La oportunidad anterior, errores bien boludos me costaron el examen.
En esta oportunidad, puede que tenga los 3 de electricidad y magnetismo bien, pero en el primero de termo me olvide la constante de integraci+on y vaya dios a saber si le pifie a algún signo. En el ultimo lo hice todo muy lindo pero sobre una isoterma... era una adiabatica. Lo peor es que para la entropía sí me acordé que era adiabático y puse que delta S en el entorno era cero.
Realmente lamentable, y da bronca porque realmente lo sabía todo...
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Pregunta 5) Un mol de un gas ideal monoatómico se encuentra confinado en recipiente adiabático, cuya tapa también adiabática es un émbolo movil ideal de área S, masa despreciable y sin rozamiento. El gas se encuentra en equilibrio mecánico con la presión atmosférica normal (1atm). La temperatura del gas es .
En un determinado instante se coloca una masa M sobre el émbolo comprimiendo el gas y se espera que se llegue a un nuevo estado de equilibrio. Hallar:
A)Coordenadas del nuevo estado de equilibrio. Calor, trabajo y variación de energía interna en el proceso de compresión.
B)¿Se trata de un proceso reversible o irreversible? Hallar la variación de entropía del gas y del universo.
_________________ Vive cada día como si fuera el último.
Aprovecha al máximo cada hora, cada día y cada época de la vida.
Así podrás mirar al futuro con confianza y al pasado sin tristeza.
Sé Tú mismo.
Pero sé lo mejor de tí mismo.
Ten valor para ser diferente y seguir Tú propia estrella.
Me salvé que no fui... Suerte a los que rindieron!
Pura suerte nomás! Al menos en mi caso.
Fue lamentable mi performance
Mi error: ser lenta. Era un examen que con lo que sé lo puedo resolver al menos como para llegar al aprobado (y más). Sin embargo, el tiempo me resultó traicionero.
En fin, veremos qué decide hacer con mi examen el corrector! No quiero saber quién me toca!
Dejo mi resolucion personal de los ejercicios que subieron, a ver si le dan una mano a alguien. Los de termo puede que contengan fruta, porque son medio engañosos.
1) En este problema te daban el potencial en todo el espacio, incluyendo la referencia (), en funcion de la coordenada radial, ie, distancia al origen. Lo primero que hay que darse cuenta es que el potencial no depende de ninguna otra coordenada que no sea en todo el espacio. Esto quiere decir que cualquier derivada con respecto a las coordenadas ortogonales a es nula. Esto es importante, ya que el campo electrico se relaciona con el potencial mediantes las derivadas en la formula:
Como el potencial esta en coordenadas esfericas (o cilindricas, es lo mismo si solo hay dependencia de ), tenemos que usar el gradiente en dichas coordenadas. Como ayuda se nos da la expresion para dicho gradiente, donde descartamos todos los terminos que tienen derivadas en las demas coordenadas y nos quedamos con:
Con esto calculamos el campo electrico, calculando el gradiente en cada region por separado:
Para la segunda parte nos piden calcular las cargas en todo el espacio. Tambien nos dicen que consideremos a todo como vacio, es decir que solo puede haber cargas libres y no de polarizacion. Los dos tipos de carga son volumetrica y superficial. Para calcular la densidad de carga volumetrica tenemos que usar la ecuacion de Maxwell: . Nuevamente nos dan la expresion de la divergencia en esfericas, y nos quedamos solo con el termino que involucra la coordenada radial ya que el campo electrico es nulo en cualquier otra direccion en todo el espacio: .
Para calcular la densidad de carga superficial tenemos que usar la condicion de frontera del campo electrico. En el vacio se cumple que . Dicho en otras palabras, el salto del vector desplazamiento nos da la densidad de carga superficial (libre) en la interfaz entre dos puntos. Como en este problema es todo en el vacio, la relacion es directa con el campo electrico: . Ademas, los unicos puntos de quiebre del potencial (y por lo tanto de discontinuidad del campo electrico) se encuentran en y , ya que en el resto del espacio el potencial es regular. Poniendo todo esto en cuentas queda:
Para la densidad superficial de carga consideramos el campo E entre las interfases en "a" y "b", tomando un normal saliente en ambos casos ( en esfericas):
Para :
*
*
Para :
*
*
Resumiendo queda:
2) Este es el ej de alterna, nos dicen que tenemos un circuito formado por dos elementos circuitales puros. Eso quiere decir que las combinaciones posibles son: L-C, R-C, R-L. Me imagino que no está contando la batería. Aparte, están en serie, así que las impedancias se suman. Nos dan el voltaje eficaz , la frecuencia , y el desfasaje .
