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koreano
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Guía 5: Magnetostática en el vacío
Enunciados: http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Problemas%20y%20Laboratorio/Guia5-2009.pdf
1) Utilizemos Biot-Savart para el cálculo del campo magnético.
Ubiquemos el cable en el eje z de un sistema de referencia cartesiano:
![[tex]\vec{\gamma}(t) = (0,0,t)[/tex]](images/latex/45e47d07deb93b5296ffe75d63e23921139ffd07_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t) = (0,0,t)[/tex]") con ![[tex]t \in [-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}][/tex]](images/latex/51b8872dbb134ed184bbe875960b89ce453b9f00_0.png "[tex]t \in [-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}][/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}'(t) = (0,0,1) \, dt[/tex]](images/latex/5883a8deec142f35aae5b7bd6b6dcf48babeda2f_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t) = (0,0,1) \, dt[/tex]")
![[tex]\vec{r} = (x,y,z)[/tex]](images/latex/54512e8db1324563cba6c32d4b544663af398643_0.png "[tex]\vec{r} = (x,y,z)[/tex]")
![[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (x,y,z-t)[/tex]](images/latex/8ebb578d90a32e010530fb93824bc332b2cf36c3_0.png "[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (x,y,z-t)[/tex]")
![[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = (x^2 + y^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]](images/latex/6e3218585897761a10786c4afd99e18056e7d842_0.png "[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = (x^2 + y^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (-y,x,0) \, dt[/tex]](images/latex/9699434ec1f79e539cba699fb71e13e8d2a8d437_0.png "[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (-y,x,0) \, dt[/tex]")
De acá ya vemos la simetría del problema, las primeras componentes nos recuerdan a la coordenada ![[tex]\hat{\theta}[/tex]](images/latex/c5e505a6895e959ccc806a22eb48503c1e8637d7_0.png "[tex]\hat{\theta}[/tex]") del sistema cilíndrico, mientras que el cable no puede generar campo en ![[tex]\hat{k}[/tex]](images/latex/7f24fbd1dda46fe8ccaa3bff2688a845d9b553de_0.png "[tex]\hat{k}[/tex]") .
![[tex]\vec{B}(x,y,z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{-L/2}^{L/2} I \frac{(-y \, \hat{i} + x \, \hat{j}) \, dt}{ (x^2 + y^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]](images/latex/47be087745c2deaee74408975969ae61c3184039_0.png "[tex]\vec{B}(x,y,z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{-L/2}^{L/2} I \frac{(-y \, \hat{i} + x \, \hat{j}) \, dt}{ (x^2 + y^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]")
En este punto conviene el pasaje a coordendas cilíndricas para resolver una sola integral en vez de dos. Para esto hay que recordar que:
![[tex]x = r\cos(\theta)[/tex]](images/latex/7bef5f517ca42241fc6a7e1db83e289c8d60d2eb_0.png "[tex]x = r\cos(\theta)[/tex]")
![[tex]y = r\sin(\theta)[/tex]](images/latex/c55a7937da51622c8c057cfcc65c2e87a9537dbe_0.png "[tex]y = r\sin(\theta)[/tex]")
![[tex]r^2 = x^2 + y^2[/tex]](images/latex/9ce38ebbf1a11c5308d823bb9e58f31ae5693c6f_0.png "[tex]r^2 = x^2 + y^2[/tex]")
Y que si ubicamos un punto genérico en cilíndricas pasado a cartesianas ![[tex]\vec{\omega}(r,\theta,z) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z)[/tex]](images/latex/598f3e34a1bc36719754c8eaf4bb40e5431ae510_0.png "[tex]\vec{\omega}(r,\theta,z) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z)[/tex]") y derivamos con respecto a ![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") podemos obtener la expresión para :
![[tex]\frac{\partial \omega}{\partial\theta} = (-r\sin(\theta), r\cos(\theta), 0)[/tex]](images/latex/f756229cf7c0297687c1172a09c60348a9dbb5ec_0.png "[tex]\frac{\partial \omega}{\partial\theta} = (-r\sin(\theta), r\cos(\theta), 0)[/tex]")
![[tex]r \hat{\theta} = (-y, x, 0) = (-y \, \hat{i} + x \, \hat{j})[/tex]](images/latex/73c3866eacce657c88a808a3e92e4db61dd374ae_0.png "[tex]r \hat{\theta} = (-y, x, 0) = (-y \, \hat{i} + x \, \hat{j})[/tex]")
Reemplazando todo en la ecuación de B anterior:
