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Autor Mensaje
Basterman
Nivel 9


Edad: 33
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329

Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mie Dic 19, 2012 11:37 am  Asunto:  Integracion aproximada por ¿Gauss-Legendre? Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Tengo la siguiente formula

[tex]\int_{-1}^{1}f(x)*(1+x^{2})dx=af(-1)+bf(0)+cf(1)[/tex]

Me piden encontrar a b c tal que la solucion sea exacta para polinomios mayor grado posible, en este caso seria 5.

Plantee el sistema de ecuaciones y suponiendo que conozco x1 x2 y x3 (-1 0 y 1) despeje a b y c. Aca tengo mi primer problema, ya que tenia entendido que las raices de este metodo y las constantes ya estan normalizadas, pero partiendo desde las x's que uso, nada me da lo mismo.
Asi que hice de cuenta que no sabia ninguna raiz ni nada y llegue a lo que tenia que llegar, hasta ahi todo piola.

El punto (b) se trata de aproximar [tex]\int_{0}^{1}x^{4}[/tex] usando la formula que halle en la primera parte. Usando mis datos, y despues de hacer el cambio de variables, no me da ni cerca de la solucion exacta, y usando las raices y coeficientes normalizados de este metodo, tampoco me da.

Cualquier ayuda es bienvenida, rindo hoy.


Geminis Género:Masculino Serpiente OcultoGalería Personal de BastermanVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Basterman
Nivel 9


Edad: 33
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329

Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mie Dic 19, 2012 4:50 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Que foro choto, nadie sabe un carajo(?)

Bue, contestenla para Febrero al menos, no para mi porque hoy apruebo de alguna manera, pero a alguien mas le tiene que servir.


Geminis Género:Masculino Serpiente OcultoGalería Personal de BastermanVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
violethill
Nivel 5


Edad: 34
Registrado: 27 Ago 2009
Mensajes: 152

Carrera: Informática
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MensajePublicado: Mie Dic 19, 2012 6:32 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

no me acuerdo ni en pedo, baster... =(

_________________
And as i turned to you, you smiled at me, how could we say no?

Tauro Género:Femenino Dragón OfflineGalería Personal de violethillVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Lautaz
Nivel 8



Registrado: 05 Sep 2008
Mensajes: 550

Carrera: Informática y Sistemas
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MensajePublicado: Mie Dic 19, 2012 6:56 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Suena a cuadratura de Gauss pero la verdad ni idea jeje

¿En qué curso estás?

_________________
61.7

Death ... By exile

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Spike Spiegel
Nivel 9


Edad: 35
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507

Carrera: Informática
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MensajePublicado: Mie Dic 19, 2012 8:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ese problema es una cuadratura de Gauss PERO NO de Legendre, ahí está el punto. La idea es resolver con la definición pura de cuadratura de Gauss, donde ese (1+x^2) es la función de ponderación (busquen en Wikipedia).

El problema por el cual el resultado de aproximar x^4 no es exacto a pesar de tener grado menor a 5 lo voy a aclarar más abajo.

Vos ya tenés los puntos en los cuales evaluar para que sea una cuadratura de Gauss, así que solo te queda plantear como estimo que habrás hecho para sacar a, b y c.

Lo que hay que notar acá, es que esos valores en los que evaluás f(x) son las raíces de x(1-x^2), el cual es un polinomio ortogonal a 1+x^2 para el intervalo [-1,1] (la integral del producto de los polinomios da 0, remember producto interno en espacios de polinomios en Álgebra II). Es un detalle, pero vale la pena saberlo al que le interese entender bien el tema.

Ahora vamos al punto (b):

Vos tenés la integral entre 0 y 1 de x^4, que es lo mismo que 1/2 integral
entre -1 y 1 por ser función impar.

Lo que hay que hacer es llevar eso a la forma de nuestra cuadratura. Dividís y multiplicás por la función de peso 1+x^2, por lo que ahora la f(x) sobre la que vas a evaluar es x^4 / 1 +x^2.

Con eso ya tenés tu aproximación (te falta dividir por 2, obviamente).

Ahora, la pregunta que se hacen todos: ¿por qué no da exacto, si hasta grado 5 se banca?

Porque lo que tiene que ser un polinomio es esa f(x)con la que aproximo

En el caso de la cuadratura Gauss-Legendre, como la función de ponderación es w(x) = 1, todo mi integrando es igual a la f(x) con la que aproximo. Sin embargo, esta que tenemos acá es otra cuadratura inventada y nuestra f(x) usada para aproximar x^4 no es un polinomio sino una homográfica.