Nos dicen también la energía total consumida en un mes. Como la energía se considera consumida, es energía que se gastó y por lo tanto activa. Esto quiere decir que por lo menos uno de los elementos circuitales tiene que ser una resistencia. Por otro lado, nos dicen que la corriente adelanta a la tensión. Esto quiere decir que es un circuito capacitivo*. De acá podemos sacar la corriente eficaz:
La potencia activa es la energía del mes, divido la cantidad de tiempo. Como tenemos la energía en kWh, lo mas fácil es dividir por la cantidad de horas en un mes (30*24 = 720) para obtener la potencia en kW. Después multiplicamos por 1000 para pasar a Watts. Después despejamos la corriente eficaz:
Bueno y acá me da paja pero sabiendo que , y . De la relación fasorial y en magnitud podemos despejar R y C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
De acá se puede despejar tranquilamente y , resolviendo el ejercicio.
*La deducción sale de mirar fijo los fasores y las cuentas con productos y divisiones de complejos en la relación y las definiciones de reactancias para inductores y capacitores. Hay una manera fácil de acordarse sin hacer cuentas que es el nemotécnico "CIVIL", donde C=capacitivo, I=corriente, V=voltaje, L=inductivo. Si es C, la I está antes que la V. Caso contrario, es L y la V está antes que la I.
3) Para resolver este es clave tener bien entendido el MCU o movimiento helicoidal que se induce a una partícula cargada en un campo magnético uniforme. Sale todo de la fuerza de Lorentz. Podemos responder los dos puntos de un saque si resolvemos el problema para una velocidad generica .
El campo magnético es , y existe para .
Lo interesante pasa cuando la partícula entra a la región del campo magnético. Como sabemos . Si hacemos el cálculo, queda una fuerza al momento de entrar la partícula al campo. De ahí en mas, la fuerza se mantiene perpendicular a la velocidad y no puede variar su magnitud: si miramos fijos la fórmula de la fuerza de lorentz, el producto vectorial genera un vector perpendicular a ambos involucrados en la cuenta. Como la variación de la dirección del vector velocidad es perpendicular a B, esto garantiza que la partícula efectivamente entra en un movimiento circular uniforme. Para calcular el centro, calculamos el radio haciendo uso de las fórmulas de Física I. Tomamos el punto de entrada a la región como y vemos que la fuerza es positiva en z inicialmente. Por lo tanto el centro está en y el punto de salida en , ya que en ese punto escapa a la región de B y desaparece cualquier fuerza. El cálculo de es directo:
Podemos describir la trayectoria en función de la velocidad como piden, aunque la velocidad es constante en todo el recorrido y es algo como (en el sist. de referencia elegido). Gráficamente:
Una posible parametrización (para todo ) es:
Notar que la velocidad lo único que hace variar es el radio, la partícula siempre escapa a 2R "por sobre" donde entra a la región de B. Lo otro es que solo describí la trayectoria, la no es tiempo, es cualquier variable para describir la curva.
4) Como el recipiente de agua es muy grande, asumimos que la temperatura del mismo no varía. También, como la temperatura se encuentra restringida a 100°C, es imposible que el agua cambie de estado. La otra hipótesis es que el cuerpo que arrojamos tiene conductividad muy grande, es decir que está a la misma temperatura todo el tiempo. Y por último, despreciamos cualquier contribución por radiación. La lógica del problema es la siguiente:
- Tiramos el cuerpo a una temperatura . Luego:
- Por la diferencia de temperatura con el medio, absorbe energía.
- Aumentando su temperatura al absorber energía.
- El ciclo se repite hasta que ambas temperaturas son iguales.
Como el recipiente no cambia de temperatura, la temperatura final . La cantidad total de calor absorbido es:
Para la segunda parte tengo mis dudas pero esto es lo que se me ocurre: la temperatura es una función del tiempo y cumple . Para obtener la dependencia explícita diferenciamos la fórmula con respecto al tiempo y obtenemos: . Como tenemos una interacción entre un líquido y un sólido, la potencia está dada por la fórmula de Newton:
Donde la constante . Sin embargo no es dato. Nevertheless, seguimos, reemplazando en la fórmula anterior:
Reordenando:
Resolviendo la EDO esta de primer orden por ejemplo con factor integrante queda:
Donde , y es una constante de integración. Resulta:
Como , entonces . Se podría haber adivinado que tenía que tener esa forma de combinación de constante + exponencial solo para que satisfaga las condiciones finales e iniciales.
Conclusión, el ejercicio le faltaba el dato de la superficie del cuerpo sumergido.
