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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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Nose bien como empezar. Lo único q pude plantear fue q en x = +- i (raiz) alpha, la integral no es acotada; después como sigo?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Primero que nada, tene en cuenta que x es real, por ende el integrando es continuo en R (si alfa es no nulo). Después, podes observar que el integrando es par. Por ende, si existe su valor principal de Cauchy, entonces la integral es convergente por ser el integrando par.
De todas maneras, es sencillo ver que ![[tex]\left|\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\cos\left(\beta x \right)}{x^{2} + \alpha^{2}} \; dx}\right| \le \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\frac{\cos\left(\beta x \right)}{x^{2} + \alpha^{2}}\right| \; dx} \le \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\frac{1}{x^{2} + \alpha^{2}}\right| \; dx} = \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{x^{2} + \alpha^{2}}}[/tex]](images/latex/3fd3edc3668892ec5c9d4de14c70c02f88013efe_0.png "[tex]\left|\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\cos\left(\beta x \right)}{x^{2} + \alpha^{2}} \; dx}\right| \le \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\frac{\cos\left(\beta x \right)}{x^{2} + \alpha^{2}}\right| \; dx} \le \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\frac{1}{x^{2} + \alpha^{2}}\right| \; dx} = \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{x^{2} + \alpha^{2}}}[/tex]") . La última integral converge siempre y cuando ![[tex]\alpha \neq 0[/tex]](images/latex/41b0736b649a2f4894cd08815ffddf7f627265cb_0.png "[tex]\alpha \neq 0[/tex]") . Por ende, la integral "original" converge absolutamente (por ende converge) para todo beta y para todo .
¿Sabes cómo se calcula la integral?.
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Neolithing
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 11 Feb 2010
Mensajes: 88
Carrera: Informática
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| Entiendo lo que pusiste pero no tendria que tomar X como complejo tambien? osea , que me dice q es real. no lo vi. Saludos
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No te lo dice el enunciado, porque creo yo que es una trivialidad. Desde el secundario que se escribe f(x) o f(t) y se sabe que x y t son reales. Es como si te escribieran f(x) y te dijeran que es una función de variable compleja. Para qué complicarse la vida, ¿no?.
Para el caso tampoco aclara si se puede considerar esa integral como de Lebesgue, Riemann-Stieltjes o simplemente una integral impropia "común".
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Por si interesa digo que la integral a mi me dio ![[tex]\frac{\pi e^{-\alpha \beta}}{\alpha}[/tex]](images/latex/83d32f011f86c911e117b9ac50c337b2ccc44aba_0.png "[tex]\frac{\pi e^{-\alpha \beta}}{\alpha}[/tex]") .
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Jackson666 escribió:
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Primero que nada, tene en cuenta que x es real, por ende el integrando es continuo en R (si alfa es no nulo). Después, podes observar que el integrando es par. Por ende, si existe su valor principal de Cauchy, entonces la integral es convergente por ser el integrando par.
De todas maneras, es sencillo ver que . La última integral converge siempre y cuando . Por ende, la integral "original" converge absolutamente (por ende converge) para todo beta y para todo .
¿Sabes cómo se calcula la integral?.
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Gracias por responder, pero me quedo una duda.
