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Autor Mensaje
EstebanERF
Nivel 2


Edad: 30
Registrado: 05 Dic 2012
Mensajes: 8


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MensajePublicado: Mie Dic 05, 2012 3:39 pm  Asunto:  [Duda] composicion de funciones Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenas tardes a todos, espero que anden de maravilla. Queria mostrarles un ejercicio que seguramente sea una pavada pero no me doy cuenta de como empezarlo jaja entiendo que pide el plano tangente
z = g(1,0) + derivada parcial de g (en x) en (1,0) * (x-1) + derivada parcial de g en (en y) (1,0) * y

Les paso a dejar una imagen del ejercicio en cuestion de un parcial viejo.

Image

Muchas gracias por la lectura y atencion, espero respuesta pacientemente.

Saludos.


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Jackson666
Nivel 9


Edad: 35
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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MensajePublicado: Mie Dic 05, 2012 3:44 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Llama [tex](u,v,w) = (x^{2} + y^{2}, xe^{y}, 2\sin(xy))[/tex] y usa la regla de la cadena.


Aries Género:Masculino Gato OfflineGalería Personal de Jackson666Ver perfil de usuarioEnviar mensaje privado
EstebanERF
Nivel 2


Edad: 30
Registrado: 05 Dic 2012
Mensajes: 8


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MensajePublicado: Mie Dic 05, 2012 11:34 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Jackson666 escribió:
Llama [tex](u,v,w) = (x^{2} + y^{2}, xe^{y}, 2\sin(xy))[/tex] y usa la regla de la cadena.


Muchas gracias Jackson Smile ahora lo intento hacer y cualquier cosa molesto nuevamente por este tema.


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EstebanERF
Nivel 2


Edad: 30
Registrado: 05 Dic 2012
Mensajes: 8


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MensajePublicado: Jue Dic 06, 2012 1:21 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Disculpame que moleste devuelta, pero como seria armando la regla de la cadena?

Osea la composicion cual seria?

Es decir como quedaria de la forma: Diferencial fog (x,y) = Diferencial f ((g(x,y)) * Diferencial g(x,y)

Como quedaria en este caso?. Porque al nombrar (u,v,w) a las coordenadas que f transforma no me doy cuenta de como empezar.

Muchas gracias por la atencion tan rapida.
Saludos.


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Elmo Lesto
Nivel 8


Edad: 32
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Jue Dic 06, 2012 3:59 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ojo que [tex]g(x,y)[/tex] ya es la composición de [tex] f [/tex] con otra cosa eh. Llamá [tex] \vec{h} [/tex] a esa cosa, tenés [tex] g(x,y) = f \left( \vec{h} (x,y) \right) [/tex], con [tex] \vec{h} : \mathbf{R}^2 \mapsto \mathbf{R}^3 / \vec{h} (x,y) = \left( x^2+y^2 , x e^y , 2 \sin (xy) \right) [/tex]

¿Ahora te queda más claro cómo aplicar regla de la cadena? Te lo dejo en spoiler por si querés sacarlo vos antes.

Cita:





[tex] \vec{\nabla} g(x,y) = \vec{\nabla} f \left( \vec{h}(x,y) \right) Dh (x,y) [/tex]
Para el plano tangente necesitamos [tex] g(1,0) = f \left( \vec{h} (1,0) \right) = f(1,1,0) = 2[/tex], y necesitamos [tex] \vec{\nabla} g(1,0) = \vec{\nabla} f \left( \vec{h}(1,0) \right) D \left[ h (1,0) \right] = \vec{\nabla} f (1,1,0) D \left[ h (1,0) \right] [/tex] (acá hacés las cuentas vos que a mí me da paja escribir la matriz en LaTeX :P )
Y después directamente le das a la ecuación del plano tangente al gráfico de [tex]g[/tex] en [tex](1,0,2)[/tex] : [tex]z = g(1,0) + \vec{\nabla} g(1,0) \cdot (x-1,y) [/tex]


Cualquier cosa chiflá. Los demás corrijan.

