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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Abro este exclusivamente para sacarnos dudas de ejercicios, el otro que quede para discutir cosas de la materia. Y de a poco ir completando con mas ejercicios para que ya queden resueltos.
Empiezo yo.
2. Sea un alambre que forma un círculo de radio a. Se ensarta en el círculo una cuenta de masa m y se restringe al alambre a girar en su propio plano alrededor de un punto fijo que pertenece al círculo. La velocidad angular del círuclo es es constante.
(a) Hallar el lagrangeano de la cuenta para un sistema inercial de coordenadas y para un sistema acelerado fijo al círculo y con centro en el centro del círculo.
(b) Hallar la función energía , el momento lineal y el momento angular en ambos sistemas de coordenadas.
(c) Hallar la ecuación diferencial de movimiento de la partícula respecto del alambre. Compruebe que esta se comporta como un péndulo en un campo gravitatorio con un g=aw^2 cuando los desplazamientos se miden a partir de la posición de equilibrio estable.
Cuando hago desde un sistema inercial, me queda el lagrandeano mas comun de todos no? Pregunto porque me llama la atencion que salga tan facil.
El otro (no inercial) que seria mas dificil me salio, bah, digamos que es un ejercicio de la guia con una vuelta de rosca mas.
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
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Carrera: Mecánica
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No entiendo mucho la pregunta. ¿El lagrangeano más común de todos? Si te referís a T-U, lo que usamos en todo el resto de los ejercicios sin aclarar si es un sistema inercial o no, sí, es ese.
La energía potencial gravitatoria es constante (la partícula se mueve en un plano horizontal), así que tranquilamente podés tomar U=0 en el Lagrangeano directamente.
Otra cosa sobre el problema, no se me ocurre ahora. Fijate bien cómo escribir la posición y la velocidad de la partícula, que creo que es lo más difícil del problema, después es todo fórmulas y cuentas.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
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Carrera: Mecánica
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No relei lo que puse, no se entiende una garcha. Lo que quise preguntar es si en el primer caso se usa el que r=ro*ro(versor) y de ahi se saca el r(punto) con ro y theta variables.
Bah, creo que era eso.
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Elmo Lesto
Nivel 8
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| Basterman escribió:
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Lo que quise preguntar es si en el primer caso se usa el que r=ro*ro(versor) y de ahi se saca el r(punto) con ro y theta variables.
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Si bien aprobaste (bien ahí campión), respondo, por si le sirve a otro.
Hay que tener cuidado acá con cómo se usan las polares. El tema es que acá el centro de giro no coincide con el centro del círculo.
Lo primero que es conveniente ver, en todos los problemas de Mecánica de Lagrange, es qué coordenada hay que hallar para poder determinar totalmente la posición de la partícula. En este caso, como uno sabe que la velocidad angular del alambre es constante, y que el alambre forma un círculo, lo más conveniente es utilizar como variable a determinar el ángulo ![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") que se aparta la cuenta con respecto a una determinada posición.
Un recurso bastante útil en este caso es acordarse de lo que explicó Bisceglia acerca de hallar una derivada temporal absoluta si uno está parado en un sistema que gira. Si ponemos un sistema de coordenadas cartesianas fijo al aro y cuyo origen coincida con su centro, este sistema va a tener la misma velocidad angular ![[tex] \omega [/tex]](images/latex/985b39ab7de330ec22c5109452dc86b3ad5e8f2d_0.png "[tex] \omega [/tex]") que el aro. A partir de ese sistema, sí podemos usar coordenadas polares, y con mucha comodidad, porque la norma del vector posición en ese sistema que se mueve es siempre ![[tex] a [/tex]](images/latex/bd69515dffb7d953ed51570bc903804a39c1e2ef_0.png "[tex] a [/tex]") , ya que la cuenta se queda en el aro.
Yo tomo ese sistema cartesiano que se mueve con el aro, de tal forma que el ![[tex] \hat{ x } [/tex]](images/latex/6dee0e071dd63ec75f387a13340b6235eee3a80b_0.png "[tex] \hat{ x } [/tex]") me apunta en la dirección del centro del aro, radialmente. Fijo el sistema inercial a ese punto del aro, entonces el sistema no inercial describe un círculo de radio alrededor del otro, y lo recorre con velocidad angular . Me queda:
![[tex] \vec { r } = a \hat{ x } + a \hat{\rho} [/tex]](images/latex/817b638056e68f00cb9f1178972c5a08dbc22db0_0.png "[tex] \vec { r } = a \hat{ x } + a \hat{\rho} [/tex]")
Para la velocidad, usás el operador de derivada absoluta y te queda
![[tex] \vec { \dot { r } } = \omega \hat { z } \times a \hat { x } + a \dot { { \theta } } \hat { \theta } = \omega \hat { y } + a \dot { { \theta } } \hat { \theta } [/tex]](images/latex/f47c0855af744cf0b33c012f4add7403ab640502_0.png "[tex] \vec { \dot { r } } = \omega \hat { z } \times a \hat { x } + a \dot { { \theta } } \hat { \theta } = \omega \hat { y } + a \dot { { \theta } } \hat { \theta } [/tex]") , y de ahí para adelante, como siempre.
