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saf89
Nivel 4
Registrado: 28 Feb 2011
Mensajes: 95
Ubicación: Escobar
Carrera: Mecánica
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Calculá el área de S.
Calculá la integral de línea de F a lo largo del borde de S.
Despejás a.
????
profit!11
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Lo que se me ocurre es:
![[tex]\vec{G}(a) = \vec{\nabla}\times\vec{F} = a(-1,1,-1)[/tex]](images/latex/b16dc882ad765726044c0c7df095d12964de21eb_0.png "[tex]\vec{G}(a) = \vec{\nabla}\times\vec{F} = a(-1,1,-1)[/tex]")
Calculamos el flujo a través de ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") (hacia "abajo" como pide el problema) mediante el teorema de la divergencia. Si llamamos ![[tex]S_2[/tex]](images/latex/41e4c302049ba9bdb9fb98c136cf9f4220015b01_0.png "[tex]S_2[/tex]") a ![[tex]\{ x^2 + y^2 \leq 5, z = 5 \}[/tex]](images/latex/541a332df67ae6fbd609a60ba943436fa0441be7_0.png "[tex]\{ x^2 + y^2 \leq 5, z = 5 \}[/tex]") , llamamos ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") al volumen encerrado por y aplicamos el teorema de Gauss y como G es una rotor, entonces su divergencia es nula. Por lo tanto, el flujo a través dos superficies cualquiera*, orientadas con el normal saliente a la superficie que encierra a V, es igual a 0. Es decir:
![[tex]\iint_S \vec{G}\cdot\vec{dS} = - \iint_{S_2} \vec{G}\cdot\vec{dS}[/tex]](images/latex/2571d8c97dc834824748dbb7197623d0420e952d_0.png "[tex]\iint_S \vec{G}\cdot\vec{dS} = - \iint_{S_2} \vec{G}\cdot\vec{dS}[/tex]")
Todo esto lo hicimos porque es mas fácil calcular el flujo de por ser una superficie plana, con normal constante. Por esto último y que el campo G es constante también, las cuentas se simplifican y resulta el flujo ser (ya no nos importa el signo): ![[tex]\Phi_S = 5 \pi a[/tex]](images/latex/e57b4ce8f979416f961930f9f408cab42a4c7a8a_0.png "[tex]\Phi_S = 5 \pi a[/tex]")
Otra manera de calcular el flujo es haciendo la integral de línea de F a lo largo de la frontera de S, pero tenés que parametrizar (bueh, es una circunferencia igual) y derivar etc. Después te queda una integral de trigonometricas medio feuchas, pero sale.
Esto lo tenés que igualar al área del paraboloide. Acá la cosa es mas fea. La manera mas fácil es abusar de la simetría de revolución y usar:
![[tex]A(S) = 2\pi \int_0^{\sqrt{5}} t\sqrt{1 + 4t^2}\,dt \approx 50[/tex]](images/latex/02bd85e5794593b20054278fcd7717eab4fe2922_0.png "[tex]A(S) = 2\pi \int_0^{\sqrt{5}} t\sqrt{1 + 4t^2}\,dt \approx 50[/tex]")
Donde usé la fórmula:
![[tex]A_z = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dz \over dt}\right)^2} \, dt[/tex]](images/latex/94b2277540a35c9c54e51dbcf86a0699a2bd8fba_0.png "[tex]A_z = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dz \over dt}\right)^2} \, dt[/tex]") (la versión para la simetría con respecto al eje z, existen análogas para los otros dos ejes)
Con ![[tex]x(t) = t[/tex]](images/latex/2643a124acba000a4ae4b799a54f4fca4d406033_0.png "[tex]x(t) = t[/tex]") , ![[tex]z(t) = t^2[/tex]](images/latex/77afba5b27c192ed93478c186f4c4af2851b258f_0.png "[tex]z(t) = t^2[/tex]") .
