| Autor |
Mensaje |
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
Hola gente, queria pedir ayuda unn poco con este ejercicio:
Sea la recta L: a(2,1,-1) + (1,-1,2) y los puntos A=(1,0,2) y B= (3,-1,6), hallar todos los puntos P de la recta tales que ABP es rectangulo en P. (P pertenece a L)
Lo que plantee yo fue primero que nada determinar los puntos del triangulo y, sabiendo que P pertenece a la recta, entonces agarrar y decir que el segmento o vector AP sea ortogonal a la recta, y ahi obtendria un punto en que P es rectangulo. La otra variante seria decir que el segmento o vector BP sea ortogonal a la recta.
Entonces primero resuelvo la ecuacion de la recta declarando que P pertenzca a la recta:
L: X= a(2,1,-1) + (1,-1,2)
(x,y,z)= (2a, a, -a) + (1,-1, 2)
(P1,P2,P3)= (2a+1, a-1, -a+2)
Entonces:
P1=2a+1
P2=a-1
P3= -a+2
Ahora, digo que la recta sea perpendicular al segmento o vector AP
(2a+1,a-1, -a+2).AP=0
(2a+1, a-1,-a+2).(P1-3, P2, P3-2)=0
(2a+1).(P1-3) + (a-1).P2 + (-a+2)(P3-2)=0
2a.P1 - 6a + P1 - 3 + a.P2 - P2 - a.P3 + 2a - 2.P3 - 4= 0
Teniendo los valores de P1, P2, y P3 arriba, los sustituyo:
2a.(2a+1) - 6a + (2a+1) - 3 + a.(a-1) - (a-1) - a(-a+2) + 2a - 2.(-a+2) - 4= 0
4a² + 2a - 6a + 2a+1 - 3+a² - a - a + 1 + a² - 2a + 2a + 2a - 4 - 4=0
5a² -2a - 9 = 0
a1= -1,15656...
a2= 1,55656...
Lo mismo deberia hacer para el segmento BP si es que lo de arriba esta biien
Ahora yo pregunto, se resuelve de esa manera el ejercicio? Aun me han quedado dudas pero no se me ocurre otra manera de hacerlo.
Muchas gracias,
Juan
|
|
|
|
|
|
  |
    |
|
Silvia_Ramos
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 05 Mar 2011
Mensajes: 70
Carrera: Electrónica
|
|
   |
|
|
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
| |
|
|
Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
|
|
Ojo Juan.
Queremos formar el triángulo ![[tex]ABP[/tex]](images/latex/f9a6eca6628970829313862003555427cce7768f_0.png "[tex]ABP[/tex]") , esto es, un triángulo que tenga de lados los segmentos ![[tex]AP[/tex]](images/latex/788ac224bb4b0349f1514bba605b26f96e9ed6b5_0.png "[tex]AP[/tex]") , ![[tex]PB[/tex]](images/latex/75cd5f83fb011fd2f831349085b18e0ce2e30a44_0.png "[tex]PB[/tex]") y ![[tex]BA[/tex]](images/latex/cdc7e5001a6db9e03598d57486610a6ce438a7e4_0.png "[tex]BA[/tex]") . El segmento es fijo, y ya te comenté en el problema del otro día cómo se obtenía. Análogamente, vas a obtener los segmentos y , pero con un ![[tex]P[/tex]](images/latex/ec491f5a13233236733b485a8534dbcf6b01ea7c_0.png "[tex]P[/tex]") genérico de la recta.
Ahora, vos querés que este triángulo sea rectángulo en . Eso significa que los dos segmentos del triángulo que pasan por tienen que ser ortogonales entre sí, y no necesariamente ortogonales a la recta.
Lo que necesitamos que sean ortogonales entre sí son los segmentos del triángulo, y no cualquiera de los segmentos con la recta.
Para fijar mejor la idea, hacé un dibujo aproximado del problema, y vas a ver que la condición de que el triángulo sea rectángulo en nada tiene que ver con la perpendicularidad con la recta.
