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Fhran
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Age: 39
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Posts: 3123
Location: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica and Informática
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- Resolver utilizando Transformada de Laplace:
![[tex]u_{tt} = 4 u_{xx}[/tex]](images/latex/8d23f255ab976cf9cf0b398a8e4ddf97ae3100b6_0.png "[tex]u_{tt} = 4 u_{xx}[/tex]") , ![[tex]t > 0[/tex]](images/latex/8f1273d0d0e1b570e707637184379ca199f70496_0.png "[tex]t > 0[/tex]") , ![[tex]x > 0[/tex]](images/latex/e215c764787270b893715e6dfbc1f8768a5b1e44_0.png "[tex]x > 0[/tex]")
![[tex]u(0,t) = u_x (0,t) = 0[/tex]](images/latex/0d0da5cf9bac9ebc3f1213a6756e4dfa9d7691aa_0.png "[tex]u(0,t) = u_x (0,t) = 0[/tex]") , ![[tex]u(x,0) = \sin(\pi x)[/tex]](images/latex/7e4807b372e7d2cc3d10bd88a0366c06a94e9de8_0.png "[tex]u(x,0) = \sin(\pi x)[/tex]") , ![[tex]u_t (x,0) = \cos (\pi x)[/tex]](images/latex/ee1c0f2b7dcbb3f0576dca1b5cb1c1fa4d9cbd70_0.png "[tex]u_t (x,0) = \cos (\pi x)[/tex]")
Hallar ![[tex]u(1,1)[/tex]](images/latex/3f675bb0ec7c1ec23ba7441a3c537c47bdf10117_0.png "[tex]u(1,1)[/tex]") .
- Se sabe que
![[tex]\sum_{1}^{\infty} b_n \sin (nx)[/tex]](images/latex/e5f3147de081aa4a538dc5b82656a9da537d4366_0.png "[tex]\sum_{1}^{\infty} b_n \sin (nx)[/tex]") es la Serie de Fourier de ![[tex]f(x) = { \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }^2[/tex]](images/latex/b296312db43cc640fee64a895da9351985550dbb_0.png "[tex]f(x) = { \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }^2[/tex]") , ![[tex]x \in \left[ 0 , p \right][/tex]](images/latex/da0999eea2bb236c3ed2426a77da8a407edbb2e9_0.png "[tex]x \in \left[ 0 , p \right][/tex]") .
- Determinar
![[tex]p[/tex]](images/latex/32cadd650d339f29c49609356ba3145894c5aa5d_0.png "[tex]p[/tex]") .
- Graficar la función a la que converge la Serie en
![[tex]\mathcal{R}[/tex]](images/latex/eb80da7e4f16b90f9f2450a62860f498cd7bd37b_0.png "[tex]\mathcal{R}[/tex]") y determinar el tipo de convergencia.
- ¿En cuántos puntos del intervalo
![[tex]\left[ 0 , 3 \pi \right][/tex]](images/latex/615f513c78a785a4bf8e1d6f58f972e9fc398616_0.png "[tex]\left[ 0 , 3 \pi \right][/tex]") se anula la serie?
- Si las transformadas de
![[tex]f(t)[/tex]](images/latex/9456eb88e324ed40e4e5e88a504853a13991749a_0.png "[tex]f(t)[/tex]") , ![[tex]g(t)[/tex]](images/latex/fc117f90b2f0fd4530491712329ae8b26ef1db15_0.png "[tex]g(t)[/tex]") y ![[tex]r(t)[/tex]](images/latex/7eba138831ace041877c8f1c63cc75b5479f72ae_0.png "[tex]r(t)[/tex]") son ![[tex]\widehat f (\omega)[/tex]](images/latex/3f6b34191d73df5c0595401967bc9ec0340dd44a_0.png "[tex]\widehat f (\omega)[/tex]") , ![[tex]\widehat g (\omega)[/tex]](images/latex/f56c56e76f6f0bf5b42aa0b222626015cb7dbb2d_0.png "[tex]\widehat g (\omega)[/tex]") y ![[tex]\widehat r (\omega)[/tex]](images/latex/d38e3785456463e4ad4c1a65e77193cc67dc47ed_0.png "[tex]\widehat r (\omega)[/tex]") respectivamente, mostrar que la solución de la ecuación ![[tex]f(t) = g(t) + \int_{- \infty}^{\infty} f(u) r(t-u) du[/tex]](images/latex/e08f9c632882d29cacb7aa473cd5e9df16ff3da2_0.png "[tex]f(t) = g(t) + \int_{- \infty}^{\infty} f(u) r(t-u) du[/tex]") está dada por ![[tex]f(t) = \frac{1}{2 \pi } \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\widehat g (\omega)}{1 - \widehat r (\omega)} e^{i \omega t} d \omega[/tex]](images/latex/cfe1bde8d5995cd9b02fb37927a41eec5efb93e2_0.png "[tex]f(t) = \frac{1}{2 \pi } \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\widehat g (\omega)}{1 - \widehat r (\omega)} e^{i \omega t} d \omega[/tex]") .
Establecer las hipótesis necesarias.
- Demostrar que
![[tex]\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = X(z) Y(z)[/tex]](images/latex/6a385db77ee15d3ec587b6643cde120f1fd41a26_0.png "[tex]\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = X(z) Y(z)[/tex]") .
