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tatocristobal
Nivel 3


Edad: 32
Registrado: 02 Sep 2010
Mensajes: 26
Ubicación: Bs As
Carrera: Civil
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MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 5:45 pm  Asunto:  Ejercicio DIFICL de coloquio Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Circulación del campo
F(x,y,z,)=(cos(x^2), sen(y^2), y^2-x^2)
por la curva C. Siendo C la curva intersección entre las superficies,
z= x^2 + y^2
z=16-3y^2-8x^2


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tatocristobal
Nivel 3


Edad: 32
Registrado: 02 Sep 2010
Mensajes: 26
Ubicación: Bs As
Carrera: Civil
argentina.gif
MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 5:55 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Todo lo que pude hacer: Graficar la curva.
https://www.dropbox.com/s/7q2p87o1a20e13i/Foto%2003-07-12%2017%2054%2015.png


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Mr Nadie
Nivel 9



Registrado: 20 Dic 2007
Mensajes: 2885

Carrera: Civil
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MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 6:03 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Apuesto plata a que sale por Stokes.

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Qué es registrar?

viedmense escribió:
PD: increible la capacidad de mantenerse en el mismo grado de pedo durante mas de 6 horas de mr nadie, ni mejoró ni empeoró

   OfflineGalería Personal de Mr NadieVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
csebas
Nivel 9


Edad: 70
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634

Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 6:08 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

[tex] x^2 + y^2 = 16-3y^2-8x^2[/tex]
[tex] x^2 +8x^2 +y^2 +3y^2 = 16[/tex]
[tex] 9x^2 +4y^2 = 16[/tex]

[tex]  \frac{x^2}{ \frac{1}{3^2} }  + \frac{y^2}{ \frac{1}{2^2} }= 4^2 [/tex]

Ahi tenes la 2da ecuacion escrita un poco diferente, fijate como dice Mr. Nadie si te sale por algun teorema, y sino proba parametrizando.

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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 10:03 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Tal cual, el rotor del campo F es hermoso (calculalo), así que suena bien intentar aplicar el teorema de Stokes. Lo que necesitás es una superficie que tenga como borde a la curva C. En un terrible esfuerzo de imaginación, podrías usar alguna de las dos superficies que te dan como superficie de integración, tomando el pedacito que va desde el vértice (cada una de ellas es un paraboloide elíptico) hasta la curva intersección con la otra superficie.

O sea, o bien integrar el rotor de F sobre la superficie [tex]z = x^2 + y^2[/tex] y [tex]9x^2 + 4y^2 \leq 16[/tex], o bien integrar el rotor de F sobre la superficie [tex]z = 16 - 8x^2 - 3y^2[/tex] y [tex]9x^2 + 4y^2 \leq 16[/tex]. En ambos casos no es demasiado complicado parametrizarla.

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eLzAnA
Nivel 4


Edad: 31
Registrado: 18 Jul 2009
Mensajes: 103
Ubicación: Villa Crespo
Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 5:13 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

La siguiente parametrización: S = (4a cos (t); 4b sen (t); z) con 0<z<16 y 0<t<2pi está bien? a y b son los semiejes de la elipse..


EDIT: En vez de radio 2 puse radio 4.

_________________
No temas Poeta,
no fue en vano tu sacrificada existencia,
todavía permanecen legibles las seculares tintas de tu gigantesco esfuerzo;
tu esencia fecundó las conciencias del ser,
y de las ruinas de tu vestigio se erigen hombres cada vez más profundos y perfectos,
ciclo tras ciclo.

Nada fue en vano.

Yo tampoco temo ya al porvenir,
cuando la luz exhale su último hálito,
y un puño de roca y lava impacte contra la esfera
reduciendo toda vida a fino polvo de piedra y gas,
añicos de átomo, imperceptibles partículas migrarán
durante milenios a través del infinito desierto de silencio y sombra
como despavoridos pájaros huyendo del frío eterno.

Pero nada será en vano:
pues cuando por fin, a millones de kilómetros luz de su origen,
la ruina de nuestro acervo se aparee en colisión con otro escombro estelar
a orillas de alguna galaxia ignota,
circulará en derredor de su calor hasta esculpirse en materia de vida nueva.
Y ese nuevo pálpito, Poeta, seguirá siendo entonces
vector de nuestra delicada esencia.

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Espina
Nivel 3



Registrado: 29 Sep 2011
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Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 8:53 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

alguien puede parametrizarla? para sacar la normal
es es el gran punto del problema
no podrian encontrar el plano donde esta incluida la curva asi no ahorrariamos de tener q hacer el producto vectorial de las derivadas parciales de la parametrizacion q suelen qdar un choclo enorme y muy cuentoso


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csebas
Nivel 9


Edad: 70
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634

Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 9:21 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Sguramente en ese "choclo" se te anulen cosas.
Do it.

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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Mie Jul 04, 2012 10:40 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

eLzAnA escribió:
La siguiente parametrización: S = (4a cos (t); 4b sen (t); z) con 0<z<16 y 0<t<2pi está bien? a y b son los semiejes de la elipse.

EDIT: En vez de radio 2 puse radio 4.

No sé qué querías parametrizar... Eso es una superficie cilíndrica de altura 16. Contiene a la curva C, pero no te sirve para usar como superficie de integración, porque C no es el borde. Si quisiste parametrizar alguno de los paraboloides, entonces no está bien, pero tan lejos no estuviste.

Espina escribió:
no podrian encontrar el plano donde esta incluida la curva

Y, estaría bueno... pero resulta que la curva C no es plana.

Espina escribió:
alguien puede parametrizarla?