Haciendo una pequeña disgresión, si alguno de los dos puntos A o B perteneciera a la recta, entonces el problema sería distinto, pero no es el caso (probalo!), así que no me voy a poner a analizarlo, te lo dejo como tarea =P
¿Cómo hago esto? Me fijo cómo hallo cada segmento:
La dirección del segmento que une a con ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") la puedo hallar como ![[tex]P-A=(2t+1,t-1,-t+2)-(1,0,2)=(2t,t-1,-t)[/tex]](images/latex/dda963209f1eab64fef935a23ccc1511fad85016_0.png "[tex]P-A=(2t+1,t-1,-t+2)-(1,0,2)=(2t,t-1,-t)[/tex]") ; la dirección del segmento que une a con ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") la puedo hallar como ![[tex]P-B=(2t+1,t-1,-t+2)-(3,-1,6)=(2t-2,t,-t-4)[/tex]](images/latex/7cc1110ffc83b777636b77d1faf5d3ab1be0b272_0.png "[tex]P-B=(2t+1,t-1,-t+2)-(3,-1,6)=(2t-2,t,-t-4)[/tex]") . Ahora, necesitamos que esos dos segmentos sean ortogonales, si y solo si
 \cdot (2t,t-1,-t) = 0[/tex]](images/latex/8949ada6274b5ae9d69922411af0f84cf5ed0f79_0.png "[tex](2t-2,t,-t-4) \cdot (2t,t-1,-t) = 0[/tex]") . Esto es, ![[tex]4t^2-4t+t^2-t-t^2+4t=0[/tex]](images/latex/6901b910caac05f7b224a8aa791fcdac66a791ab_0.png "[tex]4t^2-4t+t^2-t-t^2+4t=0[/tex]") , que pasa solamente si ![[tex]t_1=0[/tex]](images/latex/0483e54f036a97f7d3a0f0189a29b19ac38752bd_0.png "[tex]t_1=0[/tex]") o ![[tex]t_2=1/4[/tex]](images/latex/736fe822b146d75fe00d6dcaac168e4a33c9aa00_0.png "[tex]t_2=1/4[/tex]") .
Los puntos que obtenemos son ![[tex]P_1=(1,-1,2)[/tex]](images/latex/707e4357faa78180a9588bbbdb8e33bf935340bb_0.png "[tex]P_1=(1,-1,2)[/tex]") y ![[tex]P_2=( \frac{3}{2} ,- \frac{3}{4} , \frac{7}{4} )[/tex]](images/latex/8ee1c0ee76a50c5d27f1bcdbe42b656708cc4546_0.png "[tex]P_2=( \frac{3}{2} ,- \frac{3}{4} , \frac{7}{4} )[/tex]") .
Fijate si hice bien las cuentas, en ese caso,  \cdot (P_1-B)=0[/tex]](images/latex/c8d545c7a2cdd8bf73a34a09648a71945b8fa19b_0.png "[tex](P_1-A) \cdot (P_1-B)=0[/tex]") y  \cdot (P_2-B)=0[/tex]](images/latex/2c0c7de4c6d289e52a1bc634c48d8e0210595220_0.png "[tex](P_2-A) \cdot (P_2-B)=0[/tex]") .
Saludos, avisá si algo no se entendió.
|
|
|
|
_________________
![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
|
|
   |
   |
|
Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
|
|
¿El triángulo es ![[tex]APB[/tex]](images/latex/c807573d916bfa8d14577b0443fc755b0f5b65d2_0.png "[tex]APB[/tex]") ?
|
|
|
|
_________________
 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
|
|
| |
 |
|
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
Muchisimas gracias me quedo 100% claro, ya por suerte entendi a la perfeccion el ejercicio. Perdon si mis preguntas son tontas, simplemente que no me quiero quedar atras con la materia y buen ante la duda consulto todo, gracias nuevamente
Salu2
Juan
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
|
|
| moncholo11 escribió:
|
Muchisimas gracias me quedo 100% claro, ya por suerte entendi a la perfeccion el ejercicio. Perdon si mis preguntas son tontas, simplemente que no me quiero quedar atras con la materia y buen ante la duda consulto todo, gracias nuevamente
Salu2
Juan
|
Jaja, de nada, y no Juan, nunca pidas perdón por preguntar. Vergüenza es poder haber preguntado y quedarse con dudas.
Hay que romper con ese paradigma horrible de "uh, mirá este gil, la tontería que pregunta". Tanto de parte de los profesores, como de parte de los demás alumnos.
