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Synthemesc
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Hola agradeceria cualquier ayuda con estos puntos
Suponga que los pasajeros de una línea de buses llegan según un proceso Poisson Nt con una tasa de λ = 1/4 por minuto. Un bus salió en el tiempo t = 0 sin dejar pasajeros esperando. Sea T el tiempo de llegada del próximo bus. Entonces el número de pasajeros que estarán esperando es NT . Suponga que T es aleatorio con densidad uniforme en el intervalo (9, 11), T ^ U(9,11), y que además Nt y T son independientes.
Encuentre E(NT |T)
Encuentre E(NT), Var(NT)
Una máquina está sometida a choques que ocurren de acuerdo a proceso Poisson Nt con tasa λ. La máquina puede sufrir una falla debido a uno de estos choques, y la probabilidad de que un choque cause la falla es p, independientemente del número de choques ante¬riores (los choques forman una sucesión de ensayos binomiales). Denote por K el número total de cho¬ques que sufre la máquina antes de fallar, y sea T el tiempo en el que ocurre la falla.
Encuentre E(T), Var(T).
Encuentre E(T|K).
Suponga un proceso Poisson N(t) con tasa λ. Iden¬tifique cuales de los siguientes procesos es Poisson, justificando la elección e identificando la correspon¬diente tasa. Nota: una manera de verificar cada caso es verificar si cumple las tres propiedades básicas de proceso Poisson.
N1(t) = N(t + 1) - N(t).
N2(t) = N(t) + N*(t), donde N*(t) es otro pro-ceso Poisson de tasa λ i, independiente de N(t).
N3(t) = 2N(t).
N4(t) = N(2t).
Usted trabaja en el departamento financiero de una empresa que fabrica derivados del petróleo. Su fun¬ción principal en la empresa es la de tratar de tener los mejores estimados posibles para el precio del petróleo día a día. Como la empresa compra petróleo, le resul¬ta conveniente que los precios de este producto sean bajos, pero debido a las dinámicas del mercado, se sabe que el precio del petróleo muchas veces presen¬ta subidas de precio abruptas e inesperadas (también llamados saltos positivos del precio), lo que perjudi¬ca seriamente a las finanzas de la empresa. Usted ha logrado estimar que el número de saltos positivos del precio se comportan igual todos los días, y que además se pueden modelar de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro A = 6 saltos al día. Teniendo en cuenta que los días duran 24 horas, responda las siguientes preguntas:
Calcule el valor esperado y la varianza del número de saltos que ocurren en una hora cualquiera del día.
Suponga que en este momento son las 7 pm. Si en las últimas 4 horas se han registrado 2 saltos, ¿cuál es la probabilidad que uno de ellos haya ocurrido en los últimos 5 minutos?
Suponga que sabe que de 8 a 10 am sucedie¬ron 2 saltos. ¿Cuál es la probabilidad que suce¬dan 3 saltos de las 9 am a las 11 am?
Suponga que sabe que de 12m a 1 pm sucedio un salto y que de 2 a 4 pm sucedieron dos, teniendo en cuenta lo anterior calcule la probabilidad que desde las 11 am hasta las 6 pm ocurran 4 saltos.
Hoy es un día sorpresivamente malo para la em-presa, pues han ocurrido 6 saltos y hasta ahora son las 2 pm. Usted sabe que la empresa que-daría en un riesgo eminente de quiebra si en lo que resta del día suceden al menos 3 saltos más. ¿cuál es la probabilidad de que esto suceda?
Se considera que un día es bueno para la empresa si suceden menos de 3 saltos en el precio en todo el día, y se considera malo si suceden más de 9 saltos. La empresa le ha propuesto el siguiente sistema de bonificaciones con el fin de motivar su trabajo: si un día es bueno usted recibe un bono de 1000 dólares, mientras si un día es malo su salario es penalizado con 800 dólares. Usando como criterio el valor esperado de plata que us-ted recibe con esa bonificación al día, determine si el sistema de bonificaciones es realmente un sistema de bonificación, o si por el contrario, es un sistema para sacar ventaja de usted.
Si las personas que entran al edificio de Ingeniería siguen un PP(9/hora) y usted sabe que entre las 10:00am y las 12:00am entraron exactamente 2 per¬sonas, ¿cuál es la probabilidad que entre las 8:00am y las 11:00am hayan entrado 1 personas?
Suponga que usted está encargado de un taller de me- tal mecánica que cuenta con 2 máquinas fresadoras, A y B, y un mecánico de mantenimiento. El tiempo de reparación cuando la fresadora A se daña se distribuye exp(^A) y el tiempo de reparación cuando la fresadora B se daña se distribuye exp(^B). Las fallas las atiende el mecánico en el orden en que ocurren y el tiempo de funcionamiento hasta la falla de cada fresadora se distribuye exp(A^) y exp(AB), respectivamente. Mo¬dele el sistema como una cadena de Markov de tiempo continuo suponiendo que el funcionamiento y falla de las 2 fresadoras son independientes.
