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Mensaje |
aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Buenos dìas a todos
Estaba leyendo el libro Cálculo Vectorial de Marsden Tromba, y me encontré con el siguiente ejercicio (página 332 en el texto impreso que tengo, o página 469 en el que tengo en pdf)
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Y no se si es un error o estoy entendiendo mal algún concepto:
En la línea en donde empieza a desarrollar el problema, cambia de S a D como región de integración. ¿No debería ir acompañado de una multiplicación por el determinante Jacobiano?
Es decir:
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Saludos
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| No, la norma del producto vectorial hace las veces de jacobiano de la trasformación.
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Ni lei lo que pusiste, para mi que no entendiste ese parrafo o lo que sea, aparte tiene como 10 ediciones, si habia algo mal ya lo hubieran corregido.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Es como dice sabian, el Jacobiano lo ponés explícitamente cuando trabajás con cambios de coordenadas. En este ejercicio en ningún lado está utilizando coordenadas cilíndricas, está haciendo re-parametrizaciones usando lo que serían coordenadas cilíndricas.
La diferencia es sutíl, en un ejemplo: supongamos que queremos escribir las ecuaciones para ![[tex]\{ z = 0, x^2 + y^2 \leq 1\}[/tex]](images/latex/d1a8f354c1d0808e3ff8c834bf45093300f6a859_0.png "[tex]\{ z = 0, x^2 + y^2 \leq 1\}[/tex]") .
Una parametrización en cartesianas, haciendo uso de trigonometría sería:
![[tex]\phi(t,r) = (r\cos(t), r\sin(t), 0)[/tex]](images/latex/b76337da9965d4dfa7e473c897636f37ea43058a_0.png "[tex]\phi(t,r) = (r\cos(t), r\sin(t), 0)[/tex]") con ![[tex]t \in [0, 2\pi ], r\in [0, 1][/tex]](images/latex/d0cd374d6dce6516517057bb5a565a26a56ba616_0.png "[tex]t \in [0, 2\pi ], r\in [0, 1][/tex]")
Notar que las coordenadas de salida son de la base cartesiana:
![[tex]x(t,r) = r\cos(t)[/tex]](images/latex/6ed080105bd391ce478881eddcad0cae8f3db904_0.png "[tex]x(t,r) = r\cos(t)[/tex]")
![[tex]y(t,r) = r\sin(t)[/tex]](images/latex/57d3113802ab75383f381d65641d9e07b1eb15e4_0.png "[tex]y(t,r) = r\sin(t)[/tex]")
![[tex]z(t,r) = 0[/tex]](images/latex/2cee00dd5be43498ae3311753750e32c943f4828_0.png "[tex]z(t,r) = 0[/tex]")
En cambio, una parametrización en cilíndricas sería (asumiendo el siguiente orden [/tex]](images/latex/cb20aac52ed01c8a415862d39b9e3b653648f537_0.png "[tex](r,\theta,z)[/tex]") :
![[tex]\phi'(t,r) = (r, t, 0)[/tex]](images/latex/0585002da535d8adf9ab2be20e0cc75f2d06134a_0.png "[tex]\phi'(t,r) = (r, t, 0)[/tex]") con
Si querés calcular el área de este círculo, lo que querés es el área "cartesiana" o "euclídea". La cuestión es que no te va a dar lo mismo hacer:
![[tex]\int_0^1 \int_0^{2\pi} \|\phi_r \times \phi_t\| dr\,dt[/tex]](images/latex/9010a22a8e378677e94e60a70ff599d587e99e74_0.png "[tex]\int_0^1 \int_0^{2\pi} \|\phi_r \times \phi_t\| dr\,dt[/tex]")
Que hacer:
![[tex]\int_0^1 \int_0^{2\pi} \|\phi'_r \times \phi'_t\| dr\,dt[/tex]](images/latex/49870118376aed0205bd5d5e31e7c9aeb4404e7f_0.png "[tex]\int_0^1 \int_0^{2\pi} \|\phi'_r \times \phi'_t\| dr\,dt[/tex]")
Claramente el resultado que vos querés es el primero. Y la diferencia entre las dos integrales es justamente el Jacobiano que no incluí (pero debería sabiendo el área que tengo que calcular y el cambio de coordenadas que hice) en la integral sobre la imagen en cilíndricas.
