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Synthemesc
Nivel 1
Registrado: 28 Nov 2011
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Hola chicos, tengo unos cuantos problemas con un taller de modelos de colas y procesos de Poisson, agradeceria cualquier ayuda.
Suponga que los pasajeros de una línea de buses llegan según un proceso Poisson Nt con una tasa de λ = 1/4 por minuto. Un bus salió en el tiempo t = 0 sin dejar pasajeros esperando. Sea T el tiempo de llegada del próximo bus. Entonces el número de pasajeros que estarán esperando es NT . Suponga que T es aleatorio con densidad uniforme en el intervalo (9, 11), T ^ U(9,11), y que además Nt y T son independientes.
a) Encuentre E(NT |T)
b) Encuentre E(NT), Var(NT)
Solución:
b) E(NT)= Var(NT) = λt , entonces el valor esperado de pasajeros estaría dado por 1/4*min(9,11)=9/4 ( no estoy seguro)
Una máquina está sometida a choques que ocurren de acuerdo a proceso Poisson Nt con tasa λ. La máquina puede sufrir una falla debido a uno de estos choques, y la probabilidad de que un choque cause la falla es p, independientemente del número de choques ante¬riores (los choques forman una sucesión de ensayos binomiales). Denote por K el número total de cho-ques que sufre la máquina antes de fallar, y sea T el tiempo en el que ocurre la falla.
Encuentre E(T), Var(T).
Encuentre E(T|K).
Solución:
E(NT)= Var(NT) = λt
Suponga un proceso Poisson N(t) con tasa λ. Iden¬tifique cuales de los siguientes procesos es Poisson, justificando la elección e identificando la correspon¬diente tasa. Nota: una manera de verificar cada caso es verificar si cumple las tres propiedades básicas de proceso Poisson.
N1(t) = N(t + 1) - N(t).
N2(t) = N(t) + N*(t), donde N*(t) es otro pro¬ceso Poisson de tasa λ i, independiente de N(t).
N3(t) = 2N(t).
N4(t) = N(2t).
Solución:
N1(t) = N(t + 1) - N(t).
*N(0)=N(1)-N(0)=N(1)≠0
N2(t) = N(t) + N*(t), donde N*(t) es otro pro¬ceso Poisson de tasa λ i, independiente de N(t).
*N(0)=N(0)+N*(0)=0
*P{(N(t+s)-N(t))=n}=
N3(t) = 2N(t).
N4(t) = N(2t).
Usted trabaja en el departamento financiero de una empresa que fabrica derivados del petróleo. Su fun¬ción principal en la empresa es la de tratar de tener los mejores estimados posibles para el precio del petróleo día a día. Como la empresa compra petróleo, le resul¬ta conveniente que los precios de este producto sean bajos, pero debido a las dinámicas del mercado, se sabe que el precio del petróleo muchas veces presen¬ta subidas de precio abruptas e inesperadas (también llamados saltos positivos del precio), lo que perjudi¬ca seriamente a las finanzas de la empresa. Usted ha logrado estimar que el número de saltos positivos del precio se comportan igual todos los días, y que además se pueden modelar de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro A = 6 saltos al día. Teniendo en cuenta que los días duran 24 horas, responda las siguientes preguntas:
a) Calcule el valor esperado y la varianza del número de saltos que ocurren en una hora cualquiera del día.
b) Suponga que en este momento son las 7 pm. Si en las últimas 4 horas se han registrado 2 saltos, ¿cuál es la probabilidad que uno de ellos haya ocurrido en los últimos 5 minutos?
c) Suponga que sabe que de 8 a 10 am sucedie¬ron 2 saltos. ¿Cuál es la probabilidad que suce-dan 3 saltos de las 9 am a las 11 am?
d) Suponga que sabe que de 12m a 1 pm sucedio un salto y que de 2 a 4 pm sucedieron dos, teniendo en cuenta lo anterior calcule la probabilidad que desde las 11 am hasta las 6 pm ocurran 4 saltos.
e) Hoy es un día sorpresivamente malo para la em¬presa, pues han ocurrido 6 saltos y hasta ahora son las 2 pm. Usted sabe que la empresa que¬daría en un riesgo eminente de quiebra si en lo que resta del día suceden al menos 3 saltos más. ¿cuál es la probabilidad de que esto suceda?
Se considera que un día es bueno para la empresa si suceden menos de 3 saltos en el precio en todo el día, y se considera malo si suceden más de 9 saltos. La empresa le ha propuesto el siguiente sistema de bonificaciones con el fin de motivar su trabajo: si un día es bueno usted recibe un bono de 1000 dólares, mientras si un día es malo su salario es penalizado con 800 dólares. Usando como criterio el valor esperado de plata que us¬ted recibe con esa bonificación al día, determine si el sistema de bonificaciones es realmente un sistema de bonificación, o si por el contrario, es un sistema para sacar ventaja de usted.
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