| Autor |
Mensaje |
Dul
Nivel 3
Edad: 30
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López
|
|
1. Sea f un campo escalar de clase ![[tex]C^1 (R^2)[/tex]](images/latex/6aaf402f2ae238201e274e96014feedf7933bc7c_0.png "[tex]C^1 (R^2)[/tex]") . Se sabe que:
a) La curva de nivel 0 de f tiene ecuación ![[tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex]](images/latex/711cb51d0226e18ca3cb50d97c218a0512a08c71_0.png "[tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex]")
b) f(1, 3) · (1, 0) > 0.
c) El valor máximo de la derivada direccional de f en (1, 3) es igual a ![[tex]\sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/62ec5b5733ef8ded2ebdaa4149ac8f09ed0fb0d9_0.png "[tex]\sqrt[]{2}[/tex]") .
Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (1, 3, f (1, 3)).
Tengo muchas dudas con este enunciado y en el parcial lo hice casi todo mal. Alguien me podría explicar cómo lo resuelvo?
Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el ![[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2} [/tex]](images/latex/04d3cb1807a3acc67b8091f2628badaec7c8be2d_0.png "[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2} [/tex]") ?
Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente ![[tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex]](images/latex/8b321106282cc308017ec257a86993ca66982948_0.png "[tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex]") ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6). El módulo de eso es ![[tex]6\sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/0838f4c6bb1ef877a3544ec1aed842cddc5f84ea_0.png "[tex]6\sqrt[]{2}[/tex]") ... qué significa esto? Cómo se relaciona con el dato de (c)?
Si el gradiente sale haciendo eso, para qué me dan los datos (b) y (c)?
Ayuda!!
|
|
|
|
|
|
  |
    |
|
Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
|
|
| Dul escribió:
|
Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el ![[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/ca98146cc570d9b17b02eccf7cab8e614b658b9b_0.png "[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2}[/tex]") ?
|
Habrás querido decir (c), pero sí, es correcto.
| Dul escribió:
|
|
Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6).
|
No, no podés. Lo que sí sabes es que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, y que es una de ellas. También podés ver que (1, 3) es un punto de esa curva, porque satisface la ecuación, y por lo tanto, como es la curva de nivel 0, sabés tanto que f(1, 3) = 0 como que el gradiente de f es ortogonal a la curva en ese punto.
Así que primero necesitás obtener un vector tangente a la curva en (1, 3). Te dejo a vos hacer la cuenta, pero (1, -1) es un vector tangente en ese punto. De la condición de ortogonalidad ![[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, -1) = 0[/tex]](images/latex/3235d4e0bfb04bff4d25d7771ceacebfa19ee798_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, -1) = 0[/tex]") sacás que el gradiente de f en el punto es de la forma K(1, 1), para algún K real a determinar. Hasta este punto tenés la dirección solamente.
La condición (c) te da el módulo, así que pedís que ![[tex]\| \nabla f(1, 3)\| = \|K (1, 1)\| = \sqrt{2}[/tex]](images/latex/27a2eb4c1f3fb6401a078e2757bdec38bca652bd_0.png "[tex]\| \nabla f(1, 3)\| = \|K (1, 1)\| = \sqrt{2}[/tex]") . De ahi obtenés que |K| = 1, así que ![[tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex]](images/latex/2c21408a5732e8afa753f4fe10cab91d6121b10d_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex]") o ![[tex]\nabla f(1, 3) = (-1, -1)[/tex]](images/latex/b95b22648dbb96690b3a0e1f4a20ee246b68be24_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) = (-1, -1)[/tex]") . Hasta este punto tenés la dirección y el módulo. Te falta el sentido.
De la condición (b) (que, supongo, correctamente escrita es ![[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, 0) > 0[/tex]](images/latex/dc2ed9551f09063c4f1f453195d2148b81117475_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, 0) > 0[/tex]") ) desempatás por , así que ahora tenés el gradiente completo. Y junto con f(1, 3), que ya sabés cuánto vale, tenés todo lo que necesitás para obtener la ecuación del plano tangente.
|
|
|
|
_________________
|
|
 |
|
|
Dul
Nivel 3
Edad: 30
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López
|
|
Muchas gracias Huey 7! Me resolviste todas las dudas.
No estaba teniendo para nada en cuenta el hecho de que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel. Pequeño detalle!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