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Basterman
Nivel 9
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Carrera: Mecánica
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Si si, esa parte la hacia bien, el tema es que tambien pide hallar lo mismo pero desde un sistema inercial y lo que habia planteado era lo que dije en el post de arriba.
Despues a la hora de hacerlo desde el no inercial hice lo que acabas de decir.
Si termino de dar los finales y me queda tiempo prometo subir un par de ejercicios resueltos, asi de una vez por toda empieza a quedar algo mas que promesas.
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Elmo Lesto
Nivel 8
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Carrera: Mecánica
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Ojo ahí, que lo que escribí* está hecho desde un sistema inercial (laboratorio, tierra firme, lo que sea). Por eso usamos la derivada absoluta y todo eso.
Para el planteo en el NO inercial (agarrado al aro) nos quedamos sólo con el segundo término de la velocidad (que es lo que veríamos si estuviéramos agarrados al aro) y después lo metemos en esa loca fórmula de Lagrangeano para sistemas no inerciales, y listo el pollo, pelada la gallina Pipa.
*Ahora veo que me comí una en el primer término del último miembro. Y qué feo que queda el punto de derivada con respecto al tiempo abajo de la flechita.
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Basterman
Nivel 9
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Bueno, antes prometi algo que ahora voy a tratar de cumplir. Lo voy a hacer en 3 post, uno por tema, dinamica de Lagrange, vibraciones, cuerpo rigido queda para otra ocasion, me hinche los huevos de escribir en latex. Primero subo uno de dinamica de Lagrange, bah, traigo uno que hizo Marichun en otro topic porque esta muy bien hecho, y para entender el tema creo que es un ejercicio clave, tiene todo:
El enunciado dice:
Se tiene un aro de radio a que gira respecto de un diamtero con velocidad angular ![[tex]w=w\hat{z}[/tex]](images/latex/cad6657d872e7dbf7d3f1ddbe94911051711ddb9_0.png "[tex]w=w\hat{z}[/tex]") en el campo gravitatorio. Sobre el aro puede deslizar una particula m:
a)Hallar el Lagrangeano de la particula y sus constantes de movimiento
b)Hallar el angulo ![[tex]\theta_{0}[/tex]](images/latex/88eea5afcfda337a08e78abe0bdfa500202623d3_0.png "[tex]\theta_{0}[/tex]") de equilibrio estable respecto del aro y la frecuencia de oscilacion de pequeñas amplitudes, de la particula con respecto de la posicion de equilibrio estable
c)Hallar la fuerza de vinculo sobre la particula
![[tex]\textrm{Posición de la partícula.} \overrightarrow{r}= \rho\hat{ \rho}[/tex]](images/latex/48e9fb53eefab841f8582a0d02a60015d519092a_0.png "[tex]\textrm{Posición de la partícula.} \overrightarrow{r}= \rho\hat{ \rho}[/tex]")
![[tex]\textrm{Velocidad de la partícula.} \overrightarrow{\dot r}= \dot \rho \hat{ \rho} + \rho \dot \theta \hat{ \theta} + \rho \dot \varphi \sen{ \theta} \hat{ \varphi}[/tex]](images/latex/a42ec2dc958aeacb91b690d6c0a4a1ea37dcd9ad_0.png "[tex]\textrm{Velocidad de la partícula.} \overrightarrow{\dot r}= \dot \rho \hat{ \rho} + \rho \dot \theta \hat{ \theta} + \rho \dot \varphi \sen{ \theta} \hat{ \varphi}[/tex]")
![[tex]\textrm{Energía cinética de la partícula.} \textrm{T}=\displaystyle\frac{m}{2} ( \dot \rho^2 + \rho^2 \dot \theta^2 + \rho^2 \dot\phi^2 \sen^2{ \theta} ) [/tex]](images/latex/74103c3c68e9ff27ccbf2535f1bd92aee9cb2ddc_0.png "[tex]\textrm{Energía cinética de la partícula.} \textrm{T}=\displaystyle\frac{m}{2} ( \dot \rho^2 + \rho^2 \dot \theta^2 + \rho^2 \dot\phi^2 \sen^2{ \theta} ) [/tex]")
![[tex]\textrm{Considero el cero de Energía potencial a nivel del centro del aro, entonces:} \textrm{ U = mg} \rho\cos{ \theta} [/tex]](images/latex/1012e3a16782078698a4df22304884eba0cf7738_0.png "[tex]\textrm{Considero el cero de Energía potencial a nivel del centro del aro, entonces:} \textrm{ U = mg} \rho\cos{ \theta} [/tex]")
![[tex]\textrm{Lagrangiano de la partícula: } \mathcal{L}=\textrm{ T - U }= \displaystyle\frac{m}{2} ( \dot \rho^2 + \rho^2 \dot \theta^2 + \rho^2 \dot\varphi^2 \sen^2{ \theta} ) - \textrm{mg} \rho\cos{ \theta} [/tex]](images/latex/f1becf42442bc270ff074b4449957299bd7bf292_0.png "[tex]\textrm{Lagrangiano de la partícula: } \mathcal{L}=\textrm{ T - U }= \displaystyle\frac{m}{2} ( \dot \rho^2 + \rho^2 \dot \theta^2 + \rho^2 \dot\varphi^2 \sen^2{ \theta} ) - \textrm{mg} \rho\cos{ \theta} [/tex]")