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{-L/2}^{L/2} I \frac{r \, dt}{ (r^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}} } \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/e77c7ee9d3530bfc3f2d284efa2a607693b04fda_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{-L/2}^{L/2} I \frac{r \, dt}{ (r^2 + (z-t)^2)^{\frac{3}{2}} } \, \hat{\theta}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left[ \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}} \right]_{-L/2}^{L/2} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/361ebbb90c237bb50d5e9c58cc6eddab670962fe_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left[ \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}} \right]_{-L/2}^{L/2} \, \hat{\theta}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^2 + (\frac{L}{2}-z)^2}} - \frac{-\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^2 + (-\frac{L}{2}-z)^2}} \right) \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/c5419d57cae679feb157a0598ebb639fa28cd989_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^2 + (\frac{L}{2}-z)^2}} - \frac{-\frac{L}{2}-z}{\sqrt{r^2 + (-\frac{L}{2}-z)^2}} \right) \, \hat{\theta}[/tex]")
Es interesante notar el resultado al evaluar la integral entre ![[tex]-\infty[/tex]](images/latex/55bcbfeeafc90b4e4047c6f3edb0847b3d7eaa4a_0.png "[tex]-\infty[/tex]") e ![[tex]\infty[/tex]](images/latex/1424036b3c858832ad97a2710db0e7a6baf131b9_0.png "[tex]\infty[/tex]") :
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left[ \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}} \right]_{-\infty}^{\infty} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/4d9864669b629100a1237ce69b67abcff4574da6_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left[ \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}} \right]_{-\infty}^{\infty} \, \hat{\theta}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (A - B) \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/d7fdacdb31c176951f9d16afe860ada93571521f_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (A - B) \, \hat{\theta}[/tex]")
Evaluemos los límites:
![[tex]A = \lim_{t \to \infty} \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/d29291a9e1857c6a8c9ebfad5e4beeb3cc18d2c6_0.png "[tex]A = \lim_{t \to \infty} \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]")
![[tex]A = \lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/6d3c0a7e98e2fc3aac649e73eec6e397cf57b46f_0.png "[tex]A = \lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]")
![[tex]A = \sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/75c44bae8e598bd5043ccb1178321b8b21c3f1c8_0.png "[tex]A = \sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]")
Aplicando L'Hopital para resolver la indeterminación resulta:
![[tex]A = \sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{2(t-z)}{2(t-z)}} = \sqrt{1} = 1[/tex]](images/latex/b3be1107fd0cd58deb8f191bc3ea5a3b708c2f86_0.png "[tex]A = \sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{2(t-z)}{2(t-z)}} = \sqrt{1} = 1[/tex]")
Análogamente para B:
![[tex]B = \lim_{t \to -\infty} \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/ee7529ea9c8f04b0577c1e2cd2ff073ee028d0e9_0.png "[tex]B = \lim_{t \to -\infty} \frac{t-z}{\sqrt{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]")
![[tex]B = -\lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/48d201a5dc1fe44084cd116dd3a2fc04c8b0029a_0.png "[tex]B = -\lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]") (Cuidado especial con el signo en este paso, los numeros elevados al cuadrado dan positivos pero en el paso anterior aparece un signo menos en el numerador pero no en denominador)
![[tex]B = -\sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]](images/latex/341ffef77fe43e07a0d471bca3ae1e16847c8584_0.png "[tex]B = -\sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{(t-z)^2}{r^2 + (t-z)^2}}[/tex]")
![[tex]B = -\sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{2(t-z)}{2(t-z)}} = -\sqrt{1} = -1[/tex]](images/latex/d492dfdbfeba7bb637a4b7c39f9c1de06982c516_0.png "[tex]B = -\sqrt{ \lim_{t \to \infty} \frac{2(t-z)}{2(t-z)}} = -\sqrt{1} = -1[/tex]")
Entonces el campo resulta:
