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Autor Mensaje
Dul
Nivel 3


Edad: 29
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López

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MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 1:21 pm  Asunto:  ejericio 1, 1er recuperatorio parcial 2/6/2012 Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

1. Sea f un campo escalar de clase [tex]C^1 (R^2)[/tex]. Se sabe que:
a) La curva de nivel 0 de f tiene ecuación [tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex]
b) f(1, 3) · (1, 0) > 0.
c) El valor máximo de la derivada direccional de f en (1, 3) es igual a [tex]\sqrt[]{2}[/tex].
Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (1, 3, f (1, 3)).


Tengo muchas dudas con este enunciado y en el parcial lo hice casi todo mal. Alguien me podría explicar cómo lo resuelvo?

Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el [tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2} [/tex] ?
Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente [tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex] ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6). El módulo de eso es [tex]6\sqrt[]{2}[/tex]... qué significa esto? Cómo se relaciona con el dato de (c)?
Si el gradiente sale haciendo eso, para qué me dan los datos (b) y (c)?

Ayuda!!


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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
CARRERA.electronica.5.gif
MensajePublicado: Mar Jul 03, 2012 9:59 pm  Asunto:  Re: ejericio 1, 1er recuperatorio parcial 2/6/2012 Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Dul escribió:
Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el [tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2}[/tex]?

Habrás querido decir (c), pero sí, es correcto.

Dul escribió:
Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente [tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex] ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6).

No, no podés. Lo que sí sabes es que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, y que [tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex] es una de ellas. También podés ver que (1, 3) es un punto de esa curva, porque satisface la ecuación, y por lo tanto, como es la curva de nivel 0, sabés tanto que f(1, 3) = 0 como que el gradiente de f es ortogonal a la curva en ese punto.

Así que primero necesitás obtener un vector tangente a la curva en (1, 3). Te dejo a vos hacer la cuenta, pero (1, -1) es un vector tangente en ese punto. De la condición de ortogonalidad [tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, -1) = 0[/tex] sacás que el gradiente de f en el punto es de la forma K(1, 1), para algún K real a determinar. Hasta este punto tenés la dirección solamente.

La condición (c) te da el módulo, así que pedís que [tex]\| \nabla f(1, 3)\| = \|K (1, 1)\| = \sqrt{2}[/tex]. De ahi obtenés que |K| = 1, así que [tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex] o [tex]\nabla f(1, 3) = (-1, -1)[/tex]. Hasta este punto tenés la dirección y el módulo. Te falta el sentido.

De la condición (b) (que, supongo, correctamente escrita es [tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, 0) >  0[/tex]) desempatás por [tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex], así que ahora tenés el gradiente completo. Y junto con f(1, 3), que ya sabés cuánto vale, tenés todo lo que necesitás para obtener la ecuación del plano tangente.

_________________
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Dul
Nivel 3


Edad: 29
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López

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MensajePublicado: Jue Jul 05, 2012 9:24 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Muchas gracias Huey 7! Me resolviste todas las dudas.
No estaba teniendo para nada en cuenta el hecho de que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel. Pequeño detalle!


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