_________________
[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]

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EstebanERF
Nivel 2


Edad: 30
Registrado: 05 Dic 2012
Mensajes: 8


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MensajePublicado: Jue Dic 06, 2012 5:44 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Elmo Lesto escribió:
Ojo que [tex]g(x,y)[/tex] ya es la composición de [tex] f [/tex] con otra cosa eh. Llamá [tex] \vec{h} [/tex] a esa cosa, tenés [tex] g(x,y) = f \left( \vec{h} (x,y) \right) [/tex], con [tex] \vec{h} : \mathbf{R}^2 \mapsto \mathbf{R}^3 / \vec{h} (x,y) = \left( x^2+y^2 , x e^y , 2 \sin (xy) \right) [/tex]

¿Ahora te queda más claro cómo aplicar regla de la cadena? Te lo dejo en spoiler por si querés sacarlo vos antes.

Cita:





[tex] \vec{\nabla} g(x,y) = \vec{\nabla} f \left( \vec{h}(x,y) \right) Dh (x,y) [/tex]
Para el plano tangente necesitamos [tex] g(1,0) = f \left( \vec{h} (1,0) \right) = f(1,1,0) = 2[/tex], y necesitamos [tex] \vec{\nabla} g(1,0) = \vec{\nabla} f \left( \vec{h}(1,0) \right) D \left[ h (1,0) \right] = \vec{\nabla} f (1,1,0) D \left[ h (1,0) \right] [/tex] (acá hacés las cuentas vos que a mí me da paja escribir la matriz en LaTeX :P )
Y después directamente le das a la ecuación del plano tangente al gráfico de [tex]g[/tex] en [tex](1,0,2)[/tex] : [tex]z = g(1,0) + \vec{\nabla} g(1,0) \cdot (x-1,y) [/tex]


Cualquier cosa chiflá. Los demás corrijan.


Muchisimas gracias, si, lo entendi mejor ahora. Lo hice sin ver el spoiler y luego corroboré. Se me habia ocurrido eso pero no se, me embrolló la manera de definir g en este ejercicio.

Usualmente agarran y ponen h = fog(x,y) y me era mas sensillo de darme cuenta, al ponerle nombre a la composicion implicita con f me mareo un poquito.

Muchas gracias por su ayuda. Espero no ser discriminado jaja, yo soy de exactas, estoy estudiando computacion. Soy nuevo en el foro pero me resulto muy interesante las tematicas que se hablan en general.

Viva el flaco spinetta, Elmo . je


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Elmo Lesto
Nivel 8


Edad: 32
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg
MensajePublicado: Jue Dic 06, 2012 6:52 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

EstebanERF escribió:
[...] Muchas gracias por su ayuda. Espero no ser discriminado jaja, yo soy de exactas, estoy estudiando computacion. Soy nuevo en el foro pero me resulto muy interesante las tematicas que se hablan en general.

Viva el flaco spinetta, Elmo . je

Bien ahí! Yo tengo simultaneidad con Licenciatura en Ciencias Físicas, voy a ver si rindo Matemática III la fecha del 27/28 (en mi carrera es la que le sigue a la que estás haciendo)
Y bueh, como para agregar algo (más si estás en Exactas, je), nunca te olvides de explicitar todas las justificaciones de por qué vale la regla de la cadena (que son todas funciones diferenciables en sus respectivos dominios, etc.)
Vamos El Flaaacooo

_________________
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EstebanERF
Nivel 2


Edad: 30
Registrado: 05 Dic 2012
Mensajes: 8


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MensajePublicado: Mar Dic 11, 2012 9:52 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenos dia, volvi devuelta, abatido por el primer recuperatorio que me fue mal jaja, mañana ridno la 2da chance y tengo que aprobar si o si sino recurso Sad
Hubo un ejercicio en donde me tomaron precisamente la regla de la cadena tal y como lo habia puesto en ese ejercicio de ahi abajo, podia hayar tranquillamente las derivadas primeras pero a la hora de hacer las derivadas segundas me encontre en un aprieto y termine por hacer cualquier cosa.

Image


Mediante la expresion de las matrices diferenciales de la composicion entendi como encontrar las primeras derivadas de la composicion en x y en y.
Pero segun parece, dicha expresion ya no es muy util o se comlpica mucho mas para escribirla en terminos de la 2da derivada.

Ahi les dejo una imagen de lo que hice, pero creo que la parte donde hice las derivadas 2das está mal, si alguien puede correjirme el error diciendome como es el calculo me seria de muchisima ayuda. (quiero entender bien esta cagada de la regla de la cadena jaja).