Lo fundamental a saber es: si tenés una parametrización cuya imagen es en cartesianas [/tex]](images/latex/7ed3a16859e124e07d55752465af3d091302e69c_0.png "[tex](x,y,z)[/tex]") , no necesitás Jacobiano. El Jacobiano solo se usa para relacionar diferenciales de área en distintos sistemas de coordenadas, por ejemplo, para cilíndricas o esféricas [/tex]](images/latex/d662e6e8d2ca589cc51f3835c75da76bdb578806_0.png "[tex](r,\theta,\phi)[/tex]") .
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Una cosa es parametrizar y otra cosa es hacer un cambio de variables. El sistema de coordenadas cilíndricas, entre otros, se usa para ambas cosas. Es común la confusión.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Si te interesa otra mirada a parte de la de koreano que está muy buena, buscá que esto ya se trató varias veces y estaba más desarrollado el tema.
Pero como dice koreano, en este caso lo que estás buscando es algo que transforme tu variedad no plana en una que si lo sea, puesto que la integral Riemann que todos conocemos es para geometrías planas. Esto lo hacés con ese producto vectorial, cuyo significado lo podés ver geométricamente y lo que hace es funcionar como un factor de aplanamiento para la superficie en el sistema de coordenadas deseado.
Por otro lado tenés el problema de cuando estás describiendo una región en términos de cierta geometría y lo querés resolver en otra, utilizás el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana para compatibilizar lo que significa moverte un diferencial de x en un sistema X y un diferencial de x' en un sistema X'.
Alert: Todo lo que puse en este post es un alto chamuyo pseudofilosófico.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Yo lo veo como un simple tema de notación. ![[tex]\int_S 2r dS[/tex]](images/latex/f87d0a24d4533d5e8c13e8e0d5987b0afb3aa7c3_0.png "[tex]\int_S 2r dS[/tex]") significa simplemente "integral de superficie del campo escalar 2r sobre S", sin ninguna indicación de cómo efectivamente se calcula esa integral. Es decir, es una notación genérica que te dice qué estás integrando y sobre qué superficie, nada más. Y te dicen que ![[tex]S = \Phi(D)[/tex]](images/latex/00fa9237344289403ab65c0e4ba5687cc9f8d31b_0.png "[tex]S = \Phi(D)[/tex]") , es decir, que S es el conjunto de puntos de R³ que que resulta de aplicarle la transformación Φ a los puntos de D. Que es un subconjunto de R², a diferencia de S, que es un subconjunto de R³.
![[tex]\int_D 2r\sqrt{1 + r^2}drd\theta[/tex]](images/latex/d8d6d4b6b9b4cac9317d525ee6004b6f3885a723_0.png "[tex]\int_D 2r\sqrt{1 + r^2}drd\theta[/tex]") significa "integral doble del campo escalar ![[tex]2r\sqrt{1 + r^2}[/tex]](images/latex/dd78ff147fa3c903ed3dfb2b44c84fddcf51c191_0.png "[tex]2r\sqrt{1 + r^2}[/tex]") sobre el conjunto D". D es ![[tex]\{(r, \theta) \in R^2 / 0 \leq r \leq 1 \wedge 0 \leq \theta \leq 2\pi \}[/tex]](images/latex/2500464e54345c714102608489fbd789db47414c_0.png "[tex]\{(r, \theta) \in R^2 / 0 \leq r \leq 1 \wedge 0 \leq \theta \leq 2\pi \}[/tex]") . Y el libro lo que está diciendo es nada más que la integral de superficie del primer párrafo, cuando usás la parametrización Φ indicada, se calcula como la integral doble mencionada.
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