Por ejemplo, el pedacito de paraboloide "de arriba", con vértice en (0, 0, 16), se puede parametrizar como:

[tex]\xi(r, t) = \left (\frac{r}{3}\cos t, \frac{r}{2}\sen t, 16 - \frac{8}{9}r^2\cos^2 t - \frac{3}{4}r^2\sen^2 t \right )[/tex] con [tex]0 \leq r \leq 4[/tex] y [tex]0 \leq t \leq 2\pi[/tex]

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eLzAnA
Nivel 4


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MensajePublicado: Mar Jul 10, 2012 5:25 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Claro, esa sería la parte de arriba, pero entonces, para encerrar toda la superficie como se parametrizaría? O habría que hacerla en dos pasos? Medio raro, es jodido este ejercicio..

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Huey 7
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Registrado: 03 Mar 2010
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Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Mar Jul 10, 2012 8:42 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

eLzAnA escribió:
Claro, esa sería la parte de arriba, pero entonces, para encerrar toda la superficie como se parametrizaría? O habría que hacerla en dos pasos? Medio raro, es jodido este ejercicio..

No sé a qué te referís con "encerrar toda la superficie". La integral del rotor de F la calculás sobre una sola de las dos. Puede ser la "de arriba" o la "de abajo", a gusto. El número final va a ser el mismo independientemente de cuál uses (si hacés las cuentas bien). Pero se usa una sola.

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eLzAnA
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MensajePublicado: Mie Jul 11, 2012 12:29 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

No me termina de cerrar :P. Claramente hay dos superficies S1 y S2, y a mi me interesa la circulacion de la curva C que es interseccion de esas dos. Ahora, porque si yo describo la superficie por el teorema del rotor me agarro una sola (es decir, una mitad de superficie) y desprecio la otra? No estaria despreciando una mitad de C digamos? Por ahi es un terrible problema de interpretacion mio, debe ser que la curva es la misma para cualquiera de las dos pero no me lo grafico en la cabeza.. Muchas gracias desde ya.

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Elmo Lesto
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Registrado: 02 Ene 2010
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MensajePublicado: Mie Jul 11, 2012 12:41 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

El teorema de Stokes te dice que la circulación de un campo en una curva cerrada y simple es igual al flujo del rotor del campo a través de UNA superficie que tenga a esa curva como borde (siempre y cuando f sea C^1, esté todo adentro de un abierto simplemente conexo, etc.).
Generalmente, si tenés una curva cerrada y simple, vas a poder encontrar infinitas superficies que tengan a esa curva como borde. Pero vos, de todas esas, elegís una sola (si sos vivo y hábil, la que más te conviene), y calculás el flujo del rotor a través de esa.
Como dijo Huey, si hacés bien las cuentas, agarres la superficie que agarres, si todas tienen por borde a la misma curva cerrada y simple, el flujo del rotor te tiene que dar lo mismo. Esa es la magia de Stokes, de Gauss, de Green, del Teorema Fundamental del Cálculo. Podés agarrar una cosa re chota y saber qué está pasando ahí en el medio con saber un poco sobre lo que pasa en los bordes.
Con agarrar una sola superficie no estás despreciando nada, estás haciendo exactamente lo que te dice el teorema.
En caso de agarrar dos superficies, por qué no podemos agarrar tres, cuatro, cuarenta millones de superficies que tengan como borde a la misma curva?

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[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]

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Educ
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MensajePublicado: Mie Jul 11, 2012 1:40 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

eLzAnA escribió:
No me termina de cerrar :P. Claramente hay dos superficies S1 y S2, y a mi me interesa la circulacion de la curva C que es interseccion de esas dos. Ahora, porque si yo describo la superficie por el teorema del rotor me agarro una sola (es decir, una mitad de superficie) y desprecio la otra? No estaria despreciando una mitad de C digamos? Por ahi es un terrible problema de interpretacion mio, debe ser que la curva es la misma para cualquiera de las dos pero no me lo grafico en la cabeza.. Muchas gracias desde ya.


Fijate el grafico que puso tatocristobal, ahi se ve bien la curva que forman. Entonces si te quedas con esas, no pasa lo que pide el teorema (todo lo que menciona Elmo).

Tomando un pedazo de todo el analisis que hizo Huey

Huey 7 escribió:
... O sea, o bien integrar el rotor de F sobre la superficie [tex]z = x^2 + y^2[/tex] y [tex]9x^2 + 4y^2 \leq 16[/tex] ...


Te quedaria algo como este grafico (si no le pifie en nada.)

Image

Se puede ver, un poco mas claro, que esa curva si es el borde de la superficie azul.

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Elmo Lesto
Nivel 8


Edad: 32
Registrado: 02 Ene 2010
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Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Mie Jul 11, 2012 2:52 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Por si te queda alguna duda de si entendiste o no el sentido del Teorema de Stokes...

Agarrá un profiláctico. Apenas lo sacás del paquete, ves una curva cerrada y simple que es borde de una superficie plana (o casi plana, salvo por el cosito del medio). A medida que lo vas estirando, vas cambiando esa superficie, pero la curva borde se mantiene igual. Entonces, vos, sea cual sea la superficie que tengas en ese momento, si agarrás un campo C^1, le calculás el rotor, y al resultado le calculás el flujo a través de esa superficie que te quedó, el resultado va a ser siempre el mismo, porque la curva borde no cambió, y la circulación del campo alrededor de esa curva es siempre la misma.
Es un resultado que me sigue sorprendiendo. Eso sí, tengamos cuidado de que las orientaciones de la circulación y flujo sean coherentes.

De todos modos, creo que todos esperamos que el flujo a través de las superficies y las circulaciones alrededor de las curvas bordes de todos los forros sean nulas, es decir, que el campo sea preservativo.

Saludos, éxitos! Cualquier cosa seguí preguntando.

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