La sala de profesores tiene una capacidad para alber¬gar cómodamente hasta máximo 5 personas. A la sala llegan grupos de estudiantes aleatoriamente, pero se ha estimado que el tiempo entre arribos de los grupos se distribuye como una variable aleatoria exponencial con una media de 1/2 minutos. El número de perso¬nas que llegan en cada grupo es una variable aleatoria N, donde
P{N=1}=α
P{N=2}=β P{N=3}=γ
α + β + γ =1
Todas las personas que llegan en el grupo entran a la sala y el tiempo de permanencia de cada persona en esta se distribuye exponencialmente. La media del tiempo de permanencia de cada persona en la sala es de 1/yU, minutos y cada persona actua independien¬temente una de otra, dejando la sala una a la vez y esperando afuera por las personas que le acompañan para para formar nuevamente el grupo y poder partir. Si un grupo llega a la sala y la encuentra tan llena que no pueden entrar la totalidad de las personas que lle¬gan en el grupo, estos se van y ninguna de las personas que conforman el grupo entra a la sala de profesores. Sea X (t) = Número de personas en la sala al cabo de un tiempo t.
Modele la ocupación de la sala en cualquier instante como una cadena de Markov de tiempo continuo y determine la matriz de tasas de transición R.
10. Suponga que usted tiene una CMTC, para la cual conoce que la probabilidad de transición del estado A al B puede expresarse como
Pa,b (t) = 1 - 1/〖(1+t)〗^2
Calcule el valor esperado del tiempo de permanen¬cia en el estado B en el intervalo (0,T], si en t=0 se encuentra en el estado A.
En el aeropuerto El Dorado se instaló un nuevo sis¬tema de check-in automático. El sistema permite, en el mismo mostrador, que el usuario confirme su vuelo y luego registre su equipaje sin importar el peso del mismo. El tiempo que tarda el sistema en confirmar el vuelo es en promedio -, mientras que el tiempo pro¬medio para registrar el equipaje es —■ .El sistema sólo puede ser utilizado por un usuario y este debe realizar los dos procesos para completar su check-in. Asuma que los dos tiempos se distribuyen exponencialmente y que son independientes entre sá. Los pasajeros lle¬gan al sistema siguiendo un proceso de Poisson con tasa A, pero si encuentran el sistema ocupado se irán a registrar en las ventanillas tradicionales. Según las condiciones descritas anteriormente, en el largo pla¬zo, ¿cuál es la proporción del tiempo que el sistema estará ocupado
Un casino está considerando la opción de comprar una batería de 2 nuevas máquinas tragamonedas que serán las únicas de este tipo en el establecimiento. El vendedor le asegura que mientras cada máquina está en uso, genera ingresos netos a una tasa de 1000 pesos por hora. Sin embargo cuando no se encuentra en uso, cada máquina genera costos de 200 pesos por hora. Usted sabe que a su casino, en promedio, entran 200 personas por hora, de las cuales, en promedio, el 5 % se dirigirá a estas máquinas siempre y cuando vean al menos una desocupada, si no, irán a otra par¬te del casino y no volverán. Igualmente, la gente de otras partes del casino no pasará por las maquinas. También ha observado que en promedio, la gente per¬manece sentada en estas máquinas un tiempo expo¬nencial con media de 12 minutos. Calcule la utilidad neta de esta batería de máquinas en el largo plazo
La llegada de clientes a un puesto de perros calientes sigue un proceso de Poisson no homogéneo de tal mo¬do que si se fija t=0 en las 10:00 am y se considera que el toldo trabaja hasta las 3:00 pm, entonces la tasa de arribos de los clientes se comporta de la siguiente manera:
lanbda(t)= t 0<=t<2
2 2<=t<4
10-t 4<=t<5
0 en otro caso
Si se sabe que en todo el día llegaron 10 personas al puesto, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 hayan llegado hasta las 12:00m?
6.4. Consider a single-station queueing system with arrival rate _.What is the effect on the expected number in the system if the arrival rate is doubled but the service rate is increased so that the expected time spent in the system is left unchanged?
6.5. Consider a single-station queueing system with arrival rate _ and mean service time _. Discuss the effect on L;W;Lq, and Wq if the arrival rate is doubled and the service times are simultaneously cut in half.
6.7. Consider the barber shop of Computational Problem 6.6. Suppose the barber charges $12 for service. Compute the long-run rate of revenue for the barber. (Hint: What fraction of the arriving customers enter?)
6.13. Consider the call center of Example 6.7. How many additional holding lines should be installed if the airline desires to lose no more than 5% of the incoming calls? What is the effect of this decision on the queueing time of customers?
6.22. Consider a queueing system where customers arrive according to a Poisson process at a rate of 25 per hour and demand iid exponential service times. We have a choice of using either two servers, each of whom can process a customer in 4 minutes on average, or a single server who can process a customer in 2 minutes on average. What is the optimal decision if the aim is to minimize the expected wait in the system? In the queue?
6.27. A computer laboratory has 20 personal computers. Students arrive at this laboratory according to a Poisson process at a rate of 36 per hour. Each student needs on average half an hour at a PC.When all the PCs are occupied, students wait for the next available one. Compute the expected time a student has to wait before getting access to a PC. Assume that the times spent at a PC by students are iid exponential random variables.
6.32. Customers arrive at a single-server service station according to a Poisson process at a rate of three per hour. The service time of each customer consists of two stages. Each stage lasts for an exponential amount of time with mean 5 minutes,the stages being independent of each other and other customers. Compute the mean number of customers in the system in steady state.
Muchas gracias de antemano, de verdad agradezco cualquier ayuda.
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