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 - (-1)) \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/60ac27ce6387a9ec4a186749684ebbdd836b08ff_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 - (-1)) \, \hat{\theta}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/f44298eab65a62953eb48e196f7790c36321786e_0.png "[tex]\vec{B}(r,z) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]")
2) Este ejercicio es el análogo inverso del anterior. Resolvámoslo cuantitativamente:
![[tex]\vec{\gamma}(t) = (R\cos(t),R\sin(t),0)[/tex]](images/latex/5a7faa432b3090ea5de3f8f3b4512e1d469b1664_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t) = (R\cos(t),R\sin(t),0)[/tex]") con ![[tex]t \in [\phi_1,\phi_2][/tex]](images/latex/4e28c69503cbed18c62d3b4be48f3d55a62a0e68_0.png "[tex]t \in [\phi_1,\phi_2][/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}'(t) = (-R\sin(t),R\cos(t),0) \, dt[/tex]](images/latex/476cc43ea46b34db4bf0cede8852dd2fa11c250c_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t) = (-R\sin(t),R\cos(t),0) \, dt[/tex]")
![[tex]\vec{r} = (0,0,z)[/tex]](images/latex/ad2257adcdeb7989e31c78bfc39027985db901e2_0.png "[tex]\vec{r} = (0,0,z)[/tex]")
![[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (-R\cos(t),-R\sin(t),z)[/tex]](images/latex/46283bd521c364f9493d588f6223a6fa2593cfd3_0.png "[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (-R\cos(t),-R\sin(t),z)[/tex]")
![[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = ((-R\cos(t))^2 + (-R\sin(t))^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} = (R^2\cos^2(t)+ R^2\sin^2(t) + z^2)^{\frac{3}{2}} =[/tex]](images/latex/b699879a70df9306c1139baf4f10aa0fd1bd915b_0.png "[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = ((-R\cos(t))^2 + (-R\sin(t))^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} = (R^2\cos^2(t)+ R^2\sin^2(t) + z^2)^{\frac{3}{2}} =[/tex]") ^{\frac{3}{2}}[/tex]](images/latex/f58829e0352cd6f0bbc5d24460a28388fb5647e3_0.png "[tex](R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (R\cos(t)z,R\sin(t)z,R^2) \, dt[/tex]](images/latex/1dab2d26e9512230afd21cc9dc301a419ef59491_0.png "[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (R\cos(t)z,R\sin(t)z,R^2) \, dt[/tex]")
Reemplazando en Biot-Savart:
![[tex]\vec{B}(z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\phi_1}^{\phi_2} I \frac{(R\cos(t)z \, \hat{i} + R\sin(t)z \, \hat{j} + R^2 \, \hat{k}) \, dt}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]](images/latex/18f3aace1843e2b021c198e25b1d009d971fad25_0.png "[tex]\vec{B}(z) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\phi_1}^{\phi_2} I \frac{(R\cos(t)z \, \hat{i} + R\sin(t)z \, \hat{j} + R^2 \, \hat{k}) \, dt}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]")
Y las integrales para cada componente salen fácil ya que solo dependen de t y hay muchos factores constantes.
Algunas cosas a notar de la simetría del problema:
* En ![[tex]z=0[/tex]](images/latex/8ec5e56326bfb63729244c125a06b2454a8c7ec2_0.png "[tex]z=0[/tex]") el campo solo tiene coordenada
* Si consideramos ![[tex]\phi_2 - \phi_1 = 2\pi[/tex]](images/latex/7d6e2b1a6cb1ed43e02fa1fb361341ade6aa287d_0.png "[tex]\phi_2 - \phi_1 = 2\pi[/tex]") entonces las integrales de las funciones trigonométricas dan 0 y por lo tanto el campo solo tiene coordenada para todo z. Esto se corresponde a cuando tenemos una vuelta circular completa de espira y el campo sobre el eje se cálcula fácilmente:
![[tex]\vec{B}(z) = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \, \hat{k}[/tex]](images/latex/ed285d9659788a3bb43c7ae7648923d1ed580aed_0.png "[tex]\vec{B}(z) = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \, \hat{k}[/tex]")
3) Tenemos tres segmentos de curva a analizar. Si miramos el problema fijamente, nos podemos dar cuenta que el segmento ![[tex]\vec{PQ}[/tex]](images/latex/7951b743348b86d98b3bd9525f26e694150b3297_0.png "[tex]\vec{PQ}[/tex]") no va a contribuir campo en el origen ya que el vector tangente a dicha curva [/tex]](images/latex/531bb7a3aa582481e58663a914b1010598babc6a_0.png "[tex](0,0,-1)[/tex]") es colineal con el vector que va de la curva al origen [/tex]](images/latex/396295da74365d2bb1e34c372c1046df331f26f3_0.png "[tex](0,0,-z'+R)[/tex]") , por lo tanto el producto vectorial da 0 para todo ![[tex]z'[/tex]](images/latex/8595d2783c0893bdecd02149131020dd76fc4362_0.png "[tex]z'[/tex]") .
