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JinnKaY
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 1445
Carrera: Electrónica y Mecánica
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Tengo muchas dudas con estas series ...
Por ejemplo en la guia dice
![[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)}[/tex]](images/latex/b35e0a23b0a3ff040aafe1c6fb6388f0e06fb294_0.png "[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)}[/tex]")
Desarrollada en a) ![[tex]z_0=0[/tex]](images/latex/9174f92a229f58b954412ed17a5c6ff046ca6ec5_0.png "[tex]z_0=0[/tex]") b) ![[tex]z_0=1[/tex]](images/latex/8cedb2c151939c009f9308c06eb7cd3658fa0b93_0.png "[tex]z_0=1[/tex]") c) ![[tex]z_0=i[/tex]](images/latex/bdcf24951737ffe55ada3f1ab9bc16cf8ff4f505_0.png "[tex]z_0=i[/tex]")
a)
![[tex]|z|<1[/tex]](images/latex/2692ce0cedb9340744f209c4687c170eb74f6de2_0.png "[tex]|z|<1[/tex]")
![[tex]z(\frac{1}{1-z}-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}})[/tex]](images/latex/f24b11ced750f5ce4205c3431618b81bcc102eee_0.png "[tex]z(\frac{1}{1-z}-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}})[/tex]")
![[tex]z(\sum_{n=0}^\infty{z^{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty{(\frac{z}{2})^{n}})[/tex]](images/latex/a4aeb775284b3cc875e9c4189ffb8cad8af3ac84_0.png "[tex]z(\sum_{n=0}^\infty{z^{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty{(\frac{z}{2})^{n}})[/tex]")
![[tex]z(\sum_{n=0}^\infty{z^{n}}-\sum_{n=0}^\infty{\frac{z^{n}}{2^{n+1}}})[/tex]](images/latex/f78e565dc9a41d374a3eb5b78533f3539a06e40e_0.png "[tex]z(\sum_{n=0}^\infty{z^{n}}-\sum_{n=0}^\infty{\frac{z^{n}}{2^{n+1}}})[/tex]")
![[tex]\sum_{n=0}^\infty{z^{n+1}}-{\frac{z^{n+1}}{2^{n+1}}}[/tex]](images/latex/4a22c27dea485c26c476d50e35378274172a5674_0.png "[tex]\sum_{n=0}^\infty{z^{n+1}}-{\frac{z^{n+1}}{2^{n+1}}}[/tex]")
![[tex]\sum_{n=0}^\infty{z^{n+1}}(1-{\frac{1}{2^{n+1}}})[/tex]](images/latex/7a8eefd38713b31587b9fc7c94f96e00d566c06e_0.png "[tex]\sum_{n=0}^\infty{z^{n+1}}(1-{\frac{1}{2^{n+1}}})[/tex]")
EDIT : Si intengo conseguir ![[tex]a_n[/tex]](images/latex/84c73ddd07414ee9575e3dded97158a88d3881d0_0.png "[tex]a_n[/tex]") se me complica 
![[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz[/tex]](images/latex/aeb9be56255003301109cb635af3eb1cd2b2885e_0.png "[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz[/tex]")
![[tex]z_0[/tex]](images/latex/d36068ae66f99f35c86c062d9483c8e4de226b51_0.png "[tex]z_0[/tex]") es el punto donde tengo que desarrollar no?
![[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{\frac{z}{(z-1)(z-2)})}{(z-1)^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{z}{(z-1)^{n+2}(z-2)}dz[/tex]](images/latex/ab4aa7decc6944c3e367a108bcb90e060edc9b6e_0.png "[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{\frac{z}{(z-1)(z-2)})}{(z-1)^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{z}{(z-1)^{n+2}(z-2)}dz[/tex]")
Como estoy integrando en la region entonces todas las singularidades estan fuera de esa region, entonces la integral da 0 ..... ![[tex]a_n=0[/tex]](images/latex/671d6af089b9ebf3c78b2f194110590512aa2714_0.png "[tex]a_n=0[/tex]") ??? ESTA es mi gran duda.