![[tex]\textrm{Armo las ecuaciones de movimiento:} [/tex]](images/latex/00ddb53c7837d963b6b12a0dcf220582259f14bf_0.png "[tex]\textrm{Armo las ecuaciones de movimiento:} [/tex]")
![[tex]\textrm{Derivo respecto de } \rho \textrm{:}[/tex]](images/latex/4a4ecbe97a1f918d3af9799dfa68fadbc331359b_0.png "[tex]\textrm{Derivo respecto de } \rho \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \rho}}= \textrm{m} \dot \rho[/tex]](images/latex/c965d1e1408ecf5852f31ad5b0acab80d4334aae_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \rho}}= \textrm{m} \dot \rho[/tex]")
![[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \rho}}= \textrm{m} \ddot \rho [/tex]](images/latex/ce4c7cbc7fa5eb036398b20b8679bf678b524364_0.png "[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \rho}}= \textrm{m} \ddot \rho [/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \rho}}= \textrm{m} \rho \dot \theta^2 + \textrm{m} \rho \dot \varphi^2 \sen^2{ \theta} - \textrm{mg} \cos{ \theta} [/tex]](images/latex/f74e9f671ab5b61dc4779ff37b9b0e7ac28de769_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \rho}}= \textrm{m} \rho \dot \theta^2 + \textrm{m} \rho \dot \varphi^2 \sen^2{ \theta} - \textrm{mg} \cos{ \theta} [/tex]")
![[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \rho \textrm{:}[/tex]](images/latex/e25a73864b57fa12877d13d871f99f9e33595082_0.png "[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \rho \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\textrm{m} \ddot \rho - \textrm{m} \rho \dot \theta^2 - \textrm{m} \rho \dot \varphi^2 \sen^2{ \theta} + \textrm{mg} \cos{ \theta} = \Phi_ \rho [/tex]](images/latex/4811661b4a7b14c78dd263338beb5a0bba134616_0.png "[tex]\textrm{m} \ddot \rho - \textrm{m} \rho \dot \theta^2 - \textrm{m} \rho \dot \varphi^2 \sen^2{ \theta} + \textrm{mg} \cos{ \theta} = \Phi_ \rho [/tex]")
![[tex]\textrm{Derivo respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]](images/latex/69221c7feae4c03c4609b8ba0a54eb3cb380e30b_0.png "[tex]\textrm{Derivo respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \theta}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \theta[/tex]](images/latex/0c6d49eb6085c7ea2615d7c57ba23d2bd6006320_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \theta}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \theta[/tex]")
![[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \theta}}= \textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \theta + \textrm{m} \rho^2 \ddot \theta[/tex]](images/latex/a1e2b13aaff1c361d3ff1184f6a6380ce2004a47_0.png "[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \theta}}= \textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \theta + \textrm{m} \rho^2 \ddot \theta[/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \rho}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} + \textrm{mg} \rho \sen{ \theta} [/tex]](images/latex/305389f1e2168a458fb5a67d24815ac8a4e77728_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \rho}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} + \textrm{mg} \rho \sen{ \theta} [/tex]")
![[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]](images/latex/1ba3b9864489f3623d22ebd16fe28ef13dfb1014_0.png "[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \theta + \textrm{m} \rho^2 \ddot \theta - \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mg} \rho \sen{ \theta} = \Phi_ \theta [/tex]](images/latex/ac3e274f4d40d66d5559ee2db4aa661094cb4b66_0.png "[tex]\textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \theta + \textrm{m} \rho^2 \ddot \theta - \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mg} \rho \sen{ \theta} = \Phi_ \theta [/tex]")
![[tex]\textrm{Derivo respecto de } \varphi \textrm{:}[/tex]](images/latex/611bbee4a62cd0fc20acde4cfbbfc8b4472ac349_0.png "[tex]\textrm{Derivo respecto de } \varphi \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi \sen^2{ \theta}[/tex]](images/latex/dd023c692bc8b3c4c18a188e7069423931bdd0c1_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}= \textrm{m} \rho^2 \dot \varphi \sen^2{ \theta}[/tex]")
![[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}= \textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{m} \rho^2 \ddot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{2m} \rho^2 \dot \varphi \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta}[/tex]](images/latex/e41edda13bd58f6e15a7f35e4969e5d154c49acc_0.png "[tex]\frac{d}{dt}\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}= \textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{m} \rho^2 \ddot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{2m} \rho^2 \dot \varphi \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta}[/tex]")