No sé si se entendió del todo, cualquier cosa preguntá de nuevo (vos o cualquiera que esté leyendo esto).

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[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]

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Basterman
Nivel 9


Edad: 33
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329

Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 2:17 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Lo lei 2 meses despues casi, se entendio barbaro, dejo una pregunta nomas para cerrar este tema:

Cita:
El problema por el cual el resultado de aproximar x^4 no es exacto a pesar de tener grado menor a 5 lo voy a aclarar más abajo.


O sea que esta bien que no me haya dado exacto? Ponele que me dio 0.18 y el valor exacto es 0.2.


Gracias.


Geminis Género:Masculino Serpiente OcultoGalería Personal de BastermanVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Spike Spiegel
Nivel 9


Edad: 35
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507

Carrera: Informática
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MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 3:32 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Claro, es totalmente lógico.

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AlanB
Nivel 9


Edad: 32
Registrado: 08 Mar 2010
Mensajes: 977
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Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg
MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 8:08 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Espero que mañana no caigan con algo de esto que casi ni lo vimos este cuatrimestre. Como sacaron las constantes? Perdon pero no la cazo y el cuaderno no ayuda

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AlanB
Nivel 9


Edad: 32
Registrado: 08 Mar 2010
Mensajes: 977
Ubicación: Quilmes
Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg
MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 10:02 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Calculé las constantes con la fórmula de la integral de la productoria pero no sé si no hice cualquiera. Alguien que me diga como lo sacan y cuánto les da? Smile

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Franzl
Nivel 7


Edad: 32
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384

Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 10:17 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Cuadratura de Gauß:

se parte de

[tex]\int_{-1}^{1} f(x)w(x)dx[/tex] , y [tex]w(x) \geq 0[/tex]

se aproxima a la [tex]f(x)[/tex] por un polinomio que será la sumatoria de la función evaluada en los [tex]x_i[/tex] por la función loca (que me parece que es de Lagrange) [tex]\delta_i (x)[/tex]


[tex]\int_{-1}^{1} f(x)w(x)dx= \int_{-1}^{1} p(x)w(x)dx= \int_{-1}^{1} \sum f(x_i) \delta_i (x) dx = \sum f(x_i) \int_{-1}^{1} \delta_i (x) dx[/tex]


[tex]\sum f(x_i) \int_{-1}^{1} \delta_i (x) dx = \sum f(x_i)A_i[/tex]

con

[tex]A_i= \int_{-1}^{1} w(x) \delta_i (x) dx[/tex]


[tex] \delta_i (x)= \frac{ \prod_{j \neq i} (x-x_j)} { \prod_{j \neq i} (x_i - x_j)}  [/tex]


Fijate que el caso particular [tex] w(x)=1 [/tex] es el caso de Gauß-Legendre

Se entendió? Tengo el ejercicio hecho, si querés te lo escaneo.


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AlanB
Nivel 9


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MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 10:31 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ahi esta la integral+productoria que quise decir para los coeficientes. Dale copate y pasamelo por fb. Gracias querido.

Este cuatrimestre, por lo que tengo, Griggio lo tiro en los ultimos 10 minutos del cuatrimestre integrar por estos metodos Sad

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Franzl
Nivel 7


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Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384

Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mar Feb 05, 2013 10:37 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Mirá la verificación de abajo jaajajajaj

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Spike Spiegel
Nivel 9


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MensajePublicado: Mie Feb 06, 2013 10:20 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Alan, la cuadratura tiene 3 puntos de evaluación, por lo que debería integrar con exactitud polinomios de hasta grado 5 (acompañados por la función de peso).

Hacés 3 integrales (una por cada punto de evaluación) de polinomios boludos de distintos grados (1, x, x^2, por ej) (no te olvides de la función de peso) y te armás un sistema de 3x3 boludísimo de resolver. Listo, ya encontraste a, b y c.

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AlanB
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MensajePublicado: Mie Feb 06, 2013 11:10 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ah cierto, en el Burden vi algo así. Gracias Spike maestro, ahí lo hice de esa forma y me dio igual que usando:

[tex]A_i= \int_{-1}^{1} w(x) \frac{ \prod_{j \neq i} (x-x_j)} { \prod_{j \neq i} (x_i - x_j)} dx[/tex]

Very Happy


Ya que estamos, por si a alguien le interesa verificar o lo que sea, me dio:

a = 8/15
b = 8/5
c = 8/15

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Basterman
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MensajePublicado: Mie Feb 06, 2013 11:11 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Eso que dice Spike hice yo, y me dio lo mismo en solo 3 renglones, una fiesta.


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