Pero ahora para b)
Llamo ![[tex]w=z-1[/tex]](images/latex/1d366c87a39c91093f9e37ec6566ed497553765e_0.png "[tex]w=z-1[/tex]")
![[tex]\frac{w+1}{(w)(w-1)}[/tex]](images/latex/0da0ba85e01c1f66842bfb3fd2e83c50fc3b5206_0.png "[tex]\frac{w+1}{(w)(w-1)}[/tex]")
![[tex]\frac{w}{(w)(w-1)}+\frac{1}{(w)(w-1)}[/tex]](images/latex/56a0bccf2751305bc5574f969034c423784c2fc1_0.png "[tex]\frac{w}{(w)(w-1)}+\frac{1}{(w)(w-1)}[/tex]")
![[tex]\frac{1}{(w-1)}+\frac{-1}{w}+\frac{1}{w-1}[/tex]](images/latex/e927c421403c51b28d386c451d59c4897c13adfd_0.png "[tex]\frac{1}{(w-1)}+\frac{-1}{w}+\frac{1}{w-1}[/tex]")
![[tex]w=1-R[/tex]](images/latex/5bd714e482780e21896f35c93262421da0ea7f06_0.png "[tex]w=1-R[/tex]")
![[tex]-\frac{1}{(1-w)}+\frac{-1}{1-R}-\frac{1}{1-w}[/tex]](images/latex/405bcd95d8ef774c162551265572f92f94f05895_0.png "[tex]-\frac{1}{(1-w)}+\frac{-1}{1-R}-\frac{1}{1-w}[/tex]")
![[tex]-2\frac{1}{(1-w)}+\frac{-1}{1-R}[/tex]](images/latex/eb87e5a001471c07f962dafbccb863afb994d5b1_0.png "[tex]-2\frac{1}{(1-w)}+\frac{-1}{1-R}[/tex]")
![[tex]-2\sum_{n=0}^\infty{w^{n}}+\sum_{n=0}^\infty{R^{n}}[/tex]](images/latex/51e5055a995439a7c49b672a91cd314bbb994897_0.png "[tex]-2\sum_{n=0}^\infty{w^{n}}+\sum_{n=0}^\infty{R^{n}}[/tex]")
![[tex]-2\sum_{n=0}^\infty{(z-1)^{n}}+\sum_{n=0}^\infty{(2-z)^{n}}[/tex]](images/latex/fe19e00a00355202565cc9925003191697b688be_0.png "[tex]-2\sum_{n=0}^\infty{(z-1)^{n}}+\sum_{n=0}^\infty{(2-z)^{n}}[/tex]")
Si tomo los primeros 10 terminos de cada una (la calculadora explota con mas  ) me da -9, pero en la función original es una singularidad ... WTF?
c) Analogamente a b) lo estoy terminando pero me da mucha confusion...
Y a la hora de buscar los integrando ... consigo cualquier cosa
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 http://tinyurl.com/8y3ghjg
![[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]](images/latex/effa113548b50017fcbda7adaa849d5f5c6e5965_0.png "[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]")
![[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]](images/latex/f4593c6130a660e6bb7c8bc60c41f8a6a69c572e_0.png "[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]")
Última edición por JinnKaY el Mie Oct 12, 2011 11:29 pm, editado 1 vez
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Sabiendo que
![[tex]\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n[/tex]](images/latex/ad645ac5c108daa3e7eac22fbc01e979c9b312e3_0.png "[tex]\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n[/tex]")
para z : |z| < 1
![[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{z-1}{(z-1)(z-2)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)} \\= \frac{1}{(z-2)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)}= \frac{-1}{1-(z-1)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)}[/tex]](images/latex/88db5f76143e0d824be331127bd75e255706b863_0.png "[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{z-1}{(z-1)(z-2)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)} \\= \frac{1}{(z-2)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)}= \frac{-1}{1-(z-1)} + \frac{1}{(z-1)(z-2)}[/tex]")
etc. intentá que te queden muchos (z-1), desarrollá el coso de la derecha de la ultima igualdad en fracciones simples y hace lo mismo que hice con el coso de la izquierda, el 1/(z-2), no tengo tiempo ahora, a la tarde-noche si no te salió lo termino.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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proba separando todo junto por fracciones simples de entrada, creo que sale mas facil.
![[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{2}{z-2} - \frac{1}{z-1}[/tex]](images/latex/25e006931f7c6a7e011bbf89daa28dd2677f91eb_0.png "[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{2}{z-2} - \frac{1}{z-1}[/tex]")
en potencias de z-1 por ej te quedaría
![[tex]-2 \frac{1}{1-(z-1)} - \frac{1}{z-1}[/tex]](images/latex/417d63c9831925e59cc5da0c5429052b6fc578b4_0.png "[tex]-2 \frac{1}{1-(z-1)} - \frac{1}{z-1}[/tex]")
el segundo termino ya estaba en potencias de z-1, es la parte principal, el otro termino lo desarrollas como la serie geometrica y completa la parte de laurent.
pd: si no sabés el truquito mecánico para separar en fracciones simples algo de la forma ![[tex] \frac{f(x)}{(z-z1) (z-z2)...} [/tex]](images/latex/8b5882d919be7bbb83d8cfdbd257d168a373e16e_0.png "[tex] \frac{f(x)}{(z-z1) (z-z2)...} [/tex]") , chiflá, es bastante simple
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sfunahuel
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 30 Ago 2008
Mensajes: 652
Ubicación: Temperley
Carrera: Química
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Tengo una duda con el tema de fracciones simples...