Si comparo la integral con 1/x^2, puedo decir q la integral converge entre 1 e infinito; pero no veo como podes decir q la integral converge entre 0 y 1.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Eso es porque 1/x^2 tiene el numerador constante. En este caso tenés una función que podría ser 0 en el numerador cuando el denominador tiende a 0, por lo tanto ayudando a la convergencia. Lo que tenés que hacer es ajustar lo que tenés en el numerador para que eso pase
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| koreano escribió:
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Eso es porque 1/x^2 tiene el numerador constante. En este caso tenés una función que podría ser 0 en el numerador cuando el denominador tiende a 0, por lo tanto ayudando a la convergencia. Lo que tenés que hacer es ajustar lo que tenés en el numerador para que eso pase
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A q te referis con ajustar?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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@MarianAAAJ: El criterio de comparación que mencionas es totalmente válido y es al que yo me refiero para este caso. Ya sabes que la integral converge en ![[tex][1, +\infty)[/tex]](images/latex/fd3c2de2720e499a1422bc102accb813b3295752_0.png "[tex][1, +\infty)[/tex]") por comparación con la integral de ![[tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]](images/latex/c74496bbf2aa8f65a6b88770e329cbfddd6b084d_0.png "[tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]") en ese mismo intervalo. Después, podes fijarte que el integrando es continuo y acotado en ![[tex][0, 1][/tex]](images/latex/5d17558ec88e337aef919fa6781b3b6aa5984c4f_0.png "[tex][0, 1][/tex]") siempre y cuando (o sea, la integral no es impropia en ese intervalo). Luego, por ser el integrando par, la integral es convergente en todos los reales.
Realmente no entendí lo que dijo koreano.
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Última edición por Jackson666 el Mie Ene 25, 2012 6:37 pm, editado 1 vez
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No tenés que comprar con nada entre 0 y 1 chango. Tenés la integral de una función contínua en un intervalo acotado, no hay "impropicidad" ahí, pues alpha es distinto de 0.
EDIT: Me ganó el PUTO de Jackson.
Supongo que koreano, por aggiornar el denominador, se refería a dividir por x^2 y queda 1/(1 + 1/x^2) entre 0 y 1, eso es una papita.
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Última edición por sabian_reloaded el Mie Ene 25, 2012 6:53 pm, editado 1 vez
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Jackson666 escribió:
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@MarianAAAJ: El criterio de comparación que mencionas es totalmente válido y es al que yo me refiero para este caso. Ya sabes que la integral converge en por comparación con la integral de en ese mismo intervalo. Después, podes fijarte que el integrando es continuo y acotado en siempre y cuando (o sea, la integral no es impropia en ese intervalo). Luego, por ser el integrando par, la integral es convergente en todos los reales.
Realmente no entendí lo que dijo koreano.
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okok te entendí, graciela. Después para el calculo de la integral aplico el teo de residuos, no? Ya que en z = i(raiz)^2 alpha hay un polo de orden 1. Entonces digo q la integral sobre una curva C (semicircunferencia q encierra dicho punto) de f(z) = 2 pi Res(f, i(raiz) alpha^2); la pifie en algo?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Acordate que tenés que probar (o calcular en caso de que no vaya a 0) el tramo de integral que queda en el plano complejo para usar el teorema de los residuos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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EH WACHO QUÉ PUTO ?!?!?! Tus nalgas no opinan lo mismo (?).
Sí, la idea para calcular la integral es la que mencionas. Tenes que considerar sólo el polo que tiene parte imaginaria positiva, usar un lema de Jordan (esto es lo que te menciona el BALINAZO de sabian) y calcular el residuo allí. Ojo que el residuo es en ![[tex]z_{0} = i\alpha[/tex]](images/latex/eda6ee69a3957a2de363de8330b6295595ea121b_0.png "[tex]z_{0} = i\alpha[/tex]") .
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Jackson666 escribió:
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EH WACHO QUÉ PUTO ?!?!?! Tus nalgas no opinan lo mismo (?).
Sí, la idea para calcular la integral es la que mencionas. Tenes que considerar sólo el polo que tiene parte imaginaria positiva, usar un lema de Jordan (esto es lo que te menciona el BALINAZO de sabian) y calcular el residuo allí. Ojo que el residuo es en .
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Sisi, la integral me quedo igual q avos, perooooooo en la parte b del ejer dice q si derivamos la integral respecto de B, queda: pi . e^{-a. b}
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Ojo, que lo que te dice que muestres está a diferencia de un signo menos.
Cuando derivás la función de adentro de la integral, te queda - x sen(x) en el numerador (el denominador queda igual); cuando derivás a izquierda, te baja el -a. El a se te cancela con el del denominador del resultado y el menos se te cancela con el que te salió de derivar el seno.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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