Muchisimas gracias por la lectura.


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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Mar Dic 11, 2012 11:11 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

En este ejercicio [tex]g = f \circ h[/tex] donde [tex]h(x, y) = (x^2 + y, x + y^2)[/tex]. Tal como pusiste en la resolución:

[tex]\frac{\partial g(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial f(h(x, y))}{\partial u} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial f(h(x, y))}{\partial v} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Esto se puede reescribir como:

[tex]\frac{\partial g(x, y)}{\partial x} = d_1(x, y) \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Donde [tex]d_1 = \frac{\partial f}{\partial u} \circ h \mbox{ y } d_2 = \frac{\partial f}{\partial v} \circ h[/tex] son también composiciones de funciones, pero con derivadas de f en vez de f directamente. Entonces, por ejemplo, para obtener [tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x^2}[/tex] hay que derivar eso respecto de x, y para obtener [tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x \partial y}[/tex] hay que derivar eso respecto de y:

[tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x^2} = \frac{\partial d_1(x, y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_1(x, y) \frac{\partial^2 (x^2 + y)}{\partial x^2}[/tex][tex]+ \frac{\partial d_2(x, y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial^2 (x + y^2)}{\partial x^2}[/tex]

[tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial d_1(x, y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_1(x, y) \frac{\partial^2 (x^2 + y)}{\partial x \partial y}[/tex][tex]+ \frac{\partial d_2(x, y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial^2 (x + y^2)}{\partial x \partial y}[/tex]

Y donde aparecen la derivadas de [tex]d_1 \mbox{ y } d_2[/tex], como son composiciones de funciones se aplica la regla de la cadena. Por ejemplo:

[tex]\frac{\partial d_1(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial u^2} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial u \partial v} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

[tex]\frac{\partial d_2(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial v \partial u} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Y así para el resto de los casos.

_________________
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EstebanERF
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MensajePublicado: Mar Dic 11, 2012 12:05 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Huey 7 escribió:
En este ejercicio [tex]g = f \circ h[/tex] donde [tex]h(x, y) = (x^2 + y, x + y^2)[/tex]. Tal como pusiste en la resolución:

[tex]\frac{\partial g(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial f(h(x, y))}{\partial u} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial f(h(x, y))}{\partial v} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Esto se puede reescribir como:

[tex]\frac{\partial g(x, y)}{\partial x} = d_1(x, y) \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Donde [tex]d_1 = \frac{\partial f}{\partial u} \circ h \mbox{ y } d_2 = \frac{\partial f}{\partial v} \circ h[/tex] son también composiciones de funciones, pero con derivadas de f en vez de f directamente. Entonces, por ejemplo, para obtener [tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x^2}[/tex] hay que derivar eso respecto de x, y para obtener [tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x \partial y}[/tex] hay que derivar eso respecto de y:

[tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x^2} = \frac{\partial d_1(x, y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_1(x, y) \frac{\partial^2 (x^2 + y)}{\partial x^2}[/tex][tex]+ \frac{\partial d_2(x, y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial^2 (x + y^2)}{\partial x^2}[/tex]

[tex]\frac{\partial^2 g(x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial d_1(x, y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +d_1(x, y) \frac{\partial^2 (x^2 + y)}{\partial x \partial y}[/tex][tex]+ \frac{\partial d_2(x, y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x} +d_2(x, y) \frac{\partial^2 (x + y^2)}{\partial x \partial y}[/tex]

Y donde aparecen la derivadas de [tex]d_1 \mbox{ y } d_2[/tex], como son composiciones de funciones se aplica la regla de la cadena. Por ejemplo:

[tex]\frac{\partial d_1(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial u^2} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial u \partial v} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

[tex]\frac{\partial d_2(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial v \partial u} \cdot \frac{\partial (x^2 + y)}{\partial x} +\frac{\partial^2 f(h(x, y))}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial (x + y^2)}{\partial x}[/tex]

Y así para el resto de los casos.


Uh me salvaste la vida, no encontraba respuesta en ningun lado y no conseguia particular para que me ayude. Muchisimas gracias enserio, ya lo entendí.


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