La profesora me dijo que para desarrollar por fracciones simples, solo podés cuando tenés 1/(Z-Z1).(Z-Z2), es decir, que arriba haya un uno. Hacés la fracción simple y te queda A(Z-Z2)+B(Z-Z1)=1, para todo Z en el plano complejo. Lo desarrollo y después multiplico por (en el ejercicio que pusieron acá arriba) Z. Es decir que no puedo hacer A(Z-Z2)+B(Z-Z1)=f(Z)... Pero un par de veces lo hice, y sí se me cumple para todo z, y otras se me cumple solo para las raíces. Entonces... ¿cuándo se puede igualar a f(z) y cuando no?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Fracciones simples es un mero truco algebraico. Hacelo como te salga, si luego vos al juntar la suma en un único denominador volvés a lo que partiste, es porque esta bien hecho. Corta la bocha.
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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@te pongo el método práctico que nos enseño Maulhardt
![[tex]g(z) = \frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}[/tex]](images/latex/44881e1dade4fd6596c3be013e474b0448d5fc6d_0.png "[tex]g(z) = \frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}[/tex]") y lo querés llevar a algo de la forma ![[tex]g(z) = \frac{A}{z-z_1} + \frac{B}{z-z_2}[/tex]](images/latex/a77daae32e7ad62ff371c9fef97a6b21427829d2_0.png "[tex]g(z) = \frac{A}{z-z_1} + \frac{B}{z-z_2}[/tex]")
Para encontrar A, "eliminas" de la funcion g(z) la expresión (z-z1) y evaluas lo que te queda en z1
O sea
![[tex] A = \frac{f(z_1)}{z_1-z_2} [/tex]](images/latex/ea317eeb21555a030dd278069b8586e37623af20_0.png "[tex] A = \frac{f(z_1)}{z_1-z_2} [/tex]")
y para sacar B haces lo mismo, borras de la funcion la parte (z-z2) y lo que te queda se evalua en z2
![[tex] B = \frac{f(z_2)}{z_2-z_1}[/tex]](images/latex/2222df153e8ef9bc0e593e72abfc5532c4712432_0.png "[tex] B = \frac{f(z_2)}{z_2-z_1}[/tex]")
En el ejemplo, ![[tex]z_1 = 1 ; z_2 = 2; f(z) = z[/tex]](images/latex/8583389eca7b91bb3e4f799367b7f8edc891c219_0.png "[tex]z_1 = 1 ; z_2 = 2; f(z) = z[/tex]")
entonces te queda
![[tex] A = \frac{1}{1-2} = -1 [/tex]](images/latex/4de56740974c5e00f860f58cf90773f5c0e17bbe_0.png "[tex] A = \frac{1}{1-2} = -1 [/tex]")
![[tex] B = \frac{2}{2-1} = 2 [/tex]](images/latex/d58213a6a16a0d0c2406139dbc6876aa891b51ef_0.png "[tex] B = \frac{2}{2-1} = 2 [/tex]")
si no me crees verificalo en wolfram, alternate forms
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%2F%28z-2%29+-+1%2F+%28z-1%29
Si en el denominador aparecen raices múltiples hay que hacer una variante, si querés te lo cuento, si no no, porque no quiero escribir al pedo.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Era mas fácil linkearlo a wolfram nomás, te muestra los pasos para resolver fracciones simples también :P
Por ejemplo, http://tinyurl.com/3n9dy6x en "Partial fraction expansion" => "Show steps" y pum para casa
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nico07
Nivel 3
Edad: 103
Registrado: 20 Jun 2011
Mensajes: 46
Ubicación: en casa
Carrera: No especificada, Agrimensura, Alimentos, Civil, Electricista, Electrónica, Industrial, Informática, Mecánica, Naval, Química, Sistemas y
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como seria el radio d convergencia para el caso c)Z0=i ??? no entiendo bien como sacarlo... 
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Las series de Laurent convergen en regiones anulares (anillos, no anos), fijate que "anillos" hay, centrados en z_0=i.