Haciendo las cuentas queda un número bastante feo (y probablemente tengas que usar tabla), pero lo redondié a 50. Igualando:
![[tex]5 \pi a \approx 50[/tex]](images/latex/8413cfa1550d0d51f68b7958aa54826534250f18_0.png "[tex]5 \pi a \approx 50[/tex]")
![[tex]a \approx 3[/tex]](images/latex/3a0c529adcb2c03a5d600eb4c398d38cbcb698fc_0.png "[tex]a \approx 3[/tex]")
EDIT: * aclaro: dos superficies cualquiera de la frontera de V y que compartan las misma frontera como superficies.
EDIT2: me había comido un cuadrado como marcó Huey
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Última edición por koreano el Dom Dic 11, 2011 2:08 pm, editado 2 veces
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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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Ojo que no le di importancia a los signos pero viendo como queda bastante feucho el ejercicio no me sorprendería si el flujo te queda negativo. Entonces tirás un mágico "el área nunca puede ser negativa entonces on existe ningún ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") solución del problema" y pum para casa.
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Educ
Nivel 5
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koreano a mi no me quedo ![[tex]5 \pi a[/tex]](images/latex/e8d594dc477c25e65b7d89e7cca216be9e6266af_0.png "[tex]5 \pi a[/tex]") el flujo de , el de me queda positivo y con el menos de la igualdad me quedo ![[tex]-25 \pi a[/tex]](images/latex/5d86b9c88d0a73d0364f55dede2d59c0703e8261_0.png "[tex]-25 \pi a[/tex]") .
Segui tu idea, capaz estoy planteando algo mal.
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![[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]](images/latex/e3a87c6a535556aa0fe8fe5950da6dd436e4e2ba_0.png "[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]")
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Educ
Nivel 5
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Carrera: Informática
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| Ah cierto que el teorema de Gauss pide que sea normal saliente, igual creo que eso lo único que me modifica son los signos..
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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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La ecuación del círculo de es . ![[tex]r = \sqrt{5}[/tex]](images/latex/a7990373150d0630b871f1484bf09bf3f9d6a9f6_0.png "[tex]r = \sqrt{5}[/tex]") , ![[tex]A = \pi r^2 = 5 \pi[/tex]](images/latex/79800b684dd74f08bbab8c3a6581044d4fd9a33e_0.png "[tex]A = \pi r^2 = 5 \pi[/tex]") .
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Educ
Nivel 5
Edad: 33
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| koreano escribió:
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La ecuación del círculo de es . , .
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Toda la razón me olvide que es jaja.
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saf89
Nivel 4
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| gracias ahora me quedo un poco mas claroo!! , voy a ver si me salee !
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saf89
Nivel 4
Registrado: 28 Feb 2011
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Carrera: Mecánica
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estoy calculando el area de distinta manera y no me da lo mismo, estoy intengrando la norma de la parametrizacion ,
estoy parametrizando a la superficie como ( r cos t , r sen t , r^2) con
0 <t<5^2 y 0<t< 2pi
la normal me queda como ( -2r^2 cost , -2r^2 sen t , r )
si hago la norma de la normal me queda (4r^4 + r^2)^1/2
que no es lo mismo que sacaron arriba, alguien me puede explicar que hago mal ...?¿
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facha
Nivel 3
Registrado: 21 Jul 2011
Mensajes: 59
Ubicación: Civil
Carrera: Civil
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| el radio no es raiz de 5??
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saf89
Nivel 4
Registrado: 28 Feb 2011
Mensajes: 95
Ubicación: Escobar
Carrera: Mecánica
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si lo puse mal el radio, la superficie es la que puse arriba pero
0 <r< 5^1/2 y 0 <t<2pi , alguien me puede decir que es lo que estoy haciendo mal..?, este ejercicio me tiene mal...
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Te estás haciendo quilombo amiguito. Para la bocha y hace más ordenadas y despacio las cosas.
Paso 1: Hallar el área de S.
