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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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Buenas gente, el ejercicio pide:
*Hallar la region de holomorfia de las siguientes regiones:
1) (z-1)^1/2
2) Ln (z-1)
obviamente que si la region fuese en Reales sale facil, pero la verdad que en complejos me marea bastante 
Bueno, cualquier ayudita que me puedan dar será bienvenida 
Saludos. Uciel
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fernandodanko
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 859
Ubicación: Berazategui - BS.AS
Carrera: Electrónica
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No recuerdo bien Análisis III pero ¿Cauchy-Riemman te suena?
plantea CR y fijate donde se cumple. Consideración más, consideración menos, por esos lados es holomorfa.
Esa no es la explicación, pero es la mejor respuesta que puedo dar.
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fernandodanko
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 859
Ubicación: Berazategui - BS.AS
Carrera: Electrónica
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| fernandodanko escribió:
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No recuerdo bien Análisis III pero ¿Cauchy-Riemman te suena?
plantea CR y fijate donde se cumple. Consideración más, consideración menos, por esos lados es holomorfa.
Esa no es la explicación, pero es la mejor respuesta que puedo dar.
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fernandodanko
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 859
Ubicación: Berazategui - BS.AS
Carrera: Electrónica
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| por alguna extaña razon, no puedo editar acá y terminé haciendo este desastre. ¿Pueden borrar este msj y el anterior? gracias
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Este ejercicio es muy amibiguo, lo que te dieron ahí no son funciones a menos que asumas alguna rama con algún corte de rama. Si asumís que ambas usan el típico corte principal entonces fijate que se cumpla CR y que sean continuas las derivadas parciales. Así a ojo te tendría que dar ![[tex]\mathbf{C} - \{ x +iy \, / \, x,y \in \mathbf{R} \land x < 1\}[/tex]](images/latex/c693c17577b8c1763714db797de6a893b7fc31b8_0.png "[tex]\mathbf{C} - \{ x +iy \, / \, x,y \in \mathbf{R} \land x < 1\}[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Llamando ![[tex]z-1 = r\exp(it)[/tex]](images/latex/8c6b6d1671d06f049ff72ef1317477e6c530fd7f_0.png "[tex]z-1 = r\exp(it)[/tex]") , tenes que analizar ![[tex]L_{1} = \lim_{t \to \pi^{+}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]](images/latex/94577dd813f585f90c7e510df89b33e9d9a24e83_0.png "[tex]L_{1} = \lim_{t \to \pi^{+}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]") y ![[tex]L_{2} = \lim_{t \to -\pi^{-}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]](images/latex/4f965b82d2ed08b12bc4baf9b4d8012095a53dfa_0.png "[tex]L_{2} = \lim_{t \to -\pi^{-}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]") . Si ![[tex]L_{1} = L_{2}[/tex]](images/latex/4bb2cd07dcf7478292c7762462055880a15a4b24_0.png "[tex]L_{1} = L_{2}[/tex]") , entonces el corte de rama es el que dijo koreano.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Para el Logaritmo es la misma idea.
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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no entendi nada
el tema cortes de rama lo explicaron muy por el aire, porque nos dijieron que cuando empezemos a ver integrales nos lo iban a explicar mejor.
¿por que haces tender los limites a +pi y -pi?
con respecto a la raiz, para los, que significa ¿RAIZ deZ? osea ¿la gracia es analizarlo como lo analizabamos en reales? dado que el Z tiene dos componentes me resulta raro ver como se comporta la funcion RAIZ de Z.
Saludos. Uciel
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Uciel escribió:
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¿por que haces tender los limites a +pi y -pi?
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Porque para cualquier número negativo la raíz compleja, si no está determinada correctamente, no es una función. Por ejemplo ![[tex]\sqrt{-1}=i = -i[/tex]](images/latex/2af114ea96c6d3ec8ba64293168c6ab61f6696ed_0.png "[tex]\sqrt{-1}=i = -i[/tex]") , porque ![[tex]i^{2} = (-i)^{2} = -1[/tex]](images/latex/5e58b103dcf4f9bc6c677b184f4941afb2717f3e_0.png "[tex]i^{2} = (-i)^{2} = -1[/tex]") (el primer ejercicio de la guía de AMIII trata sobre esto).