![[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \varphi}}= \textrm{0} [/tex]](images/latex/43868d0a4b188aa6001ae20a73cf786a0e2e332a_0.png "[tex]\frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \varphi}}= \textrm{0} [/tex]")
![[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \varphi \textrm{ :}[/tex]](images/latex/4136fae24e4831f5a015f31e7c7bd60ce3ba7d32_0.png "[tex]\textrm{ Ecuación de movimiento respecto de } \varphi \textrm{ :}[/tex]")
![[tex]\textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{m} \rho^2 \ddot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{2m} \rho^2 \dot \varphi \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta} = \Phi_ \varphi [/tex]](images/latex/721baaedf78f34eb21065ab0fc31b5b1305e3846_0.png "[tex]\textrm{2m} \rho \dot \rho \dot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{m} \rho^2 \ddot \varphi \sen^2{ \theta} + \textrm{2m} \rho^2 \dot \varphi \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta} = \Phi_ \varphi [/tex]")
![[tex] \textrm{Utilizo las 2 restricciones para hallar la fuerza de vínculo B: } [/tex]](images/latex/803e20161ff3ff6463bbcfb40eab25018dfc6e1a_0.png "[tex] \textrm{Utilizo las 2 restricciones para hallar la fuerza de vínculo B: } [/tex]")
![[tex] \psi_\textrm{1} = \varphi - \omega \textrm{t = 0} [/tex]](images/latex/c069e9662a6695c68d9826d5fa2293238a1321d1_0.png "[tex] \psi_\textrm{1} = \varphi - \omega \textrm{t = 0} [/tex]")
![[tex] \textrm{d} \psi_\textrm{1} = \textrm{d} \varphi - \omega \textrm{dt = 0} [/tex]](images/latex/0e79ef3749094ec3b1d09776c1a7867e608a360f_0.png "[tex] \textrm{d} \psi_\textrm{1} = \textrm{d} \varphi - \omega \textrm{dt = 0} [/tex]")
![[tex] \textrm{No tengo en cuenta el término que incluye al 'dt' ya que estamos considerando desplazamientos virtuales.} [/tex]](images/latex/9a6489639abe27775635bdbcfb0e855d5a75fab5_0.png "[tex] \textrm{No tengo en cuenta el término que incluye al 'dt' ya que estamos considerando desplazamientos virtuales.} [/tex]")
![[tex] \textrm{Entonces la componente de la fuerza de vínculo B en la dirección de } \hat{ \varphi} \textrm{ es la siguiente:} [/tex]](images/latex/5e115f68e913430570816c65df00528c3958a786_0.png "[tex] \textrm{Entonces la componente de la fuerza de vínculo B en la dirección de } \hat{ \varphi} \textrm{ es la siguiente:} [/tex]")
![[tex] \textrm{B}_ \varphi = \lambda_\textrm{1} \frac{d \psi_\textrm{1}}{d \varphi} = \lambda_\textrm{1} [/tex]](images/latex/4eaf8b783e85cf5fb99ea669dfce0ece56613d8e_0.png "[tex] \textrm{B}_ \varphi = \lambda_\textrm{1} \frac{d \psi_\textrm{1}}{d \varphi} = \lambda_\textrm{1} [/tex]")
![[tex] \psi_\textrm{2} = \rho - \textrm{a = 0} [/tex]](images/latex/6b8b0e4cd7a673c6bf19c14e6937690082096d50_0.png "[tex] \psi_\textrm{2} = \rho - \textrm{a = 0} [/tex]")
![[tex] \textrm{d} \psi_\textrm{2} = \textrm{d} \rho \textrm{= 0} [/tex]](images/latex/085f830aef0af46dda4f273ef925b2cafc12e968_0.png "[tex] \textrm{d} \psi_\textrm{2} = \textrm{d} \rho \textrm{= 0} [/tex]")
![[tex] \textrm{Entonces la componente de la fuerza de vínculo B en la dirección de } \hat{ \rho} \textrm{ es la siguiente:} [/tex]](images/latex/59dbea44343aea61ef5f015a6c734ff3ef5bb3c8_0.png "[tex] \textrm{Entonces la componente de la fuerza de vínculo B en la dirección de } \hat{ \rho} \textrm{ es la siguiente:} [/tex]")
![[tex] \textrm{B}_ \rho = \lambda_\textrm{2} \frac{d \psi_\textrm{1}}{d \rho} = \lambda_\textrm{2} [/tex]](images/latex/6de4a260a034ed6e49467e4d60a732e0aabb248d_0.png "[tex] \textrm{B}_ \rho = \lambda_\textrm{2} \frac{d \psi_\textrm{1}}{d \rho} = \lambda_\textrm{2} [/tex]")
![[tex]\textrm{Por ende:}[/tex]](images/latex/f2637e660f2c301a048d2de61dbdbf6a48ddb8b1_0.png "[tex]\textrm{Por ende:}[/tex]")
![[tex] - \textrm{ma} \dot \theta^2 - \textrm{ma} \omega^2 \sen^2{ \theta} + \textrm{mg} \cos{ \theta} = \lambda_\textrm{2} [/tex]](images/latex/29fb1e60e0709d8e36aff96adfefeb285c7f5d3b_0.png "[tex] - \textrm{ma} \dot \theta^2 - \textrm{ma} \omega^2 \sen^2{ \theta} + \textrm{mg} \cos{ \theta} = \lambda_\textrm{2} [/tex]")
![[tex] \textrm{ma}^2 \ddot \theta - \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mga} \sen{ \theta} = \textrm{0} [/tex]](images/latex/e363b4e232e114430c42a6e56376cb9f70852309_0.png "[tex] \textrm{ma}^2 \ddot \theta - \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mga} \sen{ \theta} = \textrm{0} [/tex]")