5) Con la presión y temperatura inicial del gas se puede despejar el volumen inicial. Por lo tanto tenemos . En el nuevo estádo de equilibrio, se le agregó una presión equivalente al peso del cuerpo por el área del émbolo. Por lo tanto:
Sin embargo, como la presión externa es constante durante la compresión, no es un proceso reversible. Para que fuese reversible la presión interna del gas y externa deberían ser iguales momento a momento y solo diferentes por un diferencial para hacer la evolución. En este caso, se cambia la presión del pistón bruscamente y se mantiene constante. Entonces, tenemos un proceso irreversible donde la variación de entropía es no nula y lo único que podemos calcular directamente sobre el estado final es .
Por otro lado, como es un proceso adiabático, por la primer ley . Expandiendo esta relación (recordemos que la presión externa es igual a la presión final del gas, cuando se llega al equilibrio) obtenemos:
Donde tenemos dos incógnitas, y . Sin embargo, usando la relación de gas ideal, , podemos despejar ambas variables:
Similarmente podemos despejar , no tengo ganas de hacer todas las cuentas algebraicas, pero es terminar de resolver un sistemita de 2x2.
Ahora que conocemos las coordenadas termodinámicas iniciales y finales podemos hallar la variación de entropía. Como es un proceso adiabático, la variación de entropía del medio es 0 ya que no hay flujo de calor. Sin embargo, a expensas de la energía interna del gas, hay variación de entropía del sistema. Para hallarla usamos la fórmula . Necesitamos entonces encontrar un camino reversible que una las coordenadas termodinámicas iniciales con las finales, para calcular la variación de entropía de nuestro proceso irreversible.
Uno de los posibles caminos reversibles que podemos tomar, donde las variaciones de entropía son fáciles de calcular serían:
1. Primero una isotérmica hasta que se llega al volumen final (varía la presión, temperatura constante).
2. Luego una isocórica hasta que se llega a la presión final (variando la temperatura, ya que el volumen es constante).
Para la isotérmica, empezamos en . Como es isotérmica, . Ahora bien, como esta vez es reversible el camino, la presión externa y la interna son idénticas en todo el proceso y por lo tanto podemos usar la ley de gas ideal para despejar la presión:
Como la temperatura es constante, la variación de entropía es simplemente .
Luego para la isocórica partimos en las siguientes coordenadas: . En este caso, como el volumen es constante, de la primer ley sacamos que . Reemplazamos en la fórmula para la entropía y queda:
Por lo tanto, la variación de entropía del sistema es
Por último, la variación de entropía del universo es
Conclusión, los dos ejercicios de termo eran MUY salados.
Última edición por koreano el Vie Ago 10, 2012 7:26 pm, editado 5 veces
La potencia activa es la energía del mes, divido la cantidad de tiempo. Como tenemos la energía en kWh, lo mas fácil es dividir por la cantidad de horas en un mes (30*24 = 720) para obtener la potencia y despejar la corriente eficaz:
Yo hice casi todo el exámen igual a tu resolución salvo esta parte (acá frutié).
La energía te la daban en kW.h, lo pasé a W.s lo que me dió algo como
U(energía) = 1111,1 W.s
Entonces
Utotal = 1111,1 W . t siendo t el tiempo en segundos.
La potencia es la derivada de la energía en función del tiempo, entonces:
Pactiva = 1111,1 W
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![[tex]T_{amb}[/tex]](images/latex/d265583b470dd906dbd5e442d01df8c334c7065b_0.png "[tex]T_{amb}[/tex]")
.
![[tex]V(\infty)=0[/tex]](images/latex/baa7a385f962d32d05d9dbfbb708ea304795200b_0.png "[tex]V(\infty)=0[/tex]")
), en funcion de la coordenada radial, ie, distancia al origen. Lo primero que hay que darse cuenta es que el potencial no depende de ninguna otra coordenada que no sea ![[tex]r[/tex]](images/latex/7fca68834c90d92622ea606b0bd71f7d42531d19_0.png "[tex]r[/tex]")
en todo el espacio. Esto quiere decir que cualquier derivada con respecto a las coordenadas ortogonales a ![[tex]\vec{E} = - \vec{\nabla} V[/tex]](images/latex/4d6ea362e4ce91b17534556337f8797bb8e98c77_0.png "[tex]\vec{E} = - \vec{\nabla} V[/tex]")
![[tex]\vec{\nabla}a = \frac{\partial a}{\partial r} \hat{r}[/tex]](images/latex/6b106b45bdf623ad1900d9377617abbaff01b207_0.png "[tex]\vec{\nabla}a = \frac{\partial a}{\partial r} \hat{r}[/tex]")
![[tex]\vec{E}(r) =\begin{cases} -\frac{k}{b} r \, \hat{r} & r \leq a \\ 0 & r \in (a,b] \\ k\frac{a^3}{2r^2} \, \hat{r} & r > b\end{cases}[/tex]](images/latex/97b24c5e56b0926dc4f675c1117086810dd5611e_0.png "[tex]\vec{E}(r) =\begin{cases} -\frac{k}{b} r \, \hat{r} & r \leq a \\ 0 & r \in (a,b] \\ k\frac{a^3}{2r^2} \, \hat{r} & r > b\end{cases}[/tex]")
![[tex]\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex]](images/latex/7719ef9b0d85807854697bd92531bfc8ca7b1bd9_0.png "[tex]\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex]")
. Nuevamente nos dan la expresion de la divergencia en esfericas, y nos quedamos solo con el termino que involucra la coordenada radial ya que el campo electrico es nulo en cualquier otra direccion en todo el espacio: ![[tex]\vec{\nabla}\cdot\vec{b} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2 b_r)}{\partial r}[/tex]](images/latex/c5053761a5ad914db12f44cf814abaaf85b014ea_0.png "[tex]\vec{\nabla}\cdot\vec{b} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2 b_r)}{\partial r}[/tex]")
.