Analizemos por separado los dos tramos restantes:
* ![[tex]\vec{NP}[/tex]](images/latex/fd98d19f2722b462810bb66b13ffb3efbee0c784_0.png "[tex]\vec{NP}[/tex]") :
Para este semiarco de circunferencia de radio ![[tex]R[/tex]](images/latex/06bb2956f6ba6274346e5b9e386e2e81f25a8632_0.png "[tex]R[/tex]") podemos hacer uso de los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores. O podemos ser cabeza dura y hacerlo de vuelta:
![[tex]\vec{\gamma}(t) = (0,R\cos(t),R\sin(t))[/tex]](images/latex/fc88ff62dd4fe50f0be1f7ba165dc73a2ef4f7a1_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t) = (0,R\cos(t),R\sin(t))[/tex]") con ![[tex]t \in [\pi/2,-\pi/2][/tex]](images/latex/1c3ef40cfafa42e464e9d3fa3a03c5f189018e54_0.png "[tex]t \in [\pi/2,-\pi/2][/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}'(t) = (0,-R\sin(t),R\cos(t)) \, dt[/tex]](images/latex/420f7aac2c46720cf07db032cf776c7f71ddb707_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t) = (0,-R\sin(t),R\cos(t)) \, dt[/tex]")
![[tex]\vec{r} = (0,0,0)[/tex]](images/latex/4fe10c82e9ae73286d4f8c9385717eaba8ae91f8_0.png "[tex]\vec{r} = (0,0,0)[/tex]")
![[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (0,-R\cos(t),-R\sin(t))[/tex]](images/latex/295462d1479451362fe8201ad22034669a089fd9_0.png "[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (0,-R\cos(t),-R\sin(t))[/tex]")
![[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = ((-R\cos(t))^2 + (-R\sin(t))^2)^{\frac{3}{2}}=[/tex]](images/latex/be4e48f86c0defaf53909250d15058f5c1e1fceb_0.png "[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = ((-R\cos(t))^2 + (-R\sin(t))^2)^{\frac{3}{2}}=[/tex]") ^{\frac{3}{2}} = R^3[/tex]](images/latex/915314751462da95ff8883caf12bf3e9382712ed_0.png "[tex](R^2)^{\frac{3}{2}} = R^3[/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (R^2, 0, 0) \, dt[/tex]](images/latex/42db3821e36f9096fbbe41ec7fbc6ce489ea13af_0.png "[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (R^2, 0, 0) \, dt[/tex]")
Reemplazando en Biot-Savart:
![[tex]\vec{B}_{NP}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\pi/2}^{-\pi/2} \frac{R^2}{R^3} \, dt\, \hat{i}[/tex]](images/latex/9c871cd7749c01b1290dc30248ed85e97401c391_0.png "[tex]\vec{B}_{NP}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\pi/2}^{-\pi/2} \frac{R^2}{R^3} \, dt\, \hat{i}[/tex]")
![[tex]\vec{B}_{NP}(0) = -\frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{i}[/tex]](images/latex/d8764d7d9d748a6a43b170c1b29369f8e46a1ad9_0.png "[tex]\vec{B}_{NP}(0) = -\frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{i}[/tex]")
* ![[tex]\vec{MN}[/tex]](images/latex/0947f9b99c5bba491b8c83fa2341b9830722bdf7_0.png "[tex]\vec{MN}[/tex]") :
![[tex]\vec{\gamma}(t) = (t,0,R)[/tex]](images/latex/268d5380ac8b64f45964fd24e861a341f72feabc_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t) = (t,0,R)[/tex]") con ![[tex]t \in [\infty,0][/tex]](images/latex/3c4b5c0f827bf2ce6c95587c6ce0f3f674ce3742_0.png "[tex]t \in [\infty,0][/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}'(t) = (1,0,0) \, dt[/tex]](images/latex/ab2e82d770385a7aa1847a816de073a62d8990dc_0.png "[tex]\vec{\gamma}'(t) = (1,0,0) \, dt[/tex]")