![[tex] \textrm{No hay restricciones en la dirección de }\hat{ \theta}[/tex]](images/latex/0cb284b7c5bc6ea971b1963e5733ea1a6e33695c_0.png "[tex] \textrm{No hay restricciones en la dirección de }\hat{ \theta}[/tex]")
![[tex] \textrm{2ma}^2 \omega \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta} = \lambda_\textrm{1} [/tex]](images/latex/4ccf6d45b42c639fce323fde7dcc3b2ae2d7b3bb_0.png "[tex] \textrm{2ma}^2 \omega \dot \theta \sen{ \theta} \cos{ \theta} = \lambda_\textrm{1} [/tex]")
![[tex]\textrm{Ahora buscamos el ángulo de equilibrio estable.}[/tex]](images/latex/f5b073ce562ab90bcb3aa96d01397bb55901ec42_0.png "[tex]\textrm{Ahora buscamos el ángulo de equilibrio estable.}[/tex]")
![[tex]\textrm{En el mismo se cumple que } \ddot \theta \textrm{=0}[/tex]](images/latex/285c86a7ddacd5c27c619b09974574cbad96f8a8_0.png "[tex]\textrm{En el mismo se cumple que } \ddot \theta \textrm{=0}[/tex]")
![[tex]\textrm{Utilizamos la ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]](images/latex/b8ccb81674c61a1d2966f3482a449f3c70ab702c_0.png "[tex]\textrm{Utilizamos la ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]")
![[tex]- \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mga} \sen{ \theta} = \textrm{0} [/tex]](images/latex/225d9f9752bdd0aea0e9bcf03280e1e46b279e86_0.png "[tex]- \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ \theta}\cos{ \theta} - \textrm{mga} \sen{ \theta} = \textrm{0} [/tex]")
![[tex]\textrm{ma}\sen{ \theta} \textrm{(-a}\omega^2 \cos{ \theta} - \textrm{g} \textrm{)} = \textrm{0} [/tex]](images/latex/424d6c232e9b9ee4168dbcef30e586cb97671644_0.png "[tex]\textrm{ma}\sen{ \theta} \textrm{(-a}\omega^2 \cos{ \theta} - \textrm{g} \textrm{)} = \textrm{0} [/tex]")
![[tex]\sen{ \theta} \textrm{=0}\Longleftrightarrow{\theta \textrm{=0,}\pi} [/tex]](images/latex/191daccd3122f1428c22e96d07879662434acfc1_0.png "[tex]\sen{ \theta} \textrm{=0}\Longleftrightarrow{\theta \textrm{=0,}\pi} [/tex]")
![[tex]\textrm{Pero este tipo de equilibrio es inestable, ya que si apenas se lo desplaza de dicha posición, la partícula no tiende a recuperar su posición inicial.}[/tex]](images/latex/6837e61cf59fd3ea914fa824230f972198e0d154_0.png "[tex]\textrm{Pero este tipo de equilibrio es inestable, ya que si apenas se lo desplaza de dicha posición, la partícula no tiende a recuperar su posición inicial.}[/tex]")
= \textrm{0}[/tex]](images/latex/1cdb771bb5dcd465e35748895e710ddff12136ec_0.png "[tex](\textrm{-a}\omega^2 \cos{ \theta} - \textrm{g})= \textrm{0}[/tex]")
![[tex]\cos{ \theta}=\frac{\textrm{-g}}{\textrm{a}\omega^2}[/tex]](images/latex/e300509d5c32a30fa585e2f24d7fdc56da983c49_0.png "[tex]\cos{ \theta}=\frac{\textrm{-g}}{\textrm{a}\omega^2}[/tex]")
![[tex]\theta=\arccos{\frac{\textrm{-g}}{\textrm{a}\omega^2}}[/tex]](images/latex/c6a8415a4cd6121cd0bb31aeabf84fdb05e4668c_0.png "[tex]\theta=\arccos{\frac{\textrm{-g}}{\textrm{a}\omega^2}}[/tex]")
![[tex]\textrm{Este es el }\theta_\textrm{0} \textrm{ de equilibrio estable.}[/tex]](images/latex/6616acb2bc6808d31f56c2b83d5938bbd34272ce_0.png "[tex]\textrm{Este es el }\theta_\textrm{0} \textrm{ de equilibrio estable.}[/tex]")
![[tex]\textrm{Consideramos que la partícula se comporta con un movimiento oscilatorio respecto de }\theta_\textrm{0} \textrm{:}[/tex]](images/latex/cc0177fc2d2cf7f89f54c695060496680da8e3ef_0.png "[tex]\textrm{Consideramos que la partícula se comporta con un movimiento oscilatorio respecto de }\theta_\textrm{0} \textrm{:}[/tex]")
![[tex]\theta=\theta_\textrm{0}+\alpha [/tex]](images/latex/59986dcbcd434ab4cf5ff6a0c3f6fcdebeb4e3ca_0.png "[tex]\theta=\theta_\textrm{0}+\alpha [/tex]")
![[tex]\dot \theta = \dot \alpha [/tex]](images/latex/439b9a1fba15652cdbe2700b43f003823d374c28_0.png "[tex]\dot \theta = \dot \alpha [/tex]")
![[tex]\ddot \theta= \ddot \alpha [/tex]](images/latex/ab24aa089769f369436946c2d0676eef9c7403cd_0.png "[tex]\ddot \theta= \ddot \alpha [/tex]")
![[tex]\textrm{Reemplazo en la ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]](images/latex/1b26acc0eda41777de6c363970e69e63526f0191_0.png "[tex]\textrm{Reemplazo en la ecuación de movimiento respecto de } \theta \textrm{:}[/tex]")