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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miralo graficamente, basicamente hace circulos aldedeor del punto (0,i) y fijate los radios que encierran singularidades. El primer radio de convergencia va de 0 hasta la primer singularidad, o sea la distancia del (0,i) al (1,0) que es ![[tex]\sqrt{2}[/tex]](images/latex/e82058050c9cca2db8a2c014b6318cd8956ed5d1_0.png "[tex]\sqrt{2}[/tex]") , despues de ahí hasta la segunda singularidad (2,0), la distancia es ![[tex]\sqrt{5}[/tex]](images/latex/48964262b26b5bb9064cc073f57c8ab8f39113a4_0.png "[tex]\sqrt{5}[/tex]") , y la tercera region vale para todos los radios mayores que eso.
te quedan las 3 regiones
![[tex]0 < z-i < \sqrt{2}[/tex]](images/latex/579cda7f55e390b0d9a82c4b9a14a8b67decded1_0.png "[tex]0 < z-i < \sqrt{2}[/tex]")
![[tex] \sqrt{2} < z-i < \sqrt{5}[/tex]](images/latex/55c81e0ac4f10099433fbda186dd4c60212d6931_0.png "[tex] \sqrt{2} < z-i < \sqrt{5}[/tex]")
![[tex] \sqrt{5} < z-i [/tex]](images/latex/d2a608df0f6d33a3955e0bc5a9f546f880df9f93_0.png "[tex] \sqrt{5} < z-i [/tex]")
igual fue una forma muy bruta de decirlo, tenés que saber porque estas haciendo esto porque es muy básico, o sea es parte de la definición de series de laurent/taylor
y faltaron los palitos de módulo.
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nico07
Nivel 3
Edad: 103
Registrado: 20 Jun 2011
Mensajes: 46
Ubicación: en casa
Carrera: No especificada, Agrimensura, Alimentos, Civil, Electricista, Electrónica, Industrial, Informática, Mecánica, Naval, Química, Sistemas y
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gracias
| Cita:
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igual fue una forma muy bruta de decirlo, tenés que saber porque estas haciendo esto porque es muy básico, o sea es parte de la definición de series de laurent/taylor
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sisi eso lo se xq se hace y todo, nomas no staba seguro ademas cuando puse raiz d 2 nomas me referia a al 2º termino dsp d hacer fracciones simples no d toda la region d convergencia d la serie  igual nomas queria corroborar resultado con alguien xq me habia qedado colgado el ej. y justo vi esto y aproveche jeje
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JinnKaY
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 1445
Carrera: Electrónica y Mecánica
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Mi duda puntual era con el B) era como desarrollar en z_0=1 ... ya que al hacerlo y evaluar ... me da un valor, pero en la funcion me da cualquier cosa porque es un cero del denominador.
El problema principal no es fracciones simples, sino al intentar demostrar que el punto z_0 ambas cosas den lo mismo.
Y tambien para encontrar el a_n por definicion (con la integral). O se me anula todo o me queda 1
EDIT : En mi a) tengo "n+1" y el wolfram tiene solo n T.T
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http://tinyurl.com/8y3ghjg
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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![[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{z}{(z-1)}\frac{1}{(z-2)} = \frac{z}{(z-1)}\frac{(-1)}{1-(z-1)} = -\frac{z}{(z-1)} \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n}} =[/tex]](images/latex/ca250f1bec21181fc12f196d7a8712d79c79eda3_0.png "[tex]\frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{z}{(z-1)}\frac{1}{(z-2)} = \frac{z}{(z-1)}\frac{(-1)}{1-(z-1)} = -\frac{z}{(z-1)} \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n}} =[/tex]") ![[tex] -z \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}}[/tex]](images/latex/db5edd37862f4882837fea74f6615b1790ddb525_0.png "[tex] -z \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}}[/tex]")
Ahora,
![[tex] -(z+1-1) \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} = -(z-1) \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} - \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} =[/tex]](images/latex/38da1ad35a816bc16ac9f38ebc70d05a59c2d75b_0.png "[tex] -(z+1-1) \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} = -(z-1) \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} - \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}} =[/tex]") ![[tex]-\sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n}} - \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}}[/tex]](images/latex/a64dc9b7317b96603f9832c72993236db62077f0_0.png "[tex]-\sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n}} - \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-1)^{n-1}}[/tex]")
Se podría haber hecho antes el "truco" de +1-1, pero bueno, da igual para el caso.
Algo que no me queda claro de tu comentario es
| JinnKaY escribió:
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Mi duda puntual era con el B) era como desarrollar en z_0=1 ... ya que al hacerlo y evaluar ... me da un valor, pero en la funcion me da cualquier cosa porque es un cero del denominador.