![[tex]\Delta \vec{D} \cdot \hat{n} = \sigma[/tex]](images/latex/5851874367405defa33af4f653ffaa8653bbb3d3_0.png "[tex]\Delta \vec{D} \cdot \hat{n} = \sigma[/tex]")
. Dicho en otras palabras, el salto del vector desplazamiento nos da la densidad de carga superficial (libre) en la interfaz entre dos puntos. Como en este problema es todo en el vacio, la relacion es directa con el campo electrico: ![[tex]\Delta \vec{E} \cdot \hat{n} = \sigma[/tex]](images/latex/75659d358f07ea7823fad7a05d6d0c934daf161b_0.png "[tex]\Delta \vec{E} \cdot \hat{n} = \sigma[/tex]")
. Ademas, los unicos puntos de quiebre del potencial (y por lo tanto de discontinuidad del campo electrico) se encuentran en ![[tex]r = a[/tex]](images/latex/07717c00bfe11c6d372b07fe55a83208a9e79d24_0.png "[tex]r = a[/tex]")
y ![[tex]r = b[/tex]](images/latex/d998778c0c73434e44f9c718554c869543ae36d5_0.png "[tex]r = b[/tex]")
, ya que en el resto del espacio el potencial es regular. Poniendo todo esto en cuentas queda:
![[tex]\rho(r) =\begin{cases} -\frac{3k}{b} & r \leq a \\ 0 & r \in (a,b] \\ 0 & r > b\end{cases}[/tex]](images/latex/4d5d5bd617ad6d01f31fa04e3fa119609e80a553_0.png "[tex]\rho(r) =\begin{cases} -\frac{3k}{b} & r \leq a \\ 0 & r \in (a,b] \\ 0 & r > b\end{cases}[/tex]")
[/tex]](images/latex/a83dac881a9f1da16c971bf8e01d7b17d0377b36_0.png "[tex](1,0,0)[/tex]")
en esfericas):
![[tex]r=a[/tex]](images/latex/3793d60cdec095cbc62c4d02ed173cba80a6d764_0.png "[tex]r=a[/tex]")
:
![[tex]\sigma_a = \left(\vec{E}(a^{+}) - \vec{E}(a^{-})\right) \cdot (1,0,0)[/tex]](images/latex/ee90a99b2716c311a8f04f18ec236c6fc203c8cf_0.png "[tex]\sigma_a = \left(\vec{E}(a^{+}) - \vec{E}(a^{-})\right) \cdot (1,0,0)[/tex]")
![[tex]\sigma_a = \left(0 + \frac{k}{b}a \hat{r}\right) \cdot (1,0,0) = \frac{k}{b}a[/tex]](images/latex/a5d1c374840a3e116f97e40311105c98dfe49e54_0.png "[tex]\sigma_a = \left(0 + \frac{k}{b}a \hat{r}\right) \cdot (1,0,0) = \frac{k}{b}a[/tex]")
![[tex]r=b[/tex]](images/latex/dd820811ed9e013e396310a981f93bf7ee3fde2a_0.png "[tex]r=b[/tex]")
:
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![[tex]\sigma_b = \left(k\frac{a^3}{2b^2} \, \hat{r} - 0 \right) \cdot (1,0,0) = k\frac{a^3}{2b^2}[/tex]](images/latex/f7183cc3a644998851a28d7337ab7331fd0f78e2_0.png "[tex]\sigma_b = \left(k\frac{a^3}{2b^2} \, \hat{r} - 0 \right) \cdot (1,0,0) = k\frac{a^3}{2b^2}[/tex]")
![[tex]\sigma(r) =\begin{cases} \frac{k}{b}a & r = a \\ k\frac{a^3}{2b^2} & r = b \\ 0 & \text{cualquier otro caso}\end{cases}[/tex]](images/latex/8c6541bf267ca03d43ef8c5cbdcf9c6b57156a3f_0.png "[tex]\sigma(r) =\begin{cases} \frac{k}{b}a & r = a \\ k\frac{a^3}{2b^2} & r = b \\ 0 & \text{cualquier otro caso}\end{cases}[/tex]")
![[tex]V_{ef}[/tex]](images/latex/2120de27e67c8c5129ff824b589122515168f0d5_0.png "[tex]V_{ef}[/tex]")
, la frecuencia ![[tex]\omega = 2\pi \cdot f[/tex]](images/latex/3eff43675151f61d577f9c111775f8de19df6e23_0.png "[tex]\omega = 2\pi \cdot f[/tex]")
, y el desfasaje ![[tex]\phi = \frac{\pi}{6}[/tex]](images/latex/ba1480e549f656c44488a935fe81a81890b65d50_0.png "[tex]\phi = \frac{\pi}{6}[/tex]")
.
