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Mensaje |
andrea_r
Nivel 5
Edad: 30
Registrado: 25 Feb 2011
Mensajes: 138
Carrera: Industrial
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tengo una DVS reducida:
![[tex]A^{+}={V_{r}} {\Sigma_{r}}^{-1}{U_{r}}^{T}[/tex]](images/latex/49f5d27744933ed868798705bd6bc7388354beb7_0.png "[tex]A^{+}={V_{r}} {\Sigma_{r}}^{-1}{U_{r}}^{T}[/tex]") .
mi duda es muy puntual: las matrices ![[tex] {V_{r}} [/tex]](images/latex/946d4aaac5bb3a6d2ce95fb229549c7b3ce8ad4b_0.png "[tex] {V_{r}} [/tex]") y ![[tex] {U_{r}} [/tex]](images/latex/7d15f5b90942a1fa51847cffb46c82cd0696d688_0.png "[tex] {U_{r}} [/tex]") ¿son o no son ortogonales?
pasa que en la carpeta tengo en una clase escrito que no lo son y la clase siguiente cuando nos hablaron de las propiedades de la pseudoinversa, Vargas demostró que ![[tex] {A^{+}}={U_{r}}{U_{r}}^{T} [/tex]](images/latex/a3f2dff91567e656de348a9272dbd9adf42279a1_0.png "[tex] {A^{+}}={U_{r}}{U_{r}}^{T} [/tex]") usando en un momento que ![[tex] {V_{r}}^{T}{V_{r}}= {I_{r}} [/tex]](images/latex/ca8baa133a984874cdc28d7d6a50833b9c9b79be_0.png "[tex] {V_{r}}^{T}{V_{r}}= {I_{r}} [/tex]") .
sé que las columnas de ambas matrices forman bases ortonormales de los subespacios fundamentales de la matriz A, pero no sé si en el caso de rango máximo esto implica que son matrices ortogonales 
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| La respuesta es sí. Lee esto, en la parte de propiedades. Está la demostración y todo.
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| La DVS reducida y la pseudoinversa de Moorse-Penrose son la misma matriz no?
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
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| La pseudoinversa que se usa para resolver cuadrados minimos (cuando el rango de A es maximo) es un caso especial de A+
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| koreano escribió:
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Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
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![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
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.qwerty.
Nivel 4
Edad: 31
Registrado: 20 Dic 2011
Mensajes: 67
Carrera: Civil
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| Pero Ur*UrT da la matriz de proyección sobre el Col(A)... si fueran ortogonales, Ur*UrT no debería dar I ? (una matriz no es ortogonal sii AT=A^(-1) ?)
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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Vargas demostró que ?????
Yo la cursé con Vargas y no la tengo esa demostración. Podrías copiarla por favor?
EDIT:
Acabo de encontrar a lo que te referís, y coincido con .qwerty.
![[tex]A A^{+}=U_k D_k {V_k}^{T} V_k {D_k}^{-1}{U_k}^{T}=U_k D_k {D_k}^{-1} {U_k}^{T}=U_k {U_k}^{T}[/tex]](images/latex/78f2c9428c18a4a88b74339a4c95fa8342bfd4fa_0.png "[tex]A A^{+}=U_k D_k {V_k}^{T} V_k {D_k}^{-1}{U_k}^{T}=U_k D_k {D_k}^{-1} {U_k}^{T}=U_k {U_k}^{T}[/tex]")
![[tex]A A^{+}=U_k {U_k}^{T}[/tex]](images/latex/4032022313067bc3b77118a4a51b4cb2b8b1305f_0.png "[tex]A A^{+}=U_k {U_k}^{T}[/tex]") es la matriz de proyección sobre el subespacio columna de A.
Análogamente, ![[tex]A^{+} A=V_k {V_k}^{T}[/tex]](images/latex/42dfb5969b4259755821b0fa76bbe46efda15ac3_0.png "[tex]A^{+} A=V_k {V_k}^{T}[/tex]") es la matriz de proyección sobre el subespacio fila de A.