![[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (-t,0,-R)[/tex]](images/latex/45d0b57e682e49404b37025306374449f0d76f60_0.png "[tex]\vec{r} - \vec{\gamma} = (-t,0,-R)[/tex]")
![[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = (t^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]](images/latex/e7c9e8b9ea54d882fffa834944726b190555584f_0.png "[tex]\| \vec{r} - \vec{\gamma} \|^{\frac{3}{2}} = (t^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]")
![[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (0, R, 0) \, dt[/tex]](images/latex/1275c07a0a0af1c890902bee30d30d53833f4433_0.png "[tex]\vec{\gamma}' \times (\vec{r} - \vec{\gamma}) = (0, R, 0) \, dt[/tex]")
Reemplazando en Biot-Savart:
![[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\infty}^{0} \frac{R}{ (t^2 + R^2)^{\frac{3}{2}} } \, dt\, \hat{j}[/tex]](images/latex/58fcfa558a67f45210b002217f9f0f755a19f153_0.png "[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\infty}^{0} \frac{R}{ (t^2 + R^2)^{\frac{3}{2}} } \, dt\, \hat{j}[/tex]")
![[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left[ \frac{t}{\sqrt{t^2 + R^2}} \right]_{\infty}^{0} \, \hat{j}[/tex]](images/latex/1b2c2fa98ba976c4f96d1150737cf11985bb06d1_0.png "[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left[ \frac{t}{\sqrt{t^2 + R^2}} \right]_{\infty}^{0} \, \hat{j}[/tex]") (Ver ej 1 para la resolución del límite)
![[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left( 0 - 1 \right) \, \hat{j} = -\frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \, \hat{j}[/tex]](images/latex/65f4e56c0e36a4a5265a0025af360bddb4f5e28b_0.png "[tex]\vec{B}_{MN}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left( 0 - 1 \right) \, \hat{j} = -\frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \, \hat{j}[/tex]")
Sumando las contribuciones, el campo en el origen resulta:
![[tex]\vec{B}(0) = -\frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{i} \, -\frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \, \hat{j}[/tex]](images/latex/e581d6b6a30c37c1ac60993e85c232039520958a_0.png "[tex]\vec{B}(0) = -\frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{i} \, -\frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \, \hat{j}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 R}(-1, -\frac{1}{\pi}, 0)[/tex]](images/latex/bcd415784bf89d633c626099eebdd3463e1a4af4_0.png "[tex]\vec{B}(0) = \frac{\mu_0 I}{4 R}(-1, -\frac{1}{\pi}, 0)[/tex]")
4) Dada la simetría de revolución del problema y que el campo es constante en , podemos plantear:
![[tex]\int_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \iint_C (\vec{\nabla} \times \vec{B}) \cdot \vec{dS} = \iint_C \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{dS}[/tex]](images/latex/ee34affcb8947cd926bdebf355ed0aea10e4df14_0.png "[tex]\int_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \iint_C (\vec{\nabla} \times \vec{B}) \cdot \vec{dS} = \iint_C \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{dS}[/tex]")
Pero toda la densidad de corriente integrada en C es simplemente I, ya que ![[tex]j = \frac{I}{A}[/tex]](images/latex/cb74909db9016ea92b6149fd023cd81c99529667_0.png "[tex]j = \frac{I}{A}[/tex]") , entonces ![[tex]j\cdot A = I[/tex]](images/latex/51b553417adf0c3f327946d505b9e7f61767da1d_0.png "[tex]j\cdot A = I[/tex]") .