No hay preguntas tontas; tonto es, a lo sumo, el que no sabe y no pregunta (a menos que esté decidido a sacarse la duda investigándolo por su cuenta  )
Saludos!
|
|
|
|
_________________
|
|
| |
|
|
Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
|
|
|
_________________
| koreano escribió:
|
Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
|
![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
|
|
 |
|
|
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
Hola. Ahi entre a facebook y ya estaba unido a ese grupo solo que no se bien como usarlo jaja.
A ver si alguien me ayuda con este ejercicio, parece muy dificil, o eso creo.
Sea el plano T: -2x + y + z = -3, la recta L:a(1,2,1) + (0,1,3) y P=(3,1,0). Hallar los dos puntos Q1 y Q2 que pertenecen al plano tal que la recta que pasa por Q1 y P y la recta que pase por Q2 y P intersequen a L.
Bien, la verdad es que estoy en pelotas con esto.
Realmente, lo primero y unico que pude plantear fueron las rectas que pasan por esos puntos, es decir:
R1= b(Q1-P) + P
R2= c(Q2-p) + P.
Bien, ahora para saber si cada punto intersaca o no a la recta L; se podria decir que el valor en X que tome R1 sea igual al valor en X que tome L, despues decir que el valor en Y que tome R1 sea igual al valor en Y de L, y lo mismo con Z. Y para el punto Q2 pasaria lo mismo. Bien, la realidad es qe me quedan sistemas de ecuaciones con 50.000 incognitas y me parece que algo estoy haciendo mal. ¿Alguna sugerencia por favor?
Muchas gracias,
Juan
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
|
|
Se me ocurre tomar un generico de L = (a, 2a +1, a + 3), restarle el punto p y hacer que cumpla la ecuacion del plano. Pero como que no van a quedar dos puntos creo 
|
|
|
|
_________________
| koreano escribió:
|
Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
|
|
|
| |
|
|
nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
|
|
Buenas! Lo estuve viendo un poco y no está mal tu razonamiento. Falta que consideres que los puntos Q1 y Q2 pertenecen a T. Ahí tenes una condición más.
Si por ejemplo despejo 'y' de la ecuación del plano, obtengo que los puntos van a ser de la forma Q=(x,-3+2x-z,z).
Con este dato armas las ecuaciones de la recta como lo hiciste.
Paralelamente de la ecuación de la recta tenes que los vectores (x,y,z) pertenecientes a la misma son de la forma (x,y,z)=(a,2a+1,a+3). Igualando coordenada a coordenada con los datos de la recta te queda un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas.
Espero haber sido claro y perdón si cometí algún error.
Saludos!
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
|
|
Está faltando una condición, ¿quizás copiaste el enunciado de forma incompleta? Hay infinitos puntos Q del plano T tales que la recta que pasa por Q y P intersecta L, de la forma:
![[tex]Q = (5, 5, 2) + \lambda(-12, - 16, -8 ) \mbox{ con } \lambda \in (R - \{0\})[/tex]](images/latex/0ff925eaa60e9509d4f6091c78b4efde30a3d8bb_0.png "[tex]Q = (5, 5, 2) + \lambda(-12, - 16, -8 ) \mbox{ con } \lambda \in (R - \{0\})[/tex]")
Por la pinta del enunciado (eso de que sean dos puntos), seguramente la condición que falta es alguna sobre la distancia de Q a L.
EDIT: Exclusión de λ = 0, que hace paralelas las rectas.
|
|
|
|
_________________
|
|
| |
|
|
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
La verdad que a la hora de copiarlo le iba a preguntar a la profesora si P pertenecia ya sea a la recta o al plano pero no le pregunte. Y si, la verdad que es un ejercicio con una fea respuesta, pero le voy a preguntar cualqier cosa al profesor.
A ver si algien me dice si esta bien este ejercicio que hice
Dado L: X= a(1,-1,3) + (0,2,1) y el pnto A= (1,2,-3), hallar:
a) una ecuacion del plano T que contiene a L y al punto A
b) hallar una ecuacion de la recta L2 perpendicular al plano que pasa por A.
