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ClariMaggi
Nivel 2
Registrado: 11 Abr 2010
Mensajes: 12
Ubicación: Mercedes Bs As
Carrera: Civil
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buenas! me puse a practicar ejercicios de modelos de parciales y en uno de los ejercicios me surgio una duda de como resolverlo.
EJ) Sea la supercie S1 de ecuacion 2 x = 4 + (y - z)2 y sea la supercie S2 parametrizada por
X(u; v) = (u2 + 2 v; v cos(u v); u ev), con (u; v) 2 R2.
a) Hallar una ecuacion para la recta tangente a la curva interseccion de S1 y S2 en el punto
X(2; 0) = (4; 0; 2).
b) Escribir la recta del item anterior como interseccion de dos planos .
Mi idea era tomar la parametrizacion de x y z de la superficie 2 y reemplazarla en la ecuacion de la superficie 1 en sus respectivas variables. Si hago esto y la evaluo en el punto que me dicen la igualdad me da correcta, pero es valido esto? de esta manera se halla la curva interseccion? y para la ecuacion de la recta tg? hallo derivadas parciales y las evaluo en el punto? ...
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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suponiendo que querias decir X(u;v) = ( U^2 + 2V ; V cos(UV) ; U.e^V )
yo hice así:
primero para S2 derive la parametrizacion con respecto a U y a V, eso te da 2 vectores, cada uno tangente a la superficie S2 y ortogonales entre si, los evalue en el punto, es decir el (2;0), y despues hice el producto vectorial entre ellos, lo cual (como son perpendiculares entre si) te da un vector perpendicular a ambos, y por ende un vector paralelo a la normal de S2 en el punto (4;0;2) si se quiere. a ese vector, que me dio (-1;-6;4) lo tomas como la normal a S2
despues pase a S1, pones que 0 = 4+(Y-Z)^2 - 2X y que la parte de la izquierda de esa ecuacion es lo que vos definis como F(x;y;z) tal que S1 sea la superficie de nivel 0 de F(x;y;z). ahora como vos bien sabes, el gradiente de F es perpendicular a la curva de nivel 0 de F. entonces haces F'x F'y y F'z armás el gradiente de F, lo evaluas en el punto, y asi obtenes la normal a S1 en el punto
bien ahora tenes las normales de las 2 superficies, que al intersectarse te van a dar la curva de la cual te piden la recta tangente
entonces si multiplicas vectorialmente la normal de S1 con la normal de S2 te deberia dar la direccion de la tangente a la curva en ese punto
la normal de S1 me dio (-2;-4;4)
la normal de S2 me dio (-1;-6;4)
la direccion de la tangente entonces me dio (8;-4;
corregime si me equivoque, por favor, o decime la respuesta xq yo tambien rindo mañana y cualquier cosa preguntame, gracias
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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| *la direccion de la tangente entonces me dio (8;-4; 8 )
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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| kasba escribió:
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suponiendo que querias decir X(u;v) = ( U^2 + 2V ; V cos(UV) ; U.e^V )
bien ahora tenes las normales de las 2 superficies, que al intersectarse te van a dar la curva de la cual te piden la recta tangente
entonces si multiplicas vectorialmente la normal de S1 con la normal de S2 te deberia dar la direccion de la tangente a la curva en ese punto
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Cada superficie tiene un plano tangente y una normal (en un punto)...que son los normales que hallaron....
La interseccion de las superficies determina una Curva, la curva tiene una recta tangente en un punto.
El producto vectorial de los 2 N de las superficies..me da un vector que es tangente a la curva (determinada por la interseccion de las dos sup)
Con esos datos tenes que resolver, espero haber ayudado
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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| jajaj sí, eso fue lo que dije, le dije como averiguar cada normal de las superficies, y despues hacer el producto vectorial entre ambas
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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| kasba escribió:
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jajaj sí, eso fue lo que dije, le dije como averiguar cada normal de las superficies, y despues hacer el producto vectorial entre ambas
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Ya que estas kasba...ya sabemos calcular el plano tangente a una superficie...sabés como hacer el plano normal a una curva?...por ahi tenia un ejercicio..donde estaaaa?
saludos
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Si tenés la parametrización de la curva ![[tex]\vec{\gamma}(t)[/tex]](images/latex/2407413faa30b1b27e753e357f711dc7806d06a5_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t)[/tex]") , podés pensar el plano normal a la curva en un determinado punto ![[tex]\vec{\gamma}(t_0)[/tex]](images/latex/245d7479dd8aab3fc920c39589e18dd449e64d4f_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t_0)[/tex]") como aquél plano que pasa por ese punto y tiene como normal el vector tangente a la curva ![[tex]\vec{\gamma}'(t)[/tex]](images/latex/1627b73ca01692daa6a9afee46fa8922d911a34d_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t)[/tex]") en dicho punto .
