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quasar
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 19 Abr 2007
Mensajes: 716
Ubicación: paseo colon 850 (subsuelo)
Carrera: Electricista
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Polinomios interpolantes
Error?
No logro encontrar en el libro ni en la carpeta cómo calcular el error al usar un polinomio interpolante SIN conocer la función. En todos los ejemplos se sabe cuál es la función y se calcula en el punto o se usa una fórmula que incluye la derivada de la misma.
Sin embargo ya me pasó en el final de febrero que me reprobó Sassano que me pedía el error de un polinomio de Hermite que se formaba a partir de datos estadísticos, y ahora encontré en un coloquio del 2009 que pide calcular el error en este ejercicio:
Las mediciones en de la altura del río Paraná blabla
día 1 2 3 4
altura 1,84 1,96 2,21 2,45
Obtener un polinomio de grado 2 q mejor ajuste los datos.
Estimar la altura del río en el día 5 -fuera del intervalo.
Calcular el error.
Alguna ayuda?
Gracias!
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| PiLy_13 escribió:
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si hay onda, me invitas a salir y se da para q me des un beso y no me lo das
t quedas sin segunda salida y sin beso por pelotudo
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SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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| A simple vista parece ser un ejercicio de ajuste más que de interpolación.
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Foros-FIUBA o muerte
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guiyeh!19
Nivel 8
Registrado: 22 Jun 2007
Mensajes: 531
Carrera: Industrial
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| Coincido, ese problema me parece que se hace con cuadrados mínimos. Te pide un polinomio de grado 2 q mejor ajuste los datos, lo q a mi criterio te pide q halles la funcion cuadrática de grado 2 ( osea x cuadrados buscas los coeficientes C0, C1 Y C2). Generalmente cuando interpolas con n datos, buscas un polinomio de grado n-1, y no estarías "ajustando" los datos, mas bien estarías buscando una funcion q pase x ellos.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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![[tex]\text{E}_n (x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i) [/tex]](images/latex/b48084a1eeddb2509a256edb474f77ce401706bd_0.png "[tex]\text{E}_n (x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i) [/tex]")
Lo único que siempre me molestó era que no sabía qué ![[tex]\xi[/tex]](images/latex/b74194164d3bd8964bc4557ccc69d8715eba799e_0.png "[tex]\xi[/tex]") usar, si mal no recuerdo tenías que buscar el valor mas alto posible (del polinomio en ese punto) o sea que te tenés que hacer poner a ver las derivadas donde se anula y a evaluar cuales son maximos o minimos (o fijarte la derivada segunda).
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation#Interpolation_error
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quasar
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 19 Abr 2007
Mensajes: 716
Ubicación: paseo colon 850 (subsuelo)
Carrera: Electricista
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Ahora q lo dicen, dice "ajuste los datos" je. :$
Si uso Cuadrados Mínimos se estima el error con el coeficiente de correlación, pero me parece que sólo servía para sistemas lineales.
La fórmula que puso koreano, es la que había encontrado yo pero si no conocés la función no se cómo usarla. En el coloquio q me pedían que use Hermite, los datos eran estadísticos, entonces no tenía una f q derivar U_U
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| PiLy_13 escribió:
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si hay onda, me invitas a salir y se da para q me des un beso y no me lo das
t quedas sin segunda salida y sin beso por pelotudo
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SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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En general toda acotación del error de una aproximación polinomial es obtenida mediante la acotación de ![[tex]|f(x)-P(x)|[/tex]](images/latex/59d6fd52ed3b67b64042995b77666932d652566f_0.png "[tex]|f(x)-P(x)|[/tex]") , siendo ![[tex]f(x)[/tex]](images/latex/07e15811bb43b993b6af429e34e77ed7c4129232_0.png "[tex]f(x)[/tex]") el desarrollo de Taylor de la función que no conocemos y siendo ![[tex]P(x)[/tex]](images/latex/7aab224fe95a274d00d9606b073b51f9d401a5d6_0.png "[tex]P(x)[/tex]") el polinomio que estamos usando para aproximar. Ahora bien, si el polinomio es en efecto, un polinomio interpolante, se puede utilizar esa expresión, pero de no ser ese el caso no estoy seguro (no digo que no, solo digo que no estaría de más confirmarlo).
Creo que en el Burden está la deducción de la cota de error para un polinomio interpolante de grado n, tal vez te puede inspirar para saber que hacer con un caso de ajuste (o mejor, ahora que lo pienso, quizá contiene lo que estamos buscando directamente en el capítulo correspondiente a ajuste je).
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Foros-FIUBA o muerte
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Me voy a ir un poco de tema...
| koreano escribió:
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Lo único que siempre me molestó era que no sabía qué usar, si mal no recuerdo tenías que buscar el valor mas alto posible (del polinomio en ese punto) o sea que te tenés que hacer poner a ver las derivadas donde se anula y a evaluar cuales son maximos o minimos (o fijarte la derivada segunda).