![[tex]P_{act} = I_{ef} V_{ef} \cos(\phi)[/tex]](images/latex/2b8042fdfe392e1c77f38f25022eb5ad8ae3737c_0.png "[tex]P_{act} = I_{ef} V_{ef} \cos(\phi)[/tex]")
![[tex]I_{ef} = \frac{1000\cdot P_{\text{consumida}} / 720h}{V_{ef} \cos(\phi)}[/tex]](images/latex/8cb6eb9fad01cce9489333f1807b5b6731725f15_0.png "[tex]I_{ef} = \frac{1000\cdot P_{\text{consumida}} / 720h}{V_{ef} \cos(\phi)}[/tex]")
![[tex]Z = R - i X_C[/tex]](images/latex/0ab11ad941a4b65ea3dbdac2eb290c67ad4cf0e5_0.png "[tex]Z = R - i X_C[/tex]")
, y ![[tex]X_C = \frac{1}{\omega C}[/tex]](images/latex/f06cdcac16572410f34c0d0f11b06f7b7c7ad972_0.png "[tex]X_C = \frac{1}{\omega C}[/tex]")
. De la relación fasorial y en magnitud podemos despejar R y C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
![[tex]|V_{ef}| = |I_{ef}||Z| = |I_{ef}|\sqrt{R^2 + X_C^2}[/tex]](images/latex/cfd0a38fccf16deb0a8c3e2f19fb92ddb0ec79e8_0.png "[tex]|V_{ef}| = |I_{ef}||Z| = |I_{ef}|\sqrt{R^2 + X_C^2}[/tex]")
![[tex]\tan(\phi) = \frac{\operatorname{Im}(Z)}{\operatorname{Re}(Z)} = \frac{-X_C}{R}[/tex]](images/latex/93af5cb5d41a9332b4bae89bf7dfd9856af35e2a_0.png "[tex]\tan(\phi) = \frac{\operatorname{Im}(Z)}{\operatorname{Re}(Z)} = \frac{-X_C}{R}[/tex]")
![[tex]R[/tex]](images/latex/06bb2956f6ba6274346e5b9e386e2e81f25a8632_0.png "[tex]R[/tex]")
y ![[tex]C[/tex]](images/latex/f080822e4599409bd2523af830d42a915043dcd8_0.png "[tex]C[/tex]")
, resolviendo el ejercicio.
![[tex]V=IZ[/tex]](images/latex/95acdcb26c234ce54198a3d474a6a0d0acb9d26e_0.png "[tex]V=IZ[/tex]")
y las definiciones de reactancias para inductores y capacitores. Hay una manera fácil de acordarse sin hacer cuentas que es el nemotécnico "CIVIL", donde C=capacitivo, I=corriente, V=voltaje, L=inductivo. Si es C, la I está antes que la V. Caso contrario, es L y la V está antes que la I.![[tex]\vec{v} = v_0 \, \hat{i}[/tex]](images/latex/089106768085748682fa5fda3a0846ea618a15dc_0.png "[tex]\vec{v} = v_0 \, \hat{i}[/tex]")
.
![[tex]\vec{B} = B_0 \, \hat{j}[/tex]](images/latex/69effc2e866215b200e43ca0b0feb5ef53059de0_0.png "[tex]\vec{B} = B_0 \, \hat{j}[/tex]")
, y existe para ![[tex]x \geq 0[/tex]](images/latex/cfe7522e3854b7a05aedf6e2d64116fc7a408849_0.png "[tex]x \geq 0[/tex]")
.
