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Mensaje |
Carli
Nivel 3
Registrado: 24 Oct 2011
Mensajes: 43
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![[tex] f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{(e^{x^{3}} + y^3 -1} {x^2+y^2} & \mbox{si }(x,y)\mbox{ es distinto a (0,0)}\\ 0 & \mbox{si }(x,y)\mbox{ (x,y)= (0,0)}\end{matrix}\right. [/tex]](images/latex/f793bf70df99256b9734086f4d46312165af6676_0.png "[tex] f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{(e^{x^{3}} + y^3 -1} {x^2+y^2} & \mbox{si }(x,y)\mbox{ es distinto a (0,0)}\\ 0 & \mbox{si }(x,y)\mbox{ (x,y)= (0,0)}\end{matrix}\right. [/tex]")
Calcular todas las derivadas direccionales de f en el punto (0; 0).
Entonces por definición digo:
![[tex]lim_{h \to{+}0}{f(x)} [/tex]](images/latex/7c36b5512c34a77d0f3a86c27ff18ddfdf8bf916_0.png "[tex]lim_{h \to{+}0}{f(x)} [/tex]") = ![[tex] \frac{f(P + h.v) - f(P)}{h} [/tex]](images/latex/11864a9a016d030f441d54f74300edac327867d5_0.png "[tex] \frac{f(P + h.v) - f(P)}{h} [/tex]")
Siendo bueno P, el punto (0,0) y V , el vector /v/ =1 .
Empiezo a reemplazar:
![[tex] \frac{ (e^{a^3.h^{3}} + b^3.h^3 -1}{h^2. (a^2+b^2} [/tex]](images/latex/9c4304f4908897f8b42296657c550a599c92e1a7_0.png "[tex] \frac{ (e^{a^3.h^{3}} + b^3.h^3 -1}{h^2. (a^2+b^2} [/tex]")
Como ![[tex] a^2 + b^2 [/tex]](images/latex/b38638108b8ca8fd298d5c9a7db18024a0a6191a_0.png "[tex] a^2 + b^2 [/tex]") = 1 termina quedando ,
![[tex] \frac{ (e^{a^3.h^{3}} + b^3.h^3 -1}{h^2. (1} [/tex]](images/latex/6a2a93e244955d921d9669031069f1b9dad5f625_0.png "[tex] \frac{ (e^{a^3.h^{3}} + b^3.h^3 -1}{h^2. (1} [/tex]")
y ahí me quede trabado no se como seguir o como sacarme de encima el exponencial o como sacarme el h^2.
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Pablisho
Nivel 5
Registrado: 25 Sep 2008
Mensajes: 142
Carrera: Electrónica y Informática
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Abajo creo que te queda h^3, acordate que el limite esta dividiendo todo por h.
Y desp seguis igual q en analisis 1, sacas h^3 factor comun y lo cancelas con el de abajo y listo
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Santi_ala
Nivel 3
Registrado: 31 Mar 2012
Mensajes: 28
Carrera: Informática y Sistemas
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Estas reemplazando mal ! , fijate que para reemplazar e^(x^3) cuando tomas el limite a mi entender te quedaria e^(x+h)^3, por lo tanto en el denominador te esta pasando el mismo problema.
El denominador seria h *((x+h)^2 + y^2)
Entonces cuando desarrolles el cubo en el numerador y el cuadrado en el denominador vas a ver q te vas a destrabar  saludos y volve a prreguntar si algo no entendiste
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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No, es como está hecho en el primer post, pero con la corrección de ![[tex]h^3[/tex]](images/latex/37a950edd7bb0a238395b417e2ffa006b10dc710_0.png "[tex]h^3[/tex]") que marcaron después. La derivada direccional en (0, 0) es:
![[tex]\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + ah, 0 + bh) - f(0, 0)}{h} =\lim_{h \to 0^+} \frac{f(ah, bh) - 0}{h} =\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{a^3h^3} + b^3h^3 - 1}{h^3(a^2 + b^2)} =[/tex]](images/latex/75ed0ad7a5672c4a51d8c555645adbc381f05f00_0.png "[tex]\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + ah, 0 + bh) - f(0, 0)}{h} =\lim_{h \to 0^+} \frac{f(ah, bh) - 0}{h} =\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{a^3h^3} + b^3h^3 - 1}{h^3(a^2 + b^2)} =[/tex]")
![[tex]= \lim_{h \to 0^+} \left ( \frac{e^{a^3h^3} - 1}{h^3} + b^3 \right ) =\left ( \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{a^3h^3} - 1}{h^3} \right ) + b^3[/tex]](images/latex/7254fc1b92da73acbebade36034ed31d312de82d_0.png "[tex]= \lim_{h \to 0^+} \left ( \frac{e^{a^3h^3} - 1}{h^3} + b^3 \right ) =\left ( \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{a^3h^3} - 1}{h^3} \right ) + b^3[/tex]")
El límite dentro del último paréntesis es una indeterminación 0/0 que sale con la regla de L' Hopital.
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