El problema principal no es fracciones simples, sino al intentar demostrar que el punto z_0 ambas cosas den lo mismo
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Pero cómo que no te "da lo mismo"? La ROC de la serie de Laurent es ![[tex]0<|z-1|<1[/tex]](images/latex/f0ffbc8cb69dca6e1f5fa275dd491160a9dc6ffe_0.png "[tex]0<|z-1|<1[/tex]") , el punto z = 1 no está dentro del radio de convergencia de la serie, por lo que no podes evaluarla en z = 1 (por algo es de Laurent y no de Taylor). De hecho, la función original tiene un polo simple en ese punto, lo cual se refleja en el segundo término de la serie que escribí, tomando n = 0 (el primer sumando).
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JinnKaY
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 1445
Carrera: Electrónica y Mecánica
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| Jackson666 escribió:
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Ahora,
Se podría haber hecho antes el "truco" de +1-1, pero bueno, da igual para el caso.
Algo que no me queda claro de tu comentario es
| JinnKaY escribió:
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Mi duda puntual era con el B) era como desarrollar en z_0=1 ... ya que al hacerlo y evaluar ... me da un valor, pero en la funcion me da cualquier cosa porque es un cero del denominador.
El problema principal no es fracciones simples, sino al intentar demostrar que el punto z_0 ambas cosas den lo mismo
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Pero cómo que no te "da lo mismo"? La ROC de la serie de Laurent es , el punto z = 1 no está dentro del radio de convergencia de la serie, por lo que no podes evaluarla en z = 1 (por algo es de Laurent y no de Taylor). De hecho, la función original tiene un polo simple en ese punto, lo cual se refleja en el segundo término de la serie que escribí, tomando n = 0 (el primer sumando).
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Mi idea de serie en torno a un punto A es que en A tanto la serie como la funcion tienen que dar lo mismo entonces si en A dan cualquier cosa (la serie me da un numero!) me hizo dudar y pensar que mi idea estaba mal.
Incluso en la pagina que paso koreano la serie tiene terminos negativos y no puedo encontrar el a_n por definicion. Me siento re perdido
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Jackson666
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| JinnKaY escribió:
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es el punto donde tengo que desarrollar no?
Como estoy integrando en la region entonces todas las singularidades estan fuera de esa region, entonces la integral da 0 ..... ??? ESTA es mi gran duda.
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No se si ya te sacaste esta duda, pero fijate que, en general, si queres la serie centrada en , los coeficientes de la parte correspondiente a las potencias positivas son
Si la ROC de la serie es , entonces los coeficientes son ![[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}^{+}}{ \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz}[/tex]](images/latex/52da70e800b17d1f2afaf7960898513a359da389_0.png "[tex]a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}^{+}}{ \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz}[/tex]") . Es claro que el integrando tiene una singularidad en la región interior a la curva de integración, por lo tanto la integral, en principio, va a ser distinta de cero. Cuestión que es evidente, sino tendría un desarrollo en series de Laurent de sumandos constantes iguales a cero, lo cual no tiene sentido.
Otra cosa, ya que estamos, que estas confundiendo me parece, es el Teorema de Cauchy-Goursat con la FIC. Este te dice que si el integrando es analítico en todo punto de la región interior a una curva de Jordan, entonces la integral vale 0. En este caso dijiste "pero f(z) es analítica...", y tenes razón, lo es, pero no vale Cauchy-Goursat, porque el integrando NO ES analítico (no estás integrando sólo f(z)!). Lo que vale es FIC general.
| JinnKaY escribió:
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Mi idea de serie en torno a un punto A es que en A tanto la serie como la funcion tienen que dar lo mismo entonces si en A dan cualquier cosa (la serie me da un numero!) me hizo dudar y pensar que mi idea estaba mal.
Incluso en la pagina que paso koreano la serie tiene terminos negativos y no puedo encontrar el a_n por definicion. Me siento re perdido
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Bueno, tu idea de serie de Taylor está muy bien. Pero esto no es una serie de Taylor. Tenes que partir de la idea de que una función que presenta una singularidad en un punto NO tiene desarrollo en serie de Taylor entorno a ese punto. Ahí es donde aparecen las series de Laurent, la parte principal de una función, etc.
Encontrar los coeficientes de la serie por definición y suicidarse, son prácticamente la misma cosa. A no ser que la función sea algo "lindo" tipo ![[tex]e^{z}[/tex]](images/latex/b33b6032cd48b56886f3c1518656561fb88ebff7_0.png "[tex]e^{z}[/tex]") y quieras el desarrollo en serie entorno al origen, por ejemplo.
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