![[tex] \textrm{ma}^2 \ddot \alpha - \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)}\cos{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)} - \textrm{mga} \sen{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)} = \textrm{0} [/tex]](images/latex/f542b7578c06d71429a8bb65feef81b958af1d5e_0.png "[tex] \textrm{ma}^2 \ddot \alpha - \textrm{ma}^2 \omega^2 \sen{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)}\cos{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)} - \textrm{mga} \sen{ (\theta_\textrm{0} + \alpha)} = \textrm{0} [/tex]")
![[tex] \textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2(\sen{\theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha} + \cos{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha})(\cos{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha} - \sen{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha}) - \textrm{g}(\sen{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha } + \cos{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha })= \textrm{0}[/tex]](images/latex/826c21d9c1e98270253e779154a3c089631979c1_0.png "[tex] \textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2(\sen{\theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha} + \cos{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha})(\cos{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha} - \sen{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha}) - \textrm{g}(\sen{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \alpha } + \cos{ \theta_\textrm{0}}\sen{ \alpha })= \textrm{0}[/tex]")
![[tex] \textrm{Considero } \alpha<< \textrm{1, entonces } \sen{ \alpha} \approx \alpha \textrm{ y } \cos{ \alpha} = \textrm{1} [/tex]](images/latex/656f5e1358da745b0d1ffde19f6fb0007c9b37db_0.png "[tex] \textrm{Considero } \alpha<< \textrm{1, entonces } \sen{ \alpha} \approx \alpha \textrm{ y } \cos{ \alpha} = \textrm{1} [/tex]")
![[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2 (\sen{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}})(\cos{\theta_\textrm{0}} - \alpha \sen{\theta_\textrm{0}}) - \textrm{g}(\sen{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}})=\textrm{0}[/tex]](images/latex/abd3ec862e952ddd367202767e63fbaa39d4f7a1_0.png "[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2 (\sen{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}})(\cos{\theta_\textrm{0}} - \alpha \sen{\theta_\textrm{0}}) - \textrm{g}(\sen{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}})=\textrm{0}[/tex]")
![[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2 \sen{ \theta_\textrm{0}} \cos{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \textrm{a} \omega^2 \sen^2{ \theta_\textrm{0}} - \alpha \textrm{a} \omega^2 \cos^2{ \theta_\textrm{0}} + \alpha^2 \textrm{a} \omega^2 \sen{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \sen{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}}=\textrm{0}[/tex]](images/latex/a5e4f80ffe47d14fe97e4bed2b1589b88a581773_0.png "[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \textrm{a} \omega^2 \sen{ \theta_\textrm{0}} \cos{ \theta_\textrm{0}} + \alpha \textrm{a} \omega^2 \sen^2{ \theta_\textrm{0}} - \alpha \textrm{a} \omega^2 \cos^2{ \theta_\textrm{0}} + \alpha^2 \textrm{a} \omega^2 \sen{ \theta_\textrm{0}}\cos{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \sen{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \alpha \cos{ \theta_\textrm{0}}=\textrm{0}[/tex]")
![[tex]\textrm{Si } \sen{ \theta_\textrm{0}}(- \textrm{a} \omega^2 \cos{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g})=\textrm{0} \textrm{ y } \alpha<< \textrm{1, por lo cual desprecio el término de } \alpha^2 [/tex]](images/latex/da7872b60d2a43c8bec548d1be04e6352d859112_0.png "[tex]\textrm{Si } \sen{ \theta_\textrm{0}}(- \textrm{a} \omega^2 \cos{ \theta_\textrm{0}} - \textrm{g})=\textrm{0} \textrm{ y } \alpha<< \textrm{1, por lo cual desprecio el término de } \alpha^2 [/tex]")
![[tex]\textrm{Entonces:}[/tex]](images/latex/47864d3fe8198660842403e151a4b0bd1cfea522_0.png "[tex]\textrm{Entonces:}[/tex]")
![[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \alpha \textrm{a} \omega^2 \cos{\textrm{2} \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \cos{ \theta_\textrm{0}}= \textrm{0}[/tex]](images/latex/feee705a3751b2a47d4f313c2759ce5854a0e937_0.png "[tex]\textrm{a} \ddot \alpha - \alpha \textrm{a} \omega^2 \cos{\textrm{2} \theta_\textrm{0}} - \textrm{g} \cos{ \theta_\textrm{0}}= \textrm{0}[/tex]")
![[tex] \ddot \alpha - \alpha \omega^2 \cos{\textrm{2} \theta_\textrm{0}} = \textrm{cte}[/tex]](images/latex/eebe202f261d9535081c44dad9bb2ba4994c20cd_0.png "[tex] \ddot \alpha - \alpha \omega^2 \cos{\textrm{2} \theta_\textrm{0}} = \textrm{cte}[/tex]")