Bien, que fue lo que plantee? Fue lo sigiente:
a)
La recta va a estar incluida en el plano si su direccion es perpendicular a la normal, pero ADEMAS que el plano contenga un punto de la recta. Entonces:
L: X = a(1,-1,3) + (0,2,1)
X= (a, -a+2, 3a + 1)
Bien, teniendo un punto (0,2,1) qe lo llamo P, teniendo otro punto A = (1,2,-3), puedo hallar un punto que pertenezca a la recta llamado X para luego sacar la normal haciendo producto vectorial entre PX y yPA (se podria decir que la Normal esta sobre el punto P)
Para hallar algun valor Cualqiera de X que pertenezca a la recta, simplemente le asigno un valor a "a" . Le asigno el valor 1, entonces el pnto de la recta me queda
X = (1, -1 + 2, 3.1 + 1)
X = (1, 1, 4)
Saco el valor de los segmentos:
PX= (1, -1, 3)
PA= (1, 0, -4)
Ahora si, hago el producto vectorial:
N= PXxPA = (1,-1, 3) x (1,0, -4) = (4, 7, 1)
Entonces, tengo la normal del plano, pero aun no sabemos si esa recta esta incluida en el plano, es decir, que la recta sea paralela no necesariamente significa que esta dentro del plano. Por lo tanto voy a incluir algun punto de la recta en el plano. El punto que elijo es (0,2,1), y al punto generico lo voy a llamar B
PB.N = 0
(B-P).N=0
BN = PN
(x,y,z)(4,7,1) = (0,2,1).(4,7,1)
4x + 7y + z = 15 <ecuacion> x=9
y-2 = 14 --> y=16
z+3 = 2 ----> z= -1
Por lo tnato, la recta queda
L: X = a(9, 16, -1) + (1,2,-3)
Bueno, esa es mi resolucion del ejercicio. Perdon si escribi mucho pero de paso creo que me sirve como para ir fijando los conceptos. Simplemente espero que el ejercicio este bien hecho, y de paso aprendo yo y tambien eespero que esta resolucion le sirva a alguien que este haciendo el CBC de ingenieria.
Salu2 y gracias,
Juan
PD: ¿Es valido en algebra sacar a veces algun valor de la galera para poder resolver un ejercicio? es decir, yo asigne algun valor a "b" para poder sacar una direccion paralela, es valido eso??
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
|
|
Chicos, no se que paso en mi mensaje de arriba. Algun moderador lo puede borrar? Simplemente me puso eso de <ecuacion> y me borro parte del ejercicio
La verdad que a la hora de copiarlo le iba a preguntar a la profesora si P pertenecia ya sea a la recta o al plano pero no le pregunte. Y si, la verdad que es un ejercicio con una fea respuesta, pero le voy a preguntar cualqier cosa al profesor.
Aca estuve haciendo un ejercicio que dado L: X= a(1,-1,3) + (0,2,1) y el pnto A= (1,2,-3), hallar:
a) una ecuacion del plano T que contiene a L y al punto A
b) hallar una ecuacion de la recta L2 perpendicular al plano que pasa por A.
Bien, que fue lo que plantee? Fue lo sigiente:
a)
La recta va a estar incluida en el plano si su direccion es perpendicular a la normal, pero ADEMAS que el plano contenga un punto de la recta. Entonces:
L: X = a(1,-1,3) + (0,2,1)
X= (a, -a+2, 3a + 1)
Bien, teniendo un punto (0,2,1) qe lo llamo P, teniendo otro punto A = (1,2,-3), puedo hallar un punto que pertenezca a la recta llamado X para luego sacar la normal haciendo producto vectorial entre PX y yPA (se podria decir que la Normal esta sobre el punto P)
Para hallar algun valor Cualqiera de X que pertenezca a la recta, simplemente le asigno un valor a "a" . Le asigno el valor 1, entonces el pnto de la recta me queda
X = (1, -1 + 2, 3.1 + 1)
X = (1, 1, 4)
Saco el valor de los segmentos:
PX= (1, -1, 3)
PA= (1, 0, -4)
Ahora si, hago el producto vectorial:
N= PXxPA = (1,-1, 3) x (1,0, -4) = (4, 7, 1)