Tomando una cicunferencia de radio variable "r" vemos que el producto escalar es siempre 1 (el versor de la circunferencia está alineado con el campo magnético en toda la curva) y por lo tanto el campo sale afuera de la integral:
![[tex]\int_{0}^{2\pi} \vec{B} \cdot \vec{r\,d\theta} = \mu_0 I[/tex]](images/latex/8562cd76b8c9da1ef257853a5cab1be90b26636a_0.png "[tex]\int_{0}^{2\pi} \vec{B} \cdot \vec{r\,d\theta} = \mu_0 I[/tex]")
![[tex]Br \int_{0}^{2\pi} d\theta = \mu_0 I[/tex]](images/latex/bce1064e2ff63e2cadfb77579fe1be5f318551c9_0.png "[tex]Br \int_{0}^{2\pi} d\theta = \mu_0 I[/tex]")
![[tex]B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}[/tex]](images/latex/36ed226925a950c483915f381efaf00d00e15df3_0.png "[tex]B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/233a74b5f78c7386bdd63a24cb8a7bfe0828aecc_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]") (ver que es el mismo resultado que 1))
5) Hagamos un esquema de qué está pasando y para ubicar bien los nombres de cada cosa:
Trabajemos con el campo generado por ![[tex]I_1[/tex]](images/latex/ff9478abd0f10b10ead8f95089dea761172828bd_0.png "[tex]I_1[/tex]") . Ya vimos como se calcula por Ampere o por Biot-Savart. En este caso vamos a quedarnos con los ejes cartesianos pero solo nos interesa el campo en el plano, por lo tanto:
![[tex]\vec{B}(x) = -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \, \hat{k}[/tex]](images/latex/df5de1f7d47d91738ac0afddbbd01e70877741c2_0.png "[tex]\vec{B}(x) = -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \, \hat{k}[/tex]") (Tomamos el 0 de x en el eje de )
a) Calculemos cada tramo por separado:
Tramo (1):
![[tex]\vec{F}_1 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]](images/latex/76e0a16e954935988b30c4a92cc02e272b5b45c9_0.png "[tex]\vec{F}_1 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_1 = I_2 (h \, \hat{j} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \, \hat{k})[/tex]](images/latex/6e18ccef3ddde724098b517c6aa4462dd672c7c7_0.png "[tex]\vec{F}_1 = I_2 (h \, \hat{j} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \, \hat{k})[/tex]")
![[tex]\vec{F}_1 = -\frac{\mu_0 I_1 I_2 h}{2 \pi d} \hat{i}[/tex]](images/latex/ff7dc629f13faa7089b5cdceffddad76bdd5579c_0.png "[tex]\vec{F}_1 = -\frac{\mu_0 I_1 I_2 h}{2 \pi d} \hat{i}[/tex]")
Tramo (2):
![[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]](images/latex/1cb5107fe56b02de7d9a3056fb3bec1960d9d593_0.png "[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} dx \hat{i} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \hat{k}[/tex]](images/latex/df92dcb6a13d290dbcd1b0754a1285bfa5372d13_0.png "[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} dx \hat{i} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \hat{k}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{j}[/tex]](images/latex/38c9074b0bd6a3f741c874ab40a70498d51988cd_0.png "[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{j}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int_{d}^{d+b} \frac{dx}{x} \hat{j}[/tex]](images/latex/849436dd33a456ad0e5ae21d4f72b914418a5377_0.png "[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int_{d}^{d+b} \frac{dx}{x} \hat{j}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} (\ln(d+b) - \ln(d)) \hat{j}[/tex]](images/latex/734eb6330bcd03ef1e39264efdde91ded596bf72_0.png "[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} (\ln(d+b) - \ln(d)) \hat{j}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \ln(1+\frac{b}{d}) \hat{j}[/tex]](images/latex/38fe68ace29ebed67749e00efcaddc5e9226298a_0.png "[tex]\vec{F}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \ln(1+\frac{b}{d}) \hat{j}[/tex]")
Tramo (3):