![[tex] \textrm{Por ende, la frecuencia de oscilación va a estar dada por la constante que acompaña a } \alpha \textrm{ (que no entiendo por qué me quedó negativo, pero puede ser un error de signo jeje; a lo sumo, corríjanlo).}[/tex]](images/latex/e8502961649282b1bf7aa3216a5dd354ba7c1476_0.png "[tex] \textrm{Por ende, la frecuencia de oscilación va a estar dada por la constante que acompaña a } \alpha \textrm{ (que no entiendo por qué me quedó negativo, pero puede ser un error de signo jeje; a lo sumo, corríjanlo).}[/tex]")
![[tex]\textrm{La fuerza de vínculo va a estar dada por las siguientes ecuaciones: }[/tex]](images/latex/b42253c78ebae8a8ed7bd9c9e2fbe3980b1505f1_0.png "[tex]\textrm{La fuerza de vínculo va a estar dada por las siguientes ecuaciones: }[/tex]")
![[tex]\textrm{Alta paja expresarlos en una forma más simple. Si lo dejás así, el Tano te lo toma como bien.} [/tex]](images/latex/ded37c40a98b86808f030a10e05142dd268e01dd_0.png "[tex]\textrm{Alta paja expresarlos en una forma más simple. Si lo dejás así, el Tano te lo toma como bien.} [/tex]")
![[tex]\textrm{Respecto de las constantes de movimiento, como una de las restricciones adoptadas depende del tiempo, esto indica que la energía NO se conserva, ya que genera una componente de la fuerza de vínculo en la dirección de } \hat{ \varphi} \textrm{ .}[/tex]](images/latex/945acad0ce8ed6d2fd63f253c40a9a2d2b8b6098_0.png "[tex]\textrm{Respecto de las constantes de movimiento, como una de las restricciones adoptadas depende del tiempo, esto indica que la energía NO se conserva, ya que genera una componente de la fuerza de vínculo en la dirección de } \hat{ \varphi} \textrm{ .}[/tex]")
![[tex] \textrm{Como } \frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \varphi}}= \textrm{0} \Rightarrow \frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}=\textrm{cte}=\textrm{L}_\textrm{z} [/tex]](images/latex/db39e8e5fb2050d789d0e00d057752b65af48173_0.png "[tex] \textrm{Como } \frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \varphi}}= \textrm{0} \Rightarrow \frac{{\partial \mathcal{L}}}{{\partial \dot \varphi}}=\textrm{cte}=\textrm{L}_\textrm{z} [/tex]")
![[tex]\textrm{Por ende, se conserva el momento angular en la dirección de z.}[/tex]](images/latex/a9f415fc9d8a61346e948df54ddda5806af7ab67_0.png "[tex]\textrm{Por ende, se conserva el momento angular en la dirección de z.}[/tex]")
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Todos los aplausos para Marichun
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Ahora propongo un ejercicio de vibraciones, uno que me llegaron comentarios que trae complicaciones.
El enunciado es el siguiente
Por sus extremos se fija una cuerda elástica sobre una mesa. La cuerda tiene longitud l y sobre ella permanecen dos partículas de masa m una en ![[tex]x_{1}=l/3 [/tex]](images/latex/495b28635966b26957ea42e01d4858994f0b4229_0.png "[tex]x_{1}=l/3 [/tex]") y otra en ![[tex]x_{2}=2l/3[/tex]](images/latex/4ef38697c74b656c56bda3813b4052e4c895e208_0.png "[tex]x_{2}=2l/3[/tex]") .
Suponga que se estira ligeramente la cuerda sobre el plano de la mesa tal que la tensión de la misma no cambie durante el movimiento subsiguiente.
(a) Establecer las ecuaciones de movimiento de las partículas y demostrar que se tienen las frecuencias normales
![[tex]\omega_1=\sqrt{\frac{ 3 T }{ m L }}[/tex]](images/latex/524fb5cebf9931764d4548a0833d079e11afdfd7_0.png "[tex]\omega_1=\sqrt{\frac{ 3 T }{ m L }}[/tex]") ,![[tex]\omega_2=\sqrt{3 } \omega_1[/tex]](images/latex/1e97ec1bf6297598d817cbb66820c6bd153f97fc_0.png "[tex]\omega_2=\sqrt{3 } \omega_1[/tex]") , T=tension.
(b) Analice físicamente los dos modos de vibración.
(c) Suponga ahora que la partícula 1 está sujeta a la fuerza armónica ![[tex]F(t)=F_{0}cos(\Omega t)[/tex]](images/latex/c00ea241eab20ec93221a82e2d6ee39dc3be5321_0.png "[tex]F(t)=F_{0}cos(\Omega t)[/tex]")
Hallar el movimiento de las dos partículas si en t=0 el sistema se encuentra en reposo.
Empecemos, primero que nada, recomiendo que vean este ejemplo en el Sato de vibraciones mecanicas, pagina 35 (lo posteo leandro_90 en algun lado), tiene el dibujo que no pienso hacer, y lo hace de otra manera.
Primero definimos asi nomas las posiciones de las masas, para [tex]x_{1}[/tex} y [tex]x_{2}[/tex]
Tenemos tambien que ![[tex]m_{1}=m_{2}=m[/tex]](images/latex/0a9b0e117c6b269b3d409e3da6f04728b4f29c41_0.png "[tex]m_{1}=m_{2}=m[/tex]") con lo que podemos calcular la energia cinetica y generar la matriz M.