Entonces, tengo la normal del plano, pero aun no sabemos si esa recta esta incluida en el plano, es decir, que la recta sea paralela no necesariamente significa que esta dentro del plano. Por lo tanto voy a incluir algun punto de la recta en el plano. El punto que elijo es (0,2,1), y al punto generico lo voy a llamar B
PB.N = 0
(B-P).N=0
BN = PN
(x,y,z)(4,7,1) = (0,2,1).(4,7,1)
4x + 7y + z = 15 (ecuacion del plano)
b) Hay que buscar interseccion de L2 con el plano. La consigna no es clara, pero yo imagino que el que pasa por A es la recta que pasa por A, y no el plano. Entonces, la forma que toma la recta es:
L2: X = a(X-A) + A
Ademas se que si tiene qe intersectar al plano, entonces la direccion de la recta y la normal son paralelas. Como la normal es (4,7,1), la multiplico por un valor "b" perteneciente a los reales diferentes del 0. Entonces elijo algun valor de b, supongamos que b=2
(X-A)= b(4,7,1)
(x,y,z) - (1,2,-3) = 2(4,7,1)
(x-1, y-2, z + 3) = (8,14,2)
Entonces digo:
x-1 = 8 ----> x=9
y-2 = 14 --> y=16
z+3 = 2 ----> z= -1
Por lo tnato, la recta queda
L: X = a(9, 16, -1) + (1,2,-3)
Bueno, esa es mi resolucion del ejercicio. Perdon si escribi mucho pero de paso creo que me sirve como para ir fijando los conceptos. Simplemente espero que el ejercicio este bien hecho, y de paso aprendo yo y tambien eespero que esta resolucion le sirva a alguien que este haciendo el CBC de ingenieria.
Salu2 y gracias,
Juan
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
|
|
| moncholo11 escribió:
|
a) una ecuacion del plano T que contiene a L y al punto A
[...]
4x + 7y + z = 15 (ecuacion del plano)
|
Éste está bien, pero para hacer menos cuentas (y bajar entonces la probabilidad de cometer errores), uno se puede avivar de que PX = X - P es el vector director de la recta, (1, -1, 3), que es dato:
![[tex]X = a(1, -1, 3) + P \Rightarrow X - P = a(1, -1, 3)[/tex]](images/latex/e90e022ba655f25d21f0e9028ed37d6fbceb783f_0.png "[tex]X = a(1, -1, 3) + P \Rightarrow X - P = a(1, -1, 3)[/tex]")
Y vos elegiste a = 1. Así que en el producto vectorial para obtener la normal del plano se puede "enchufar" directamente el vector director de la recta como uno de los factores. El otro factor, como dijiste, es la resta de A y un punto de la recta, y nada más fácil que usar el que ya es dato: (0, 2, 1).
| moncholo11 escribió:
|
b) hallar una ecuacion de la recta L2 perpendicular al plano que pasa por A.
[...]
Por lo tnato, la recta queda
L: X = a(9, 16, -1) + (1,2,-3)
|
Éste no está bien. Ahí estás haciendo aB + A, y vos dijiste:
| moncholo11 escribió:
|
la forma que toma la recta es:
L2: X = a(B-A) + A
|
(Te cambié la segunda X por B, ya que usás la misma letra para dos cosas distintas)
Así que ahí va B - A = (8, 14, 2):
L2: X = a(8, 14, 2) + (1, 2, -3)
Ahora bien, otra avivada:
| moncholo11 escribió:
|
Ademas se que si tiene qe intersectar al plano, entonces la direccion de la recta y la normal son paralelas. Como la normal es (4,7,1), la multiplico por un valor "b" perteneciente a los reales diferentes del 0. Entonces elijo algun valor de b, supongamos que b=2
(X-A)= b(4,7,1)
|
¿Y por qué no b = 1? Nada más fácil que multiplicar por 1, ¿no? Por otro lado, si vos decís X = a(B-A) + A y decís (B-A) = b(4, 7, 1), entonces es obvio que:
X = ab(4, 7, 1) + (1, 2, -3)
a es variable, b es fijo, pero arbitrario. Sí elegís b = 1, queda directamente como vector director de la recta el vector normal del plano. O sea, lo "enchufás" directamente en la ecuación de la recta y nuevamente te ahorrás cuentas y fuentes de errores.
|
|
|
|
_________________
|
|
| |
|
|
|
|
Ir a página 1, 2 Siguiente
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
