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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Sea ![[tex]X \sim f(x)[/tex]](images/latex/09a161e37f51e4e6d5cbb2c9b78ebc40c3bb5f35_0.png "[tex]X \sim f(x)[/tex]") una VAC con esperanza finita. La fdp ![[tex]f(x)[/tex]](images/latex/07e15811bb43b993b6af429e34e77ed7c4129232_0.png "[tex]f(x)[/tex]") verifica que para algún ![[tex]a \in \mathbf{R}[/tex]](images/latex/28339af0d301deb2a7a212402f33cae2531e0d1f_0.png "[tex]a \in \mathbf{R}[/tex]") fijo, se cumple ![[tex]\forall \, \epsilon > 0, \; f(a + \epsilon) = f(a - \epsilon)[/tex]](images/latex/8042a55710d69df3ec6e97fd45dd1711c749f379_0.png "[tex]\forall \, \epsilon > 0, \; f(a + \epsilon) = f(a - \epsilon)[/tex]") . Probar que ![[tex]\text{E}(X) = a[/tex]](images/latex/670a4eb0daa6cec984862adc35bba70c6ae32159_0.png "[tex]\text{E}(X) = a[/tex]") .
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Pero en el dibujo se ve que ![[tex]a = 0[/tex]](images/latex/b65ca6b30e9353d64e1debff08765d103ee0014c_0.png "[tex]a = 0[/tex]") . Tal vez lo entendiste mal del enunciado, pero lo que dice el mismo es que toda la función es simétrica. No una parte o "simétrica por partes" por decirlo de alguna manera.
Lo que se pide demostrar es que el eje de simetría de una fdp cualquiera (que tenga esa característica) es la esperanza.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Como f(x) es una función de densidad de probabilidad:
![[tex]\int _{-\infty} ^{+\infty} f(x)dx =\int _{-\infty} ^a f(x)dx +\int _a ^{+\infty} f(x)dx = 1[/tex]](images/latex/0c6141814a08c39a438c3823108a060c4cb854cc_0.png "[tex]\int _{-\infty} ^{+\infty} f(x)dx =\int _{-\infty} ^a f(x)dx +\int _a ^{+\infty} f(x)dx = 1[/tex]")
Haciendo los cambios de variable ![[tex]x = a - \varepsilon[/tex]](images/latex/4950f92953106ac23c4ba117c26332f881d5831d_0.png "[tex]x = a - \varepsilon[/tex]") y ![[tex]x = a + \varepsilon[/tex]](images/latex/9cccba205de2d43f72ac57f2c1485346b3dbd0f9_0.png "[tex]x = a + \varepsilon[/tex]") :
![[tex]\int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon +\int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon = 1[/tex]](images/latex/cfdd388f9ad267f821e537a36a71c4f955b8227a_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon +\int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon = 1[/tex]")
![[tex]f(a - \varepsilon) = f(a + \varepsilon)[/tex]](images/latex/15aa70435fabde0534c319b766ddbab9afae5c4d_0.png "[tex]f(a - \varepsilon) = f(a + \varepsilon)[/tex]") , entonces:
![[tex]\int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon = \frac{1}{2}[/tex]](images/latex/6cab5bec42ca6fcc98d38fb547fcbc4e41e1f561_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon = \frac{1}{2}[/tex]")
Por otro lado:
![[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon - a)f(a + \varepsilon) d\varepsilon =[/tex]](images/latex/b525ca6fa3721af3f864669cb6cd55e0dbd3324d_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon - a)f(a + \varepsilon) d\varepsilon =[/tex]")
![[tex]\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon) f(a + \varepsilon) d\varepsilon -a \int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _a ^{+\infty} xf(x)dx \ - \frac{a}{2}[/tex]](images/latex/83cd83da3e3a0e2aa655484858de360cd4c0c5e7_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon) f(a + \varepsilon) d\varepsilon -a \int _0 ^{+\infty} f(a + \varepsilon) d\varepsilon =\int _a ^{+\infty} xf(x)dx \ - \frac{a}{2}[/tex]")
Que es finita si ![[tex]\int _{-\infty} ^{+\infty} xf(x)dx[/tex]](images/latex/bd2ce6b44483e437850ca78ee7ed102349b29f3d_0.png "[tex]\int _{-\infty} ^{+\infty} xf(x)dx[/tex]") lo es. Análogamente:
![[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon - a)f(a - \varepsilon) d\varepsilon =[/tex]](images/latex/20521915f27f4af5a90c289a4dc9e30f0150be1a_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\int _0 ^{+\infty} (a + \varepsilon - a)f(a - \varepsilon) d\varepsilon =[/tex]")
![[tex]a \int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon -\int _0 ^{+\infty} (a - \varepsilon) f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\frac{a}{2} - \int _{-\infty} ^a xf(x)dx[/tex]](images/latex/4630a98ee6b1b884c445b43ebd4199f3e8e07f42_0.png "[tex]a \int _0 ^{+\infty} f(a - \varepsilon) d\varepsilon -\int _0 ^{+\infty} (a - \varepsilon) f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\frac{a}{2} - \int _{-\infty} ^a xf(x)dx[/tex]")
Que también es finita si lo es.
Por último, si , entonces ![[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon = \int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon[/tex]](images/latex/9117a82cc3da75021121e7a4870b0515f2daf172_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon = \int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon[/tex]") , y como ambas son finitas, se pueden restar sin que explote el Universo, y el resultado es 0:
![[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon \ -\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\int _a ^{+\infty} xf(x)dx \ - \frac{a}{2} + \int _{-\infty} ^a xf(x)dx \ - \frac{a}{2} =\int _{-\infty} ^{+\infty} xf(x)dx - a = 0[/tex]](images/latex/686e114697fd50122d379b94437828f950a5e746_0.png "[tex]\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a + \varepsilon) d\varepsilon \ -\int _0 ^{+\infty} \varepsilon f(a - \varepsilon) d\varepsilon =\int _a ^{+\infty} xf(x)dx \ - \frac{a}{2} + \int _{-\infty} ^a xf(x)dx \ - \frac{a}{2} =\int _{-\infty} ^{+\infty} xf(x)dx - a = 0[/tex]")
Entonces, E(X) = a. No sé si está bien usada la hipótesis de que la esperanza es finita, pero bueno...
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Uh, estaba leyendo como si fuese un límite el epsilon.. puse el piloto automático :P
Supongo que sale con cambios de variables en las integrales y restando integrales (esas cosas que hacen temblar a los matemáticos)
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loonatic
Nivel 9
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Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Tercer párrafo de Wikipedia
| Cita:
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If the distribution is symmetric then the mean is equal to the median and the distribution will have close to zero skewness.
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Como se sabe que la distribución es simétrica, y además la mediana es ![[tex]\widetilde{x}=a[/tex]](images/latex/f3058c82b8cce5f0d4272d1fa7b0aeda4a46518b_0.png "[tex]\widetilde{x}=a[/tex]") porque separa a la distribución en la mitad:
![[tex]E(X)=\widetilde{x}=a[/tex]](images/latex/1388274ee7a956b163430d8e2d8bc188d3d9d457_0.png "[tex]E(X)=\widetilde{x}=a[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Me gustó, me gustó!!. Jamas se me hubiera ocurrido lo que propuso Huey 7. Lo de Wikipedia no lo había leído. Pongo la que se me ocurrió a mi para resolverlo:
Si , eso significa que ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") (que es positiva) es simétrica respecto de la recta ![[tex]x = a[/tex]](images/latex/42bb5266ae2804347ef4a280438697ef0c2da1b1_0.png "[tex]x = a[/tex]") . Eso se escribe ![[tex]\displaystyle f(x) = f(2a - x)[/tex]](images/latex/9af07628aa9482b5b1f6b59ee5f2f954a26ea8e2_0.png "[tex]\displaystyle f(x) = f(2a - x)[/tex]") (en particular, cuando la función se llama par).