Si definís ![[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z[/tex]](images/latex/c8796de4cc87ca49dd776e2fe32e154ecaf81d8e_0.png "[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z[/tex]") , tenes que ![[tex]\vec{\nabla}G(x,y,z) = (2x,2y,-1)[/tex]](images/latex/15690e4de5f2fc73c1896389a1f3697a8433d259_0.png "[tex]\vec{\nabla}G(x,y,z) = (2x,2y,-1)[/tex]") te da la orientación normal a la superficie en todo punto. La integral de superficie de campo escalar ![[tex]\iint_{S}{\left\|\vec{\nabla}G\right\|_{2} \, \text{dxdy}}[/tex]](images/latex/a0001434cfdefeca57427e8f32a0e51123c0975d_0.png "[tex]\iint_{S}{\left\|\vec{\nabla}G\right\|_{2} \, \text{dxdy}}[/tex]") te da el área de S.
Proyectando contra el plano ![[tex]xy[/tex]](images/latex/7d4ae868a12f79aa3a33a705a2b71ef5e8fae412_0.png "[tex]xy[/tex]") , tenes un círculo de radio ![[tex]\sqrt{5}[/tex]](images/latex/48964262b26b5bb9064cc073f57c8ab8f39113a4_0.png "[tex]\sqrt{5}[/tex]") . Escribamos la integral anterior de a poco.
![[tex]\iint_{S}{\left\|\vec{\nabla}G\right\|_{2} \, \text{dxdy}} = \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{\sqrt{4x^{2} + 4y^{2} + 1} \, \text{dxdy}} = \int_{0}^{2\pi}{dt \int_{0}^{\sqrt{5}}{r \cdot \sqrt{4r^{2} + 1}}} =[/tex]](images/latex/1cfb0ccb1433954f7ebf1c9fae41b91169991155_0.png "[tex]\iint_{S}{\left\|\vec{\nabla}G\right\|_{2} \, \text{dxdy}} = \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{\sqrt{4x^{2} + 4y^{2} + 1} \, \text{dxdy}} = \int_{0}^{2\pi}{dt \int_{0}^{\sqrt{5}}{r \cdot \sqrt{4r^{2} + 1}}} =[/tex]")
![[tex]= 4\pi \cdot \int_{0}^{\sqrt{5}}{r \cdot \sqrt{r^{2} + 1/4}} = \frac{4\pi}{3} \cdot (r^{2} + 1/4)^{3/2} \Bigg|_{0}^{\sqrt{5}} = \text{PEPE}[/tex]](images/latex/80569c661ad5231d651200a404a6c643078febed_0.png "[tex]= 4\pi \cdot \int_{0}^{\sqrt{5}}{r \cdot \sqrt{r^{2} + 1/4}} = \frac{4\pi}{3} \cdot (r^{2} + 1/4)^{3/2} \Bigg|_{0}^{\sqrt{5}} = \text{PEPE}[/tex]")
Llamo PEPE al resultado porque no tengo ganas de hacer la cuenta.
Paso 2: Calcular el flujo del rotor.
Podes el teorema de Stokes (chequear hipótesis). Calculas la circulación por el borde de S que es la curva ![[tex]\vec{\sigma}(t) = \left[\sqrt{5} \cos(t), \sqrt{5} \sin(t), 5 \right], \; t \in [0, 2\pi][/tex]](images/latex/1d94636c5d289a1cef729cd255130b15a23a838a_0.png "[tex]\vec{\sigma}(t) = \left[\sqrt{5} \cos(t), \sqrt{5} \sin(t), 5 \right], \; t \in [0, 2\pi][/tex]") . Fijate que la normal que te piden es saliente a la superficie. Orientando la curva de la manera que lo hice, te queda bien, ya que si envolves la curva en este sentido con la mano derecha, te queda la normal saliente.
