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Autor Mensaje
mafalda
Nivel 4


Edad: 31
Registrado: 15 Dic 2011
Mensajes: 114

Carrera: Informática
argentina.gif
MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 5:45 pm  Asunto:  Problema ejercicio de parcial (derivada direccional) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

El enunciado es el siguiente:

Cita:
Hallar los versores para los cuales la derivada direccional de la funcion dada en (0,0) es maxima, minima, nula y sus valores

La funcion partida es:

[tex] \frac{x^3+y^4 }{x^2+y^2} si(x,y) \neq (0,0)[/tex]
[tex]0 si (x,y)=(0,0)[/tex]


Bueno como tengo una funcion partida, aplico la definicion de derivada direccional con el limite

entonces:

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(ha,hb)-f(x_o,y_o)}{h}[/tex]
Desarrollando esto llego a que

[tex]\lim_{h \to 0} =a^3[/tex]

Yo se que:

[tex]u_{max}=||\nabla f || [/tex]
[tex]u_{min}=-|| \nabla f || [/tex]
[tex]u_{nula}=\nabla f. \widehat{u}=0[/tex]

Pero no se como seguir el ejercicio utilizando estos datos, alguna ayuda???


Aries Género:Femenino Cabra OfflineGalería Personal de mafaldaVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
sabian_reloaded
Nivel 9


Edad: 33
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
antiguabarbuda.gif
MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 6:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Eso que "sabés" es para cuando la función es diferenciable. Si querés usar esos resultados deberías, primero, probar que es diferenciable (cosa que, a ojo, creo que sí va a ser, pero no te lo aseguro).

De plantear el cociente incremental tenés

[tex] \frac {h^3a^3 + h^4b^4}{(h^2a^2 + h^2b^2)h} [/tex]

Que es equivalente a [tex] \frac{a^3 + hb^4}{a^2 + b^2} [/tex], si h tiende a 0...

[tex] \frac{a^3}{a^2 + b^2} [/tex] que es la función que tenés que maximizar / minimizar / anular (puesto que va a ser el valor de la derivada direccional).

Lo que podés hacer, para no trabajar con dos funciones (una sería esa, otra la que impone la condición de que [tex]\sqrt {a^2+b^2} = 1[/tex] es hacer un pasaje a coordenadas polares

[tex] \frac {cos^3 (\theta)}{\cos^2(\theta) + sen^2 (\theta)} [/tex] y minimizar esa sola función de una variable.
Quedó medio pija, no sé si por algún error de planteo o de cuentas, ando apurado. Pero creo que la idea es esa.

Saludos!


Capricornio Género:Masculino Serpiente OcultoGalería Personal de sabian_reloadedVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
CARRERA.electronica.5.gif
MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 10:49 pm  Asunto:  Re: Problema ejercicio de parcial (derivada direccional) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

mafalda escribió:
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(ha,hb)-f(x_o,y_o)}{h}[/tex]
Desarrollando esto llego a que

[tex]\lim_{h \to 0} =a^3[/tex]

(a, b) tiene que ser un versor, así que [tex]-1 \leq a \leq 1[/tex], y [tex]b = \pm \sqrt{1 - a^2}[/tex]. La función [tex]a^3[/tex] es nula para a = 0, y como es estrictamente creciente en todos los reales, en el intervalo [-1, 1] es mímima para a = -1, y máxima para a = 1. La derivada direccional es entonces nula para los versores (0, 1) y (0, -1), tiene el valor mínimo -1 para el versor (-1, 0), y el valor máximo 1 para el versor (1, 0). Ojímetro al palo xD.

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