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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Buenas... Es fácil pero la verdad que no logro verlo...
Tengo la siguiente función:
![[tex]f(z)=-\frac{e^(\frac{1}{z})}{1-z}[/tex]](images/latex/55c94d8b1c2f3b7f49950ecba69a9d00a0b41a20_0.png "[tex]f(z)=-\frac{e^(\frac{1}{z})}{1-z}[/tex]")
Puntos singulares:
![[tex]z=0[/tex]](images/latex/8ec5e56326bfb63729244c125a06b2454a8c7ec2_0.png "[tex]z=0[/tex]") , ![[tex]z=1[/tex]](images/latex/2cef902f18b590f359792dcdb8c07d856355ed40_0.png "[tex]z=1[/tex]") , z=infinito (Aislados).
Lo evalúo con el límite blabla, me da polo simple. El residuo me da ![[tex]-e[/tex]](images/latex/67f0e44a4f01c47ce6b5bc5c6e5f449362867aa5_0.png "[tex]-e[/tex]")
Ahora, el tema es con el . Si veo el límite con ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") tendiendo a 0 (por derecha e izquierda) me da que el límite no existe, ergo, es un punto singular esencial.
Mi problema es para calcular este residuo, por lo que tengo entendido tengo que buscarlo "por definición" ![[tex]a_-1[/tex]](images/latex/5acea68c1bf5fee8b9f4c8805f7e740283848d4f_0.png "[tex]a_-1[/tex]") ... y ahí quedé. Alguno tiene idea?
Gracias!
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Última edición por Sigo el Sab Nov 03, 2012 1:35 pm, editado 1 vez
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Esto es lo que tengo en la carpeta... pero la verdad no entiendo por qué toma al residuo como esas 2 series. No es la función eso?
Desarrollamos en serie de potencias a la función:
![[tex]f(z) = -\frac{1}{1-z} e^(1/z) [/tex]](images/latex/1a228d464142f0956632f398b73298201c27169b_0.png "[tex]f(z) = -\frac{1}{1-z} e^(1/z) [/tex]")
la primera es una geométrica... la segunda es la de e^z pero con z = 1/z.
Todo eso es igual:
![[tex]-\sum_0^\propto z^n \, \sum_0^\propto \frac{1}{n! \, z^n}[/tex]](images/latex/03fb5af8a5372e978ec4963fa45b7cef708197ee_0.png "[tex]-\sum_0^\propto z^n \, \sum_0^\propto \frac{1}{n! \, z^n}[/tex]")
Es decir
![[tex]-\sum_0^\propto \frac{1}{n!} \, = \, -(1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})[/tex]](images/latex/f6776bb473506ddf49a4c58d4a2f15764fcb41be_0.png "[tex]-\sum_0^\propto \frac{1}{n!} \, = \, -(1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})[/tex]")
Ahora, sabiendo que
![[tex]e^z = \sum_0^\propto \frac{z^n}{n!} = 1+z+\frac{z^2}{2!}+...[/tex]](images/latex/c69c93e9c4d7ec70dda72e272f27202a5290ec4c_0.png "[tex]e^z = \sum_0^\propto \frac{z^n}{n!} = 1+z+\frac{z^2}{2!}+...[/tex]")
con
![[tex]e^1 = 1+1+\frac{1^2}{2!}+...[/tex]](images/latex/d66e4ee6081680d0c10deff12c940897dea82a9b_0.png "[tex]e^1 = 1+1+\frac{1^2}{2!}+...[/tex]")
Así que el residuo finalmente queda:
![[tex]-\sum_0^\propto \frac{1}{n!} \, = \, -(1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}) = 1-e[/tex]](images/latex/35bf6e394611b4b29c7eea5f5c1b6d71af2ca529_0.png "[tex]-\sum_0^\propto \frac{1}{n!} \, = \, -(1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}) = 1-e[/tex]")
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| interpreté todo como el ojete... creo que ése es el residuo porque el coeficiente "a(n=-1)" es cuando n=1 en la segunda serie? pero en ese caso me daría 1...
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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No entiendo de donde salió el término menos para la parte geometrica. Está bien lo que estás haciendo, tenés que expandir la función en serie alrededor del 0. Para la geométrica te queda:
![[tex]\frac{1}{1-z} = \sum_0^\infty z^n[/tex]](images/latex/a4dbc5114c237de3750b63dc3ba896e0145541ab_0.png "[tex]\frac{1}{1-z} = \sum_0^\infty z^n[/tex]")
Y para la exponencial:
![[tex]e^{1/z} = \sum_0^\infty \frac{1}{n! z^n}[/tex]](images/latex/d0e9dcf404da976c171a39d9bb9e15ff46f05434_0.png "[tex]e^{1/z} = \sum_0^\infty \frac{1}{n! z^n}[/tex]")
La gracia es llevarlo a la forma de Laurent (![[tex]f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n[/tex]](images/latex/f64e382979fef3279908e2eddcae9f42c50df073_0.png "[tex]f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n[/tex]") ) o por lo menos a una expansión en serie. Por definición, el residuo es coeficiente que multiplica al termino 1/z. En este caso ![[tex]c=0[/tex]](images/latex/64842a0996e2c7c8d13ecfeed3c149b1364596c5_0.png "[tex]c=0[/tex]") y fijate que en esa forma, el termino cuando z está elevado a la menos 1 es cuando ![[tex]n = -1[/tex]](images/latex/6ad2ef07739b2eda49d82981c9ccdbe8d70c9901_0.png "[tex]n = -1[/tex]") , pero en tu caso es cuando n = 1.
Para encontrar el residuo, multiplicamos las dos series:
![[tex]\left( \sum_0^\infty z^n \right) \left( \sum_0^\infty \frac{1}{n! z^n} \right)[/tex]](images/latex/d7a96eff9eba43f53b89e92f4299e5777706e5c0_0.png "[tex]\left( \sum_0^\infty z^n \right) \left( \sum_0^\infty \frac{1}{n! z^n} \right)[/tex]")
Expendiendo algunos terminos para darnos una idea:
![[tex]\left(1 + z + z^2 + z^3 + ...\right) \left(1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3} + ... \right)[/tex]](images/latex/13fed4103b0c85635cb4bd43b22633cef488bb6d_0.png "[tex]\left(1 + z + z^2 + z^3 + ...\right) \left(1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3} + ... \right)[/tex]")
Si distribuís el producto y factorizás para los terminos que tienen 1/z, te quedaría una suma infinita algo así (bien a ojo):
![[tex]\frac{1}{z}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n!}\right)[/tex]](images/latex/5d4379a6d60eeac27ebd5022a1d481be1fe737ac_0.png "[tex]\frac{1}{z}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n!}\right)[/tex]")
Entonces el coeficiente es algo como ![[tex]e^1 - 1[/tex]](images/latex/4578cc853b5e858339a167fdb8ba659429e6ab9a_0.png "[tex]e^1 - 1[/tex]") si mis calculos no me fallan.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| koreano escribió:
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No entiendo de donde salió el término menos para la parte geometrica.
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Es que primero escribió una función y después escribió otra. Anda a saber cuál de las dos es  .
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Ahhhhhhhhh... okey ahora entiendo. Te agradezco!
El menos me lo comí en el 1º post jajaja
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