Yo no lo voy a hacer así, porque de la otra manera es más fácil (no hay que usar los teoremas tipo vicio). El rotor es ![[tex]\vec{\nabla} \times \vec{F} = a \cdot (-1,1,-1)[/tex]](images/latex/068faa5b2260368c1a5fb5412b5eb27ccc73895d_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \vec{F} = a \cdot (-1,1,-1)[/tex]") . El flujo resulta
![[tex]\iint_{S}{\vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \text{d}\vec{\text{S}}} = a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-1,1,-1) \cdot \frac{\vec{\nabla}G}{|-1|} \; \text{dxdy}} = a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-1,1,-1) \cdot \frac{(2x,2y,-1)}{|-1|} \; \text{dxdy}} = [/tex]](images/latex/c3a4fba692c31541268beef9f9f37b1a3c1e05b7_0.png "[tex]\iint_{S}{\vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \text{d}\vec{\text{S}}} = a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-1,1,-1) \cdot \frac{\vec{\nabla}G}{|-1|} \; \text{dxdy}} = a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-1,1,-1) \cdot \frac{(2x,2y,-1)}{|-1|} \; \text{dxdy}} = [/tex]")
![[tex]= a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-2x + 2y + 1) \; \text{dxdy}} =[/tex]](images/latex/476985aa344a337a6683670676113fc0a9cf3421_0.png "[tex]= a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ (-2x + 2y + 1) \; \text{dxdy}} =[/tex]")
![[tex]= -2a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ x \; \text{dxdy}} + 2a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ y \; \text{dxdy}} + a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ \text{dxdy}}[/tex]](images/latex/0f5de0634597939f83d3d79b22e63574e5228796_0.png "[tex]= -2a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ x \; \text{dxdy}} + 2a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ y \; \text{dxdy}} + a \cdot \iint_{\mathcal{D}_{\text{xy}}}{ \text{dxdy}}[/tex]")
Las primeras 2 integrales, son los momentos estáticos del círculo que es proyección de la superficie sobre el , respecto de los ejes ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") y ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") , respectivamente. Como los ejes son baricéntricos, ambas integrales son nulas. La última integral es a veces el área de la región que es ![[tex]5 \pi[/tex]](images/latex/9ed4f27308a5dd114a389c83edea0b535d913ae0_0.png "[tex]5 \pi[/tex]") .
Paso 3: Terminar.
Con los dos resultados, tenes que ![[tex]a \cdot 5 \pi = \text{PEPE}[/tex]](images/latex/3748f63fa49d7d2bfde100a9350c1f5998bca375_0.png "[tex]a \cdot 5 \pi = \text{PEPE}[/tex]") . Despejas y se terminó.
Saludos.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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O, alternativamente, usando la parametrización de SAF89:
| saf89 escribió:
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estoy calculando el area de distinta manera y no me da lo mismo, estoy intengrando la norma de la parametrizacion ,
estoy parametrizando a la superficie como ( r cos t , r sen t , r^2) con
0 <t<5^2 y 0<t< 2pi
la normal me queda como ( -2r^2 cost , -2r^2 sen t , r )
si hago la norma de la normal me queda (4r^4 + r^2)^1/2
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| saf89 escribió:
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[...] lo puse mal el radio, la superficie es la que puse arriba pero