Eso lo hacés como en el CBC. El plano es normal a ![[tex]\vec{\gamma}'(t_0)[/tex]](images/latex/c2941ed0cb24f59c84edf82473ec5ad7720c5b47_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t_0)[/tex]") y pasa por el punto cumple la ecuación ![[tex][(x,y,z)-\vec{\gamma}(t_0)].\vec{\gamma}'(t_0)=0[/tex]](images/latex/d81a6a230009c9f0bf62a8da6d050653db6b9685_0.png "[tex][(x,y,z)-\vec{\gamma}(t_0)].\vec{\gamma}'(t_0)=0[/tex]") , que es la condición de que cualquier vector del plano y el vector tangente sean perpendiculares.
Avisame si no se entiende.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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Laumar
depende como te den la curva, si te la dan parametrizada tenes que derivar la curva con respecto a ese parametro, eso te va a dar la direccion de la curva en el punto, esa direccion es paralela a la normal del plano normal a la curva en el punto, entoncer armas un plano con esa direccion como normal y con el punto que te dieron
si te dan la curva como interseccion de 2 superficies, tenes que averiguar la normal de las 2 superficies en el punto y multiplicarlas vectorialmente, eso te va a dar la direccion tangente a la curva, que tambien es la normal del plano normal a la curva, pones el punto y listo
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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Gracias Elmo y Kasba, ya caí...es sencillo
Un plano esta determinado por una normal y un punto...
En el caso del plano normal a una curva...uso como N el vector tangente a la curva (en cualquiera de las formas que me den la ecuacion de la curva..sacamos su tangente)
En el caso del plano tangente a una superficie ...uso como N el idem del plano..(que es el que lo determina)...saco el N de la superficie...(tambien como sea que me la describan...
Mañana tengo la intuicion..nos va a aparecer buscar el plano normal a una curva...jeje
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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ojala, igual todavia quiero saber si esta bien el resultado del ejercicio q pidio clarimaggi
dicen que nos tomaran ecuaciones diferenciales de vuelta? para mi que sí
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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Del ejercicio de Clarimaggi a mi me dió:
el N de S1: (1,-1,1)
el N de S2: (-1,-6,4) (si la ecuacion de S2 esta como la escribe kasba)
vect tang a la curva: (2,-1,5)
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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| Elmo Lesto escribió:
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Si tenés la parametrización de la curva , podés pensar el plano normal a la curva en un determinado punto como aquél plano que pasa por ese punto y tiene como normal el vector tangente a la curva en dicho punto .
Eso lo hacés como en el CBC. El plano es normal a y pasa por el punto cumple la ecuación , que es la condición de que cualquier vector del plano y el vector tangente sean perpendiculares.
Avisame si no se entiende.
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Ah! hay un detalle importante, si me dan o no me dan la curva parametrizada, si esta parametrizada ok..el C' es tangente a la curva,
si no me la dan parametrizada mejor la parametrizo...sino no estoy segura que estaria sacando ..tal vez un gradiente..
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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| laumar escribió:
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Del ejercicio de Clarimaggi a mi me dió:
el N de S1: (1,-1,1)
el N de S2: (-1,-6,4) (si la ecuacion de S2 esta como la escribe kasba)
vect tang a la curva: (2,-1,5)
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esta mal el N1 copie mal la ecuacion de S1..
creo es (1,1,-1)...
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kasba
Nivel 2
Registrado: 14 Dic 2011
Mensajes: 6
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la normal de S1 te da (1;1;-1)? como la sacaste asi?
yo acabo de revisar el mio y me da q es (-2;-8;4)
que seria ( F'x (4;0;2) ; F'y (4;0;2) ; F'z (4;0;2) )
siendo F(x;y;z)= 4 + (y-z)^2 - 2x = 0
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laumar
Nivel 3
Registrado: 09 Dic 2011
Mensajes: 32
Carrera: Sistemas
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| kasba escribió:
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la normal de S1 te da (1;1;-1)? como la sacaste asi?
yo acabo de revisar el mio y me da q es (-2;-8;4)
que seria ( F'x (4;0;2) ; F'y (4;0;2) ; F'z (4;0;2) )
siendo F(x;y;z)= 4 + (y-z)^2 - 2x = 0
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Si F(x,y,z) = 0, define x=x(y,z), lo traté asi...despeje la x y saqué el gradiente a esa funcion definida en forma implicita, como x-x(y,z)=0 la llamo G:
G= x-x(y,z)=0
Grad G = (1 -x'y -x'z)
x'y =-D2/D1
x'z)=-D3/D1
D1=-2
D2=-4
D3=4
deberia dar igual que como hiciste vos o proporcionales o cambiados los signos.....me da (1,2,-2)
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