![[tex]T=\frac{m}{2}(\dot{x_{1}}^{2}+\dot{x_{2}}^{2})[/tex]](images/latex/b9687e0783cb87756c23d39a27701686f5539486_0.png "[tex]T=\frac{m}{2}(\dot{x_{1}}^{2}+\dot{x_{2}}^{2})[/tex]")
Nos falta la energia potencial, si hacemos algo analogo a cuando tenemos vibraciones horizontales con la constante k, en este caso vamos a tener que
![[tex]U=(l-l_{0}).T[/tex]](images/latex/e81819a885311df7d7c3fcbca82ae9a70ddd416b_0.png "[tex]U=(l-l_{0}).T[/tex]") con ![[tex]l_{0}[/tex]](images/latex/f3cfe4baf0de8143cfdf04b7f03a5d68c915cb95_0.png "[tex]l_{0}[/tex]") la longitud original del coso y l la longitud del coso estirado.
Para tener U en funcion de x veamos lo siguiente, usen la imaginacion por favor, cuando estiramos una particula para arriba (o abajo) tenos como un triangulo, en el que la hipotenusa es l, seria la base,
y la altura estaria en funcion de x, por lo tanto por pitagoras tendriamos ![[tex]l^2=x^2+l_{0}^2[/tex]](images/latex/180990b8da8af41c18db929eaab6ad50e4012c6a_0.png "[tex]l^2=x^2+l_{0}^2[/tex]") entonces ![[tex]l^2-l_{0}^2=x^2[/tex]](images/latex/d194e3c5456785f6a534a9cf1786d75252a640bc_0.png "[tex]l^2-l_{0}^2=x^2[/tex]") , si vemos la expresion de U y desarrollamos el cuadrado, y siendo ![[tex]x=(x_{2}-x_{1})^2[/tex]](images/latex/ca43909d12ddc3f22337fae6faa5af317e7e59a4_0.png "[tex]x=(x_{2}-x_{1})^2[/tex]") nos va a quedar
que ![[tex]l^2-l_{0}^2=(l-l_{0})(l+l_{0})=2l_{0}(l-l_{0})=(x_{2}-x_{1})^2[/tex]](images/latex/abff8dd22b9351263e4a728ee2337fa6e3a05f8b_0.png "[tex]l^2-l_{0}^2=(l-l_{0})(l+l_{0})=2l_{0}(l-l_{0})=(x_{2}-x_{1})^2[/tex]") , por lo que podemos decir que ![[tex]U=(l-l_{0}).T=\frac{(x_{2}-x_{1})^2}{2l_{0}}T[/tex]](images/latex/1853e695ebf1e5697cce204d916bb94117f1de70_0.png "[tex]U=(l-l_{0}).T=\frac{(x_{2}-x_{1})^2}{2l_{0}}T[/tex]")
Ya tenemos las energias potencial y cinetica, con las que pasamos a definir las matrices K y M respectivamente, como no se hacer matrices en latex se los dejo de tarea(?).
Una vez que definidas ambas matrices, se hace un desarrollo partiendo de ![[tex]M\ddot{x}+Kx=0[/tex]](images/latex/9acf248d0724e967826e57f240a105f7da2a63bc_0.png "[tex]M\ddot{x}+Kx=0[/tex]") y llegando a ![[tex]K-w^2M[/tex]](images/latex/760c3386c0efdd19312d8033edf4b1112e9d8304_0.png "[tex]K-w^2M[/tex]") , lo que sigue es hacer el determinante de la matriz igualandolo a 0, es decir, buscar los Avas de la matriz. O sea, lo que queda
es un infierno de cuentas que no aportan mucho mas al ejercicio, pero que me dieron los resultados del enunciado. Una vez que tengan las frecuencias normales, buscan los autovectores asociados a cada autovalor obteniendo los 2 modos de vibracion, los que tienen que ser ortonormales, los llamo b y d.
Cuando tenemos todo eso planteamos el sistema ![[tex]X=c_{1}.b.cos(w_{1}t+\phi_{1})+c_{2}.d.cos(w_{2}+\phi_{2})[/tex]](images/latex/d83d4406c1ebae4b2576e0b0e11c8b9145bf922f_0.png "[tex]X=c_{1}.b.cos(w_{1}t+\phi_{1})+c_{2}.d.cos(w_{2}+\phi_{2})[/tex]") y usando las condiciones iniciales, ya podemos encontrar la ecuacion de movimiento.
Hasta aca estan hechos los puntos (a) y (b)
Para el (c) se usa la ecuacion de movimiento de antes pero agregandole la fuerza dada y resolver con eso, o sea, para x1 vamos a tener una ecuacion armonica ordinaria para resolver, cosa que me da mucha paja, esto de escribir con latex es una garcha, y ya me canse.
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AlanB
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 08 Mar 2010
Mensajes: 977
Ubicación: Quilmes
Carrera: Mecánica
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Pido una ayudita de ultima a ver si alguien me puede salvar las papas.
Es uno bien sencillo de cuerpo rígido pero no me cierra por Lagrange y por Euler, le estoy pifiando a Lagrange no se en qué:
Por si no se entiende es un cilindro que rueda en una superficie plana que tiene aplicada una fuerza F a la mitad de su radio "total", no es que son 2 cilindros de distintas densidades o algo asi
Gracias gente
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novo
Nivel 3
Registrado: 01 Jul 2012
Mensajes: 56
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Repaso de matemáticas, ej. 2:
Hay que derivar f(r) que está en coordenadas polares (por tanto, depende de r, y del ángulo).
Sugerencias: ¿libro de dónde sacar el tema?
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