.png "[tex]\sqrt{\lambda_{max}}=\sigma_{max}[/tex]") , despejas y tenes el valor singular máximo.
Si no me mande ninguna burrada, debería andar bien.
|
|
|
|
_________________
![[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]](images/latex/e3a87c6a535556aa0fe8fe5950da6dd436e4e2ba_0.png "[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]")
|
|
  |
 |
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
| Sí, eso está bien y se ve. La cuestión es el mínimo me parece. ¿De dónde lo sacas? Si no te dan datos sobre la matriz, no recuerdo que haya alguna relación entre los VS.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Educ
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 20 Nov 2010
Mensajes: 158
Ubicación: The land of a new Rising Sun
Carrera: Informática
|
|
| Ah no, con eso datos ni idea, supongo que deben dar algún que otro dato más. Igual solo preguntó por el valor singular máximo :p
|
|
|
|
_________________
|
|
| |
|
|
Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
|
|
Sí sí! hay 2 datos más (generadores del Nul(A) y la matriz de proyección P del Col(A)), pero mi duda era sobre esta gilada  .
Me quedó:
![[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\lambda_{max} = 30[/tex]](images/latex/ba0cbd5e93bfad3f2a6ab8beef643b69ca49c70b_0.png "[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\lambda_{max} = 30[/tex]")
![[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\sigma_{max}^2 = 30[/tex]](images/latex/64ee5840ff467fa0cbba805159f8c38ed7e9ddb5_0.png "[tex]4\lambda_{min} \leq \left \| Ax \right \|^2 \leq 4\sigma_{max}^2 = 30[/tex]")
![[tex] \left \|Ax \right \| \leq 2\sigma_{max} = \sqrt{30}[/tex]](images/latex/b4d96458438b314a3019e5ce71d5a8655efded7c_0.png "[tex] \left \|Ax \right \| \leq 2\sigma_{max} = \sqrt{30}[/tex]")
![[tex]\sigma_{max} = \sqrt{30}/2[/tex]](images/latex/1972ca7b148441de1bde26fb151b74eb8e589a10_0.png "[tex]\sigma_{max} = \sqrt{30}/2[/tex]")
Mil gracias a ambos!
|
|
|
|
_________________
91,67%
|
|
| |
|
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
| Educ escribió:
|
|
Ah no, con eso datos ni idea, supongo que deben dar algún que otro dato más. Igual solo preguntó por el valor singular máximo :p
|
Ah, nunca lo leí 
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