![[tex]\vec{F} = m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})[/tex]](images/latex/671cd0bdbe2460e52137df672d737cbc225e8334_0.png "[tex]\vec{F} = m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})[/tex]")
. Si hacemos el cálculo, queda una fuerza ![[tex]\vec{F} = q v_0 B\,\hat{k}[/tex]](images/latex/03b42e765e38864ef2088c030413472bceb5f57d_0.png "[tex]\vec{F} = q v_0 B\,\hat{k}[/tex]")
al momento de entrar la partícula al campo. De ahí en mas, la fuerza se mantiene perpendicular a la velocidad y no puede variar su magnitud: si miramos fijos la fórmula de la fuerza de lorentz, el producto vectorial genera un vector perpendicular a ambos involucrados en la cuenta. Como la variación de la dirección del vector velocidad es perpendicular a B, esto garantiza que la partícula efectivamente entra en un movimiento circular uniforme. Para calcular el centro, calculamos el radio haciendo uso de las fórmulas de Física I. Tomamos el punto de entrada a la región como [/tex]](images/latex/a1fb598f55234f3cf3239626d489655a427e3c80_0.png "[tex](0,0,0)[/tex]")
y vemos que la fuerza es positiva en z inicialmente. Por lo tanto el centro está en [/tex]](images/latex/f5a153a0a98bebd4d4136b1431ad2cee75cc3673_0.png "[tex](0,0,R)[/tex]")
y el punto de salida en [/tex]](images/latex/83b34bd141295457cb2f61477b031a25f543b20a_0.png "[tex](0,0,2R)[/tex]")
, ya que en ese punto escapa a la región de B y desaparece cualquier fuerza. El cálculo de ![[tex]a_c = \frac{v^2}{R} \rightarrow R = \frac{v^2}{a_c}[/tex]](images/latex/2c7e6d98cf97232819cc9f2a89b88a299e3cf72e_0.png "[tex]a_c = \frac{v^2}{R} \rightarrow R = \frac{v^2}{a_c}[/tex]")
![[tex]R = \frac{v_0^2}{qv_0B/m} = \frac{m v_0}{qB}[/tex]](images/latex/b1090a4cfe22e16e2bccb929c04b23ff43b0a5b5_0.png "[tex]R = \frac{v_0^2}{qv_0B/m} = \frac{m v_0}{qB}[/tex]")
![[tex]v_0[/tex]](images/latex/16f6cd49de7d152aec9ba77501365b07c7911273_0.png "[tex]v_0[/tex]")
) es:
![[tex]\gamma(t) = \begin{cases} (t,0,0) & t \in [\infty, 0] \\ (R\sin(t), 0, R\cos(t) + R) & r \in [0,\pi] \\ (t,0,2R) & t \in [0, \infty] \\ \end{cases}[/tex]](images/latex/aa481d3e0672ae4fbb380b2825e9d511076010f9_0.png "[tex]\gamma(t) = \begin{cases} (t,0,0) & t \in [\infty, 0] \\ (R\sin(t), 0, R\cos(t) + R) & r \in [0,\pi] \\ (t,0,2R) & t \in [0, \infty] \\ \end{cases}[/tex]")
![[tex]t[/tex]](images/latex/975643a82a50f7035377ef49daca21dde6c93bca_0.png "[tex]t[/tex]")
no es tiempo, es cualquier variable para describir la curva.
![[tex]T_0[/tex]](images/latex/a0e407c4d13a4024d009a3d3080cbd392543c313_0.png "[tex]T_0[/tex]")
. Luego:
![[tex]T_f[/tex]](images/latex/a03ae2610ac4f189cf32e12ec8916aa4d0779bbb_0.png "[tex]T_f[/tex]")
. La cantidad total de calor absorbido es:
![[tex]Q_t = mC(T_f - T_0)[/tex]](images/latex/312ee980c01c150c71a9b5a89f9d1b66ac91b106_0.png "[tex]Q_t = mC(T_f - T_0)[/tex]")
![[tex]T(0) = T_0, T(\infty) = T_f[/tex]](images/latex/c3227bcd94f140ed32e718126736b25d35881dd6_0.png "[tex]T(0) = T_0, T(\infty) = T_f[/tex]")
. Para obtener la dependencia explícita diferenciamos la fórmula ![[tex]Q = mC(T - T_0)[/tex]](images/latex/1541e33e144b7294178e7b762916fa5342d8b664_0.png "[tex]Q = mC(T - T_0)[/tex]")
con respecto al tiempo y obtenemos: ![[tex]\dot{Q} = mC\dot{T}[/tex]](images/latex/f7a396bf9352e8a9532b0537470a1bb11637c294_0.png "[tex]\dot{Q} = mC\dot{T}[/tex]")
. Como tenemos una interacción entre un líquido y un sólido, la potencia está dada por la fórmula de Newton:
![[tex]\dot{Q} = K(T_f - T(t))[/tex]](images/latex/9d9c45d1924014a703fdf07e2cd6decaa60f89ce_0.png "[tex]\dot{Q} = K(T_f - T(t))[/tex]")
![[tex]K = h \cdot S[/tex]](images/latex/f90b6f1cb3f03359a1d0530b7a8460b8130b066b_0.png "[tex]K = h \cdot S[/tex]")
. Sin embargo ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]")
no es dato. Nevertheless, seguimos, reemplazando en la fórmula anterior:
![[tex]K(T_f - T(t)) = mC\dot{T}[/tex]](images/latex/af1233e534b3a6807cf49789fc93f835c0d6038a_0.png "[tex]K(T_f - T(t)) = mC\dot{T}[/tex]")