Integrando miembro a miembro, queda ![[tex]\displaystyle \int_{-\infty}^{x}{f(t) \, dt} = F(x) = \int_{-\infty}^{x}{f(2a - t) \, dt} = -F(2a - x)[/tex]](images/latex/8ecf52b33ec40e0bdfbcf5466eff526d68d8098e_0.png "[tex]\displaystyle \int_{-\infty}^{x}{f(t) \, dt} = F(x) = \int_{-\infty}^{x}{f(2a - t) \, dt} = -F(2a - x)[/tex]") . O sea, la función de distribución es antisimétrica respecto de la recta .
Calculando la esperanza (por sustitución ![[tex]u = 2a - x[/tex]](images/latex/b2ad5625222ea624b8f33e41e57d568b6b4dccc8_0.png "[tex]u = 2a - x[/tex]") ) queda ![[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) = \int_{\mathbf{R}}{x \cdot f(x) \, dx} = -\int_{+\infty}^{-\infty}{(2a - u) \cdot f(u) \, du} = 2a - \mathbf{E}(U)[/tex]](images/latex/f6bcdca0753c7003e535c46da960453d634e3f09_0.png "[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) = \int_{\mathbf{R}}{x \cdot f(x) \, dx} = -\int_{+\infty}^{-\infty}{(2a - u) \cdot f(u) \, du} = 2a - \mathbf{E}(U)[/tex]") . Queda ![[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) + \mathbf{E}(U) = 2a[/tex]](images/latex/0c3813b765b18f64e83094807b3720953ad5c9b2_0.png "[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) + \mathbf{E}(U) = 2a[/tex]") .
Ahora basta ver que ![[tex]\displaystyle X[/tex]](images/latex/e6560de0156d30f00a82d3b4f7caed9a095bec7f_0.png "[tex]\displaystyle X[/tex]") y ![[tex]\displaystyle U[/tex]](images/latex/43edd8765f11aa233ea3c696e50ea561d88795dc_0.png "[tex]\displaystyle U[/tex]") tienen la misma fdp. Para ello, basta notar que ![[tex]\displaystyle F_{U}(u) = \mathbf{P}(U \le u) = \mathbf{P}(2a-x \le u) = \mathbf{P}(x \ge 2a-u) = 1 - F_{X}(2a - u)[/tex]](images/latex/0e74bcf32cd34f44584261666fd80e4646f04c74_0.png "[tex]\displaystyle F_{U}(u) = \mathbf{P}(U \le u) = \mathbf{P}(2a-x \le u) = \mathbf{P}(x \ge 2a-u) = 1 - F_{X}(2a - u)[/tex]") ![[tex] = 1 + F_{X}(u)[/tex]](images/latex/2847aa61cf5fe6ab5d188ffa4b0a63f4062a0ace_0.png "[tex] = 1 + F_{X}(u)[/tex]") . Derivando en ambos miembros respecto a ![[tex]u[/tex]](images/latex/c0a8c2cb7cac5d96b201825d488d0e85101ddfa1_0.png "[tex]u[/tex]") queda ![[tex]\displaystyle f_{U}(u) = f_{X}(u)[/tex]](images/latex/5df88e2b059da29a37b8bba83b4fd6fc8f81bca8_0.png "[tex]\displaystyle f_{U}(u) = f_{X}(u)[/tex]") .
Por ende, es ![[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) = \mathbf{E}(U)[/tex]](images/latex/1b464e30c7167e889d7915e6894bfe585645a05f_0.png "[tex]\displaystyle \mathbf{E}(X) = \mathbf{E}(U)[/tex]") y entonces ![[tex]\displaystyle 2\mathbf{E}(X) = 2a[/tex]](images/latex/0c874868b60e52e03d849ead4c281c2a9a411e94_0.png "[tex]\displaystyle 2\mathbf{E}(X) = 2a[/tex]") .
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