La respuesta es sí, ![[tex]U[/tex]](images/latex/9817e7675b6edb3a5d569b307744275351d202b2_0.png "[tex]U[/tex]") y ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") son matrices ortogonales. Pero ![[tex]U_k[/tex]](images/latex/08859400b47c5e69b360e070c0c32d2dc7a00e92_0.png "[tex]U_k[/tex]") y ![[tex]V_k[/tex]](images/latex/28d044c9621c2ad25685f745e409fa19017c185d_0.png "[tex]V_k[/tex]") no. Si te fijas, no son siquiera matrices cuadradas y no tiene sentido hablar de inversa de una matriz no cuadrada.
¿Porqué ![[tex]{U_k}^{T} U_k = I_k[/tex]](images/latex/a50dc43f2107ab90077574f7a93e0a96946ff3da_0.png "[tex]{U_k}^{T} U_k = I_k[/tex]") ?
Supongamos que tenemos base ortonormal B de un supespacio vectorial (en este caso, el subespacio columna de A):
![[tex]B=(u_1 , ... , u_k)[/tex]](images/latex/a1c85078e01e5d034bdd50c3413ceedc61817dd3_0.png "[tex]B=(u_1 , ... , u_k)[/tex]")
![[tex]U_k = \begin{pmatrix} u_1 |& \cdots& | u_k \end{pmatrix}[/tex]](images/latex/16c9961346cc3a0dcec9b8cbe1a2e75d7c742495_0.png "[tex]U_k = \begin{pmatrix} u_1 |& \cdots& | u_k \end{pmatrix}[/tex]") (Las barritas representan vector columna)
![[tex]{U_k}^{T} = \begin{pmatrix} {u_1}^{T} \\ \cdots \\ {u_k}^{T} \end{pmatrix}[/tex]](images/latex/4ccaf39aa903a31dafdd5d41705d6c402c68303c_0.png "[tex]{U_k}^{T} = \begin{pmatrix} {u_1}^{T} \\ \cdots \\ {u_k}^{T} \end{pmatrix}[/tex]")
![[tex]{U_k}^{T} U_k = \begin{pmatrix} {u_1}^{T} \\ \cdots \\ {u_k}^{T} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 |& \cdots& | u_k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} {u_1}^2& u_1 u_2& \cdots& u_1 u_k \\ u_1 u_2& {u_2}^2& \cdots& u_2 u_k \\ \cdots& \cdots& \ddots& \cdots& \\ u_1 u_k& u_2 u_k& \cdots& {u_k}^2 \end{pmatrix}[/tex]](images/latex/ab663af76fff8283e96d33e53f88e2a990e1dd30_0.png "[tex]{U_k}^{T} U_k = \begin{pmatrix} {u_1}^{T} \\ \cdots \\ {u_k}^{T} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 |& \cdots& | u_k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} {u_1}^2& u_1 u_2& \cdots& u_1 u_k \\ u_1 u_2& {u_2}^2& \cdots& u_2 u_k \\ \cdots& \cdots& \ddots& \cdots& \\ u_1 u_k& u_2 u_k& \cdots& {u_k}^2 \end{pmatrix}[/tex]")
Pero como B es una base ortonormal:
![[tex]u_i u_j=\begin{cases} \begin{matrix} 1 & si\; i=j \\ 0 & si\; i \neq j \end{matrix} \end{cases}[/tex]](images/latex/26771599be7c30e55985eadaf432f567a2adfdfc_0.png "[tex]u_i u_j=\begin{cases} \begin{matrix} 1 & si\; i=j \\ 0 & si\; i \neq j \end{matrix} \end{cases}[/tex]")
Por lo tanto:
Tarea para el hogar: Calcular ![[tex]U_k {U_k}^{T}[/tex]](images/latex/8632cdb5648e1e7d8c903804d423d745ed5bbdae_0.png "[tex]U_k {U_k}^{T}[/tex]") (?)
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gira
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 13 Ago 2007
Mensajes: 2166
Carrera: Industrial
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