![[tex]\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{K T_f}{mC} - \frac{K}{mC}T(t)[/tex]](images/latex/e044f43627d9f519bf9ce70d810d5a7d15e5bd3f_0.png "[tex]\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{K T_f}{mC} - \frac{K}{mC}T(t)[/tex]")
![[tex]T(t) = \frac{\alpha}{\beta} + C e^{-\beta t}[/tex]](images/latex/ae7d90378218961ffe50f1ec60ffc719e32027ea_0.png "[tex]T(t) = \frac{\alpha}{\beta} + C e^{-\beta t}[/tex]")
![[tex]\alpha = \frac{K T_f}{mC}[/tex]](images/latex/dd66f4c144f270f57fb2579c0b1785b86c3d6f0e_0.png "[tex]\alpha = \frac{K T_f}{mC}[/tex]")
, ![[tex]\beta = \frac{K}{mC}[/tex]](images/latex/de077b9da40b2ef24df8304f7bb7f253cd5b28d2_0.png "[tex]\beta = \frac{K}{mC}[/tex]")
y ![[tex]T(t) = T_f + C e^{-\beta t}[/tex]](images/latex/6bb656db05703fa09658536887e91419551cb311_0.png "[tex]T(t) = T_f + C e^{-\beta t}[/tex]")
![[tex]T(0) = T_i[/tex]](images/latex/4fe65578507210780d41cadf25c4325e631ee9aa_0.png "[tex]T(0) = T_i[/tex]")
, entonces ![[tex]C = T_i - T_f[/tex]](images/latex/c8854d64e3cac96c0c9f4a662ba181bc1e474e8b_0.png "[tex]C = T_i - T_f[/tex]")
. Se podría haber adivinado que tenía que tener esa forma de combinación de constante + exponencial solo para que satisfaga las condiciones finales e iniciales.
![[tex]T_i, P_i, V_i = \frac{RT_i}{P_i}[/tex]](images/latex/a15b60500b4a368458e2fad254376259b22274aa_0.png "[tex]T_i, P_i, V_i = \frac{RT_i}{P_i}[/tex]")
. En el nuevo estádo de equilibrio, se le agregó una presión equivalente al peso del cuerpo por el área del émbolo. Por lo tanto:
![[tex]P_f = P_i + \frac{M\cdot g}{S}[/tex]](images/latex/fae46119e063ae6af564477981de4909593e6d6c_0.png "[tex]P_f = P_i + \frac{M\cdot g}{S}[/tex]")
![[tex]P_f[/tex]](images/latex/80dc513383a7054b7fa4e40f671e9a39a714f86e_0.png "[tex]P_f[/tex]")
.
![[tex]\Delta U = W[/tex]](images/latex/1a094b2290f0e2f049fc812a7f9691c5278c00f1_0.png "[tex]\Delta U = W[/tex]")
. Expandiendo esta relación (recordemos que la presión externa es igual a la presión final del gas, cuando se llega al equilibrio) obtenemos:
![[tex]C_v(T_f - T_i) = -P_f(V_f - V_i)[/tex]](images/latex/28c8ed35ec250e7ab7b16cd98d1bd974282a8f1b_0.png "[tex]C_v(T_f - T_i) = -P_f(V_f - V_i)[/tex]")
![[tex]V_f[/tex]](images/latex/736dfdee1512592559515c9e12aa31e8397cac14_0.png "[tex]V_f[/tex]")
. Sin embargo, usando la relación de gas ideal, ![[tex]P_f V_f = R T_f[/tex]](images/latex/589f9d09c49523fc13a99f03d9daf7e33c174c6e_0.png "[tex]P_f V_f = R T_f[/tex]")
, podemos despejar ambas variables:
![[tex]C_v T_f - C_v T_i = P_f V_i - P_f V_f[/tex]](images/latex/8598c58e83a9aeea8b65edca4fdbcc47792ef5de_0.png "[tex]C_v T_f - C_v T_i = P_f V_i - P_f V_f[/tex]")
![[tex]C_v \frac{P_f V_f}{R} - C_v T_i = P_f V_i - P_f V_f[/tex]](images/latex/b0082fd8262debace45889b6f8fdf1b1addf641c_0.png "[tex]C_v \frac{P_f V_f}{R} - C_v T_i = P_f V_i - P_f V_f[/tex]")
![[tex]C_v \frac{P_f V_f}{R} + P_f V_f = P_f V_i + C_v T_i[/tex]](images/latex/5288ddde0fb70d154edad05e50935582ebe86c0a_0.png "[tex]C_v \frac{P_f V_f}{R} + P_f V_f = P_f V_i + C_v T_i[/tex]")
![[tex]\left( C_v \frac{P_f}{R} + P_f \right) V_f = P_f V_i + C_v T_i[/tex]](images/latex/527b481c118dd54964bb14b04260ca6a2afba2bd_0.png "[tex]\left( C_v \frac{P_f}{R} + P_f \right) V_f = P_f V_i + C_v T_i[/tex]")
![[tex]V_f = \frac{P_f V_i + C_v T_i}{\left( C_v \frac{P_f}{R} + P_f \right)}[/tex]](images/latex/4a6fd496196c8d62d3983ff593c2e40835791e3b_0.png "[tex]V_f = \frac{P_f V_i + C_v T_i}{\left( C_v \frac{P_f}{R} + P_f \right)}[/tex]")
![[tex]dS = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}[/tex]](images/latex/1862fce53dd4adc4b180dec993f117dee5cc878b_0.png "[tex]dS = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}[/tex]")
. Necesitamos entonces encontrar un camino reversible que una las coordenadas termodinámicas iniciales con las finales, para calcular la variación de entropía de nuestro proceso irreversible.
