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Pastore
Nivel 6
Registrado: 06 Ene 2009
Mensajes: 283
Carrera: Informática
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Quisiera por favor que alguien me ayude a calcular las singularidades de esta funcion:
f(z) = [Pi / sen(pi.z)] + [ e^(z-1)/(z-1)].
En realidad quisiera saber en z=1 que tipo de singularidad es!
Gracias de antemano!!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| El z-1 divide todo o está en el exponente?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No creo, sino sería ![[tex]e^{1}[/tex]](images/latex/5eb4ff34eb9d1c5a3fed2ab2f80843ead6d44596_0.png "[tex]e^{1}[/tex]") . Debe querer decir ![[tex]\frac{e^{z-1}}{z-1}[/tex]](images/latex/beff39798c90f07a0e090735669ea44c5cd2721d_0.png "[tex]\frac{e^{z-1}}{z-1}[/tex]") .
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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Igual z=1 también anula el denominador del primer sumando..
Estoy pensando si en z=1 para ![[tex]\pi \over{sen(\pi z)}[/tex]](images/latex/323a38cac1c9a1c86acd0835fd3358c9492665c8_0.png "[tex]\pi \over{sen(\pi z)}[/tex]") hay un polo simple o una singularidad no aislada
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Y, derivando el denominador te das cuenta que ![[tex]\left[\sin(\pi z)\right]^{\prime} = \pi \cdot \cos(\pi z)[/tex]](images/latex/8bca7eb2a1861fd7fb65c7baf1b8b30fc88c46fa_0.png "[tex]\left[\sin(\pi z)\right]^{\prime} = \pi \cdot \cos(\pi z)[/tex]") , no se anula en z = 1. Por lo tanto, es polo simple.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Son ambos polos simples, y la suma da otro polo simple. Una manera fácil de verificar esto es sabiendo que tenés un cociente de dos funciones. El numerador no se anula cuando el denominador se anula entonces el cero del denominador indica el orden del polo. Esto aplica a cada término de la suma.
Por otro lado, la "suma" de dos polos del mismo orden es un polo del mismo orden ("multiplicar infinito por una constante, en este caso sería 2, no altera el 'orden' de infinito").
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Para esas funciones que las series de Taylor/Laurent te las sabés de memoria, conviene usarlas y sale al toque ahí.
Pregunté Jackson666 porque sino es singularidad evitable y si, tiene como prolongación analítica ![[tex]e^1[/tex]](images/latex/dd27e80fde1a2f03ecebaf4e773c85ea0003dd49_0.png "[tex]e^1[/tex]") .
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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| Jackson666 escribió:
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Y, derivando el denominador te das cuenta que , no se anula en z = 1. Por lo tanto, es polo simple.
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No la tenía esa.. así de sencillo es?
Como te das cuenta si es una singularidad no aislada?
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Tengo otra duda
La función puede expresarse de la siguiente manera: ![[tex]f(z)=[/tex]](images/latex/a8f3c1e4b1f86738122ff5792ccd81336e64631f_0.png "[tex]f(z)=[/tex]") ![[tex]\pi (z-1) + sen(\pi z) e^{z-1}\over{sen(\pi z) (z-1)}[/tex]](images/latex/f6ffc53c83f5e4b4b6b296218a23519c11667da5_0.png "[tex]\pi (z-1) + sen(\pi z) e^{z-1}\over{sen(\pi z) (z-1)}[/tex]")
z=1 no sería un polo doble?
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Desarrollá el numerador y fijate si no se hace 0 también
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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sí  ... ya lo edité
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| sabian_reloaded escribió:
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Para esas funciones que las series de Taylor/Laurent te las sabés de memoria, conviene usarlas y sale al toque ahí.
Pregunté Jackson666 porque sino es singularidad evitable y si, tiene como prolongación analítica .
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Pero me parece PERFESTO sabian. Pregunte todo lo que haya que preguntar señor!. Por cierto, está bueno tu avatar navideño. Siempre tuve la duda, ¿quién es el tipo ese?.
| Franzl escribió:
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| Jackson666 escribió:
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Y, derivando el denominador te das cuenta que , no se anula en z = 1. Por lo tanto, es polo simple.
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No la tenía esa.. así de sencillo es?
Como te das cuenta si es una singularidad no aislada?
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Los polos de una función, son los puntos z tales que anulan el denominador. El orden de los polos, coincide con el orden de los ceros del denominador.
Para la singularidad no aislada, es sencillo también. Tenes 2 caminos. (1) el que mencionó sabian, mirar la serie. (2) es aplicar la misma idea que acá.
Imaginate que tenes ![[tex]f(z) = \frac{1}{e^{\frac{1}{z}}+1}[/tex]](images/latex/621846df442c4d0b015e02509144b62adecbc3c0_0.png "[tex]f(z) = \frac{1}{e^{\frac{1}{z}}+1}[/tex]") . Los ceros del denominador son tales que ![[tex]e^{\frac{1}{z}} = -1[/tex]](images/latex/45673a19cad1a253ed3ba52917243d44d2aa52c2_0.png "[tex]e^{\frac{1}{z}} = -1[/tex]") , es decir, ![[tex]\frac{1}{z_{n}} = (2n+1) \pi \Longrightarrow z_{n} = \frac{1}{(2n+1) \pi}[/tex]](images/latex/80d9c67d0393b283072db245636b37137179be9a_0.png "[tex]\frac{1}{z_{n}} = (2n+1) \pi \Longrightarrow z_{n} = \frac{1}{(2n+1) \pi}[/tex]") (recordá la fórmula de Euler). Observá que a medida que n crece (tanto positiva como negativamente), ![[tex]z_{n} \to 0[/tex]](images/latex/389d3299d0b4979d2cf1dafe5e0e3345c8f7fdb9_0.png "[tex]z_{n} \to 0[/tex]") . Vas a tener una acumulación de singularidades en ![[tex]z_{0} = 0[/tex]](images/latex/a7229e88dd1fe7be3f9567345e49b24a1170eb79_0.png "[tex]z_{0} = 0[/tex]") . Por lo tanto, ese punto será una singularidad no aislada de la función. ¿Se entiende?.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Si, esa, de hecho, es la definición de orden de un 0/polo.
El de mi avatar es Don Tulio Levi-Civita. Uno de los padres del cálculo tensorial, del cual se poco y nada.
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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Sisisi.. Igualmente te preguntaba por el "truquito" que habías hecho antes :p
Y déjeme decirle, que los polos de una función, son los z0 tales que z0 es una singularidad aislada y f(z) tiende a infinito con z tendiendo z0
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Última edición por Franzl el Lun Dic 12, 2011 11:04 pm, editado 1 vez
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No amigo, un polo no es una singularidad no aislada. Es un tipo de singularidad aislada. Si fuera no aislada, no podrías calcular residuos en los polos.
La definición que diste a lo último es la posta. F(z) tiende a infinito cuando z tiende a z0. Pero yo hablaba de casos de este tipo, por eso dije "denominador". No es que di la definición de polo hablando de un denominador...
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