0 <r< 5^1/2 y 0 <t<2pi
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Dado que el rotor es constante, ni da usar el teorema de Stokes acá, se puede integrar el rotor a lo bruto:
![[tex]\int^{2\pi}_0 \left [ \int^{\sqrt{5}}_0 a(-1, 1, -1) \bullet (2r^2\cos t, 2r^2\sen t, -r) dr \right ] dt =[/tex]](images/latex/6e82dd977c14142b648f9b3c0f39294864748147_0.png "[tex]\int^{2\pi}_0 \left [ \int^{\sqrt{5}}_0 a(-1, 1, -1) \bullet (2r^2\cos t, 2r^2\sen t, -r) dr \right ] dt =[/tex]")
![[tex]= a \int^{\sqrt{5}}_0 (-2r^2)dr \int^{2\pi}_0 \cos tdt + a \int^{\sqrt{5}}_0 2r^2dr \int^{2\pi}_0 \sen tdt +a \int^{\sqrt{5}}_0 rdr \int^{2\pi}_0dt =[/tex]](images/latex/9a6fdf351558696abad9c2f223b88f69a2608d36_0.png "[tex]= a \int^{\sqrt{5}}_0 (-2r^2)dr \int^{2\pi}_0 \cos tdt + a \int^{\sqrt{5}}_0 2r^2dr \int^{2\pi}_0 \sen tdt +a \int^{\sqrt{5}}_0 rdr \int^{2\pi}_0dt =[/tex]")
![[tex]= 0 + 0 + a\pi r^2 |^{\sqrt{5}}_0 = 5\pi a[/tex]](images/latex/1b0858a9e4f1a09e3d65ca5d9a2a4a6519331910_0.png "[tex]= 0 + 0 + a\pi r^2 |^{\sqrt{5}}_0 = 5\pi a[/tex]")
El cambio de signo de la normal es porque el enunciado pide "orientada con el campo de normales de componente z negativa".
El área de S da un número feito (o sea, PEPE), pero calculable:
![[tex]\int^{2\pi}_0 \left [ \int^{\sqrt{5}}_0 \sqrt{4r^4 + r^2}dr \right ] dt =\int^{2\pi}_0 dt \int^{\sqrt{5}}_0 r\sqrt{4r^2 + 1}dr = 2\pi \int^5_0 \frac{1}{2}\sqrt{4u + 1}du =[/tex]](images/latex/a13d2839a745c407459aa8dd865e691727b77875_0.png "[tex]\int^{2\pi}_0 \left [ \int^{\sqrt{5}}_0 \sqrt{4r^4 + r^2}dr \right ] dt =\int^{2\pi}_0 dt \int^{\sqrt{5}}_0 r\sqrt{4r^2 + 1}dr = 2\pi \int^5_0 \frac{1}{2}\sqrt{4u + 1}du =[/tex]")
![[tex]= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \pi (4u + 1)^\frac{3}{2} |^5_0 =\frac{\pi}{6} (21\sqrt{21} - 1)[/tex]](images/latex/145d78d205b61097ce98bc23aefb69404ae94c72_0.png "[tex]= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \pi (4u + 1)^\frac{3}{2} |^5_0 =\frac{\pi}{6} (21\sqrt{21} - 1)[/tex]")
Ahí se usó la sustitución u = r². Entonces:
![[tex]a = \frac{21\sqrt{21} - 1}{30}[/tex]](images/latex/b30f95ca94b46d4f359b6c3218013331ae9e596c_0.png "[tex]a = \frac{21\sqrt{21} - 1}{30}[/tex]")
| koreano escribió:
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La manera mas fácil es abusar de la simetría de revolución y usar:
![[tex]A(S) = 2\pi \int_0^{\sqrt{5}} t\sqrt{1 + 2t}\,dt \approx 31[/tex]](images/latex/68ecb4ca6f1898cb743ac1026fd633ebad01816e_0.png "[tex]A(S) = 2\pi \int_0^{\sqrt{5}} t\sqrt{1 + 2t}\,dt \approx 31[/tex]")
Donde usé la fórmula:
(la versión para la simetría con respecto al eje z, existen análogas para los otros dos ejes)
Con , .
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Te comiste elevar al cuadrado ![[tex]\textstyle \frac{dz}{dt} = 2t[/tex]](images/latex/d7b9bf200a80c2774daaf2b2fbfe3cf2eac37024_0.png "[tex]\textstyle \frac{dz}{dt} = 2t[/tex]") .
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saf89
Nivel 4
Registrado: 28 Feb 2011
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Carrera: Mecánica
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| Listo, ahora lo hice y me dioo bien!!!! , gracias por los consejos !!
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