![[tex]P_i, V_i, T_i[/tex]](images/latex/8932df2386aadc87666fca30a81d80dc8333b271_0.png "[tex]P_i, V_i, T_i[/tex]")
. Como es isotérmica, ![[tex]\Delta U_1 = 0 \rightarrow Q_1 = W_1 = \int_{V_i}^{V_f}PdV[/tex]](images/latex/68e7129a1b634984a767fbde7781a121b2d44a1a_0.png "[tex]\Delta U_1 = 0 \rightarrow Q_1 = W_1 = \int_{V_i}^{V_f}PdV[/tex]")
. Ahora bien, como esta vez es reversible el camino, la presión externa y la interna son idénticas en todo el proceso y por lo tanto podemos usar la ley de gas ideal para despejar la presión:
![[tex]Q_1 = \int_{V_i}^{V_f} P dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{RT_i}{V} dV = R T_i \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)[/tex]](images/latex/f3887efa70552847131a928fba4bed1f0bd4c42e_0.png "[tex]Q_1 = \int_{V_i}^{V_f} P dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{RT_i}{V} dV = R T_i \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)[/tex]")
![[tex]\Delta S_1 = \frac{Q_1}{T_i}[/tex]](images/latex/0b89d37ccb2df543a5b0c1d4b0dcc3b4bef01c8a_0.png "[tex]\Delta S_1 = \frac{Q_1}{T_i}[/tex]")
.
![[tex]T_i, V_f, P_{1-f} = \frac{R T_i}{V_f}[/tex]](images/latex/dcf88c2fddd66b45e4ba047378659374f111be52_0.png "[tex]T_i, V_f, P_{1-f} = \frac{R T_i}{V_f}[/tex]")
. En este caso, como el volumen es constante, de la primer ley sacamos que ![[tex]dQ = dU = C_v dT[/tex]](images/latex/e13924b19d6f0000f642e1eb1e6489077b14db10_0.png "[tex]dQ = dU = C_v dT[/tex]")
. Reemplazamos en la fórmula para la entropía y queda:
![[tex]\Delta S_2 = \int_{T_i}^{T_f} \frac{C_v dT}{T} = C_v \ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right)[/tex]](images/latex/582562f1836f179232562f2bfdec38d583a2d804_0.png "[tex]\Delta S_2 = \int_{T_i}^{T_f} \frac{C_v dT}{T} = C_v \ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right)[/tex]")
![[tex]\Delta S_{\text{sist}} = \Delta S_1 + \Delta S_2[/tex]](images/latex/176ce7fe547b4ce0b681f127fd4f6a69c1e41402_0.png "[tex]\Delta S_{\text{sist}} = \Delta S_1 + \Delta S_2[/tex]")
![[tex]\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{medio}} + \Delta S_{\text{sist}} = \Delta S_{\text{sist}}[/tex]](images/latex/7d4b5cb26781c03d150cd1fac6b052b59afefe73_0.png "[tex]\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{medio}} + \Delta S_{\text{sist}} = \Delta S_{\text{sist}}[/tex]")
![[tex]I_{ef} = \frac{P_{\text{consumida}} / 720h}{V_{ef} \cos(\phi)}[/tex]](images/latex/045fb0debe06f1d9724f984cad52512ff4dbfa76_0.png "[tex]I_{ef} = \frac{P_{\text{consumida}} / 720h}{V_{ef} \cos(\phi)}[/tex]")