Entonces, si el problema está sobre los números negativos, intuitivamente tenes que hacer ahí el corte de rama. Pro no podes hacerlo "porque sí". La idea de fondo de un corte o determinación es obtener una función holomorfa y univaluada.
La manera más sencilla de ver si tu corte sirve o no, en general, es escribir a z (o z-1 en este caso) en forma exponencial tomando el argumento en el intervalo [/tex]](images/latex/8b65da935b66cf5145ba34c86ac2941a737b044c_0.png "[tex](-\pi, \pi)[/tex]") . Luego, para ver si esto "funca", cuando el argumento se acerca a ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") por la izquierda, la raíz te debería devolver el mismo valor que cuando el argumento se acerca a ![[tex]-\pi[/tex]](images/latex/4d31c54fcf3461f58a5444b8adfd273fb0282ec2_0.png "[tex]-\pi[/tex]") por la derecha.
OJO, que en mi post anterior escribí mal esto que acabo de decir. Correctamente sería ![[tex]L_{1} = \lim_{t \to \pi^{-}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]](images/latex/89aa9dc914d9dc1cad7e0531c2a919662bdce24a_0.png "[tex]L_{1} = \lim_{t \to \pi^{-}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]") y ![[tex]L_{2} = \lim_{t \to -\pi^{+}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]](images/latex/f8545757f5737bfc74f03b01f710cd8a36c12ae4_0.png "[tex]L_{2} = \lim_{t \to -\pi^{+}}{\sqrt{r}\exp(it/2)}[/tex]") . Comento porque no puedo editar acá.
Si los límites dan lo mismo, significa que esa determinación (el recorte del argumento) logró que para cualquier número negativo la raíz te devuelva un único valor y no dos. Hacer ese "recorte" en el argumento, te recorta una región del plano complejo; ese es tu corte de rama.
| Uciel escribió:
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con respecto a la raiz, para los, que significa ¿RAIZ deZ? osea ¿la gracia es analizarlo como lo analizabamos en reales? dado que el Z tiene dos componentes me resulta raro ver como se comporta la funcion RAIZ de Z.
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Pero acá, como te dije antes, te conviene analizar siempre con la forma exponencial. Si lo escribís en forma binómica la cosa "se pone fea".
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Lo estás confundiendo de antemano me parece Jackson, lo primero que tenés que fijarte es las componentes reales e imaginarias de dichas funciones. Despues fijate si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann y si son continuas estas derivadas parciales. El tema de los cortes de rama se puede ver después creo, sin perdida de generalidad.
Por ejemplo para el logaritmo (asumiendo la rama principal),
![[tex]Ln(z) = \ln|z| + i\arg(z)[/tex]](images/latex/d8220b9785bd102f7ff0df388a4ea03673c2a452_0.png "[tex]Ln(z) = \ln|z| + i\arg(z)[/tex]")
es decir:
![[tex]Ln(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2}) + i \arctan \left( \frac{y}{x} \right)[/tex]](images/latex/9385acce5ad30689c7d7da74161504419e12bcc2_0.png "[tex]Ln(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2}) + i \arctan \left( \frac{y}{x} \right)[/tex]")
Fijate si para esa función se cumple que:
![[tex]\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y } \, [/tex]](images/latex/a0fc082330776579bce2e13d064f3728c670386e_0.png "[tex]\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y } \, [/tex]")
![[tex] \dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x } \, [/tex]](images/latex/f3db9ec0496e066a82219d27b1b667ad44a3e587_0.png "[tex] \dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x } \, [/tex]")
Resultado: http://tinyurl.com/dy6a5mh & http://tinyurl.com/cxbfg8c
Una manera mucho mas simple en este caso es trabajar en polares, donde las ecuaciones de CR tienen otra pinta muy similar a las de cartesianas (ejercicio: deducirlas).
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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ahhhhh...... la explicacion de "koreano" me aclaro todo mucho mas. Ahora entiendo porque se cumple para todo x,y perteneciente a R y x<1 para el caso de la raiz.
De todas formas a la explicación de "Jackson666" la voy a poder entender mejor seguramente cuando en clase nos expliquen eso de las ramas.
Muchas gracias a todos por la ayuda me vino de 10
Saludos. Uciel
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Sherlock
Nivel 5
Registrado: 04 Mar 2012
Mensajes: 157
Carrera: Electrónica y Informática
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| Rair de -1 = -i es la primera vez que lo escucho
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