- Demostrar que si
![[tex]x(n)[/tex]](images/latex/255cb50c22d9af7faf6c95b96e1a91488f07805f_0.png "[tex]x(n)[/tex]") e ![[tex]y(n)[/tex]](images/latex/f18d7bd1e8ca422b2dd5b05ec6da0a7b7aa8f401_0.png "[tex]y(n)[/tex]") son dos señales causales (esto es ![[tex]x(n) = y(n) = 0[/tex]](images/latex/dfcc74a4918185b0f3840395eba95ff495a42137_0.png "[tex]x(n) = y(n) = 0[/tex]") si ![[tex]n < 0[/tex]](images/latex/3d9e9bb7e46df90a43722bca737ffc525c0d2dc2_0.png "[tex]n < 0[/tex]") ), entonces:
![[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{ k = 0}^{n} x(k) y(n-k)[/tex]](images/latex/ceb7b85fd2b43013a485eb59d685b54e5e672bc4_0.png "[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{ k = 0}^{n} x(k) y(n-k)[/tex]") .
- Usar el punto b para demostrar que si
![[tex]H(z) = \frac{z^2}{ \left( z - e^a \right) \left( z - 1 \right)}[/tex]](images/latex/e700977d5ee2fec3159ed77283a92b3722270149_0.png "[tex]H(z) = \frac{z^2}{ \left( z - e^a \right) \left( z - 1 \right)}[/tex]") , ![[tex]a > 0[/tex]](images/latex/2321c18c432035605b2ec115128425cedb7d43b0_0.png "[tex]a > 0[/tex]") , ![[tex]|z| > e^a[/tex]](images/latex/1fbc8aeb92aae77d492a21cd356b2105fadc4ffd_0.png "[tex]|z| > e^a[/tex]") , entonces ![[tex]h(n) = \frac{1- e^{a(n+1)}}{1-e^a}[/tex]](images/latex/8721f0b3c0e53ea91b92b047caf0c6f96c49f72b_0.png "[tex]h(n) = \frac{1- e^{a(n+1)}}{1-e^a}[/tex]") .
Resolución (en proceso)
-
-
-
![[tex]\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ x(n) \ast y(n) \right] z^{-n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) \right] z^{-n}[/tex]](images/latex/1ccf194b9d306df552ac7fdbd7567cdf6929b799_0.png "[tex]\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ x(n) \ast y(n) \right] z^{-n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) \right] z^{-n}[/tex]")
- Intercambiando el orden de las sumatorias (no se como probar que esto es válido, es un truco algebraico):
![[tex]\sum_{k = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) z^{-n} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} y(n-k) z^{-n} \right][/tex]](images/latex/3e2eb122be57a06e457ad239998ebec2f10f92eb_0.png "[tex]\sum_{k = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) z^{-n} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} y(n-k) z^{-n} \right][/tex]") - Haciendo el cambio de variable
![[tex]p = n - k[/tex]](images/latex/c0e8fd4f4d4c99c8c3cf34c22869d621b7b08905_0.png "[tex]p = n - k[/tex]") :
![[tex]\sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-(p+k)} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) z^{-k} \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-p} \right] = X(z)Y(z)[/tex]](images/latex/941d16bc27e10f1aef1747076fdb78bf454ac040_0.png "[tex]\sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-(p+k)} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) z^{-k} \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-p} \right] = X(z)Y(z)[/tex]")
![[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) = ...[/tex]](images/latex/d9c439e649428ac47b42d0f0e66b782a600f9695_0.png "[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) = ...[/tex]")
![[tex]... = \sum_{k = - \infty}^{-1} x(k)y(n-k) + \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k) + \sum_{k = n + 1}^{\infty} x(k)y(n-k)[/tex]](images/latex/048678deee3770f0b3cea212dd3339aba88f7d34_0.png "[tex]... = \sum_{k = - \infty}^{-1} x(k)y(n-k) + \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k) + \sum_{k = n + 1}^{\infty} x(k)y(n-k)[/tex]")
- En el último miembro, el primer término se anula porque
![[tex]x(k) = 0[/tex]](images/latex/6a65a6684e280f9ecf343ba3c6dac5a27c5223de_0.png "[tex]x(k) = 0[/tex]") para ![[tex]k < 0[/tex]](images/latex/d6b89de7b5b72f8d4147b67378fed8030a206b62_0.png "[tex]k < 0[/tex]") y el tercer término se anula porque ![[tex]y(n-k) = 0[/tex]](images/latex/ed01ecfa3ecf9f668a4e2bb718973a7d8d6f29e3_0.png "[tex]y(n-k) = 0[/tex]") para ![[tex]k>n+1[/tex]](images/latex/7dd5c6798e044a616cd7a20de25a0552ede726eb_0.png "[tex]k>n+1[/tex]") . Entonces nos queda:
![[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k)[/tex]](images/latex/d025d269d09997fd450eaab2078900c7d32c7831_0.png "[tex]\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k)[/tex]")
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Claus
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Tema Libre no es Libertinaje
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Fhran
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Artemisa
Nivel 8
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Carrera: Química
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| No me acuerdo si el que tiene el gráfico es este o el otro que ya dejaste en el Wiki, pero quedó precioso. Qué paciencia...
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Fhran
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