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation#Interpolation_error
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Me da la sensación de que nunca se puede saber específicamente cuál es ese , y que en concreto, no te interesa, porque lo que queremos en realidad es una cota de ese error.
Si esa fórmula del error se obtiene de la misma forma que el Resto de Taylor que vimos en Análisis del CBC, el corresponde al Teorema del Valor Medio de Lagrange. Entonces, el pertenece a un intervalo, y siempre lo vas a desconocer.
Como bien decís, la gracia es buscar una cota superior del error, para poner un tope. Uno dice "no sé cuánto me equivoco en realidad, pero sea lo que sea, no es mayor a esto".
Por otro lado, me acuerdo de que una vez, en un caso aplicado a un problema concreto, Griggio dijo algo así como "si ustedes hacen una aproximación, y conocen el error exacto que están cometiendo, entonces conocen exactamente el valor real, cosa que es justamente lo que decimos que no podemos conocer", y ahí entra el tema de en dónde están los errores en las mediciones a las cuales les aplicamos métodos numéricos (en la precisión del instrumento, en la precisión de las constantes que se utilizan, etc.), y nos vamos al carajo.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Sebacho
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 19 Jun 2009
Mensajes: 518
Carrera: Mecánica
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| Para sacar el error lo que podés plantear es que, si te pide de orden 2, sacá el polinomio de taylor de orden 3, y acotá el error con eso. Es solo una idea, pero puede funcionar, cuando la hice yo, Polta me tiró esa
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Saludos y suerte!!
Sebas
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| ^ this. Y thumbs up para Elmo
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Tenés varios problemas en el ejercicio:
1) Es ambiguo porque dice "calcular". Si no tenés el resultado exacto para 5, ¿cómo vas a calcular el error?. A lo sumo lo que podés hacer es calcular el error para cada uno de los puntos (1, 2, 3 y 4) entre el valor ajustado y el real. Es lo que decían, si conocés el error, no tiene mucho sentido esto, más que en algunos casos especiales.
2) La fórmula para acotar el error es la que pusieron, pero tiene dos problemas. El primero es que no sirve fuera del máximo intervalo de ajuste (es decir, está limitada entre ![[tex]x_{\text{mín}}[/tex]](images/latex/5565c29b254676f4a1b5eb786fb4a3b915452f5f_0.png "[tex]x_{\text{mín}}[/tex]") y ![[tex]x_{\text{máx}}[/tex]](images/latex/0bbc30b20540b0e30f67bb01ab9297912679fe43_0.png "[tex]x_{\text{máx}}[/tex]") ya que surge de aplicar el Teorema Fundamental del Álgebra (con un entre esos dos valores). Por lo tanto, no te puede asegurar una cota para una extrapolación.
3) El tercero, como dijiste, es que tenés puntos y no tenés la .
Básicamente, estás al horno porque querés hacer algo que no se puede. Tenés que poner alguna hipótesis adicional.
Si me pidieran a mí dar un estimado del error, porque ni siquiera sería una cota, es asumir que si me están pidiendo que extrapole con el ajuste, la función se comporta razonablemente similar en esa extrapolación. Por lo tanto, extendería la validez del teorema de error, y usaría eso como estimación.
Con respecto a la a usar, se podrían hacer dos hipótesis ya que no hay ningún dato disponible: calcular una derivada aproximada (más bien una secante) entre los puntos y elegir la mayor, o, lo que yo usaría, considerar que ![[tex]f^{(n)}(x) \simeq P^{(n)}(x)[/tex]](images/latex/fe5385bbcb216aa8eddc11f4d88204dfb9438c48_0.png "[tex]f^{(n)}(x) \simeq P^{(n)}(x)[/tex]") . De esa forma, tenés todos los datos como para dar una respuesta en cuanto al orden de magnitud.
Obviamente, está abierto a mil soluciones y está basado en muchas hipótesis que claramente podrían no aplicarse a todos los casos.
¡Saludos!
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Me retracto de un disparate:
| 4WD escribió:
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... considerar que ...
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Por definición, ![[tex]P_{n-1}^{(n)}(x) = 0[/tex]](images/latex/dd85da02bb9ffddb0a35ac9ded84e599305aab7c_0.png "[tex]P_{n-1}^{(n)}(x) = 0[/tex]") , por lo cual eso no sirve. Esto es por tratar de usar algo que no debería.
Lo que se hace en la práctica en estos casos es calcular el Error Cuadrático Medio (ECM), ![[tex]ECM = \sum_i (x-x_i)^2[/tex]](images/latex/8d86a7b2b493813c885087149eeddeaf6963e8e4_0.png "[tex]ECM = \sum_i (x-x_i)^2[/tex]") y usar eso para comparar cuál es mejor entre varios métodos. Si es necesario un número que indique algo del error, se usa el ECM para calcular el desvío estándar, que se puede usar para indicar el orden del error.
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