![[tex]\vec{F}_3 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]](images/latex/8b5a8fa264016a70d1a2820af5d0085804c24716_0.png "[tex]\vec{F}_3 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_3 = I_2 (-h \, \hat{j} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi (d+b)} \, \hat{k})[/tex]](images/latex/4fe8d0bc64234cdfaca4f3fe05ab6cf59689f30c_0.png "[tex]\vec{F}_3 = I_2 (-h \, \hat{j} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi (d+b)} \, \hat{k})[/tex]")
![[tex]\vec{F}_3 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 h}{2 \pi (d+b)} \hat{i}[/tex]](images/latex/5df2a8d655a71c9cdf78a05c9fe37545bd694383_0.png "[tex]\vec{F}_3 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 h}{2 \pi (d+b)} \hat{i}[/tex]")
Tramo (4):
![[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]](images/latex/aee31806f50bab318dd6313865dae7d82684208c_0.png "[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int \vec{dl} \times \vec{B}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int_{d+b}^{d} dx \hat{i} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \hat{k}[/tex]](images/latex/afbd336e2c903e1d0a657bda751bb754983b63da_0.png "[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int_{d+b}^{d} dx \hat{i} \times -\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} \hat{k}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int_{d+b}^{d} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{i}[/tex]](images/latex/7ca9ecdb32d9a24380191be0a025eb39f34bb0ba_0.png "[tex]\vec{F}_4 = I_2 \int_{d+b}^{d} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{i}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int_{d+b}^{d} \frac{dx}{x} \hat{i}[/tex]](images/latex/da68200d46b2c0f2d501585c92ee0e6a6c688b7c_0.png "[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int_{d+b}^{d} \frac{dx}{x} \hat{i}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} (\ln(d) - \ln(d+b)) \hat{i}[/tex]](images/latex/8a33d1e3efc4b29c948b739a0fc0ab6e732bc439_0.png "[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} (\ln(d) - \ln(d+b)) \hat{i}[/tex]")
![[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \ln(\frac{1}{1+\frac{b}{d}}) \hat{i}[/tex]](images/latex/f02a52a5e155c42dc275810da3eb7f0d4c49def1_0.png "[tex]\vec{F}_4 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \ln(\frac{1}{1+\frac{b}{d}}) \hat{i}[/tex]")
La fuerza total es:
![[tex]\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4[/tex]](images/latex/1fd17daebc2582fe08a29cb9e12366920f6d6f42_0.png "[tex]\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4[/tex]")
De acá se deduce que mis ganas de hacer las cuentas es 0.
b) Vemos que el campo está alineado con el momento dipolar de la espira, por lo tanto no va a haber cupla. Verifiquémoslo:
![[tex]\vec{m} = -I_2 bh \, \hat{k}[/tex]](images/latex/ec868cf53d48248cbdc139e726246b89a3a25cc1_0.png "[tex]\vec{m} = -I_2 bh \, \hat{k}[/tex]")
![[tex]\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = -I_2 bh B \sin(0) = 0[/tex]](images/latex/8eb217e6f03babfdc4d30394dcf69c674465dfb7_0.png "[tex]\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = -I_2 bh B \sin(0) = 0[/tex]")
Acá una aclaración: en general no se puede usar la ecuación ![[tex]\vec{tau} = \vec{m} \times \vec{B}[/tex]](images/latex/7552fe29dbc4d959f8f1f3ebb8662fc32a284ff2_0.png "[tex]\vec{tau} = \vec{m} \times \vec{B}[/tex]") a menos que el campo B no sea uniforme. Sin embargo, lo que sucede acá es que la espira está alineada con el campo, tal que sin importar si es uniforme o no, el producto vectorial da 0 ya que el campo y el momento magnetico forman un ángulo de 0 grados. Una manera de verificar esto es calculando todas las fuerzas y viendo que no hay par neto que produzca torque con respecto a ningun eje, haciendo uso de la ecuación ![[tex]\vec{dF} = I(\vec{dl} \times \vec{B})[/tex]](images/latex/ef9c27f03e01e3e115dc553da8de24ac12384458_0.png "[tex]\vec{dF} = I(\vec{dl} \times \vec{B})[/tex]") .
c)
![[tex]\Phi = \iint \vec{B} \cdot \vec{dS}[/tex]](images/latex/40cd92b60effe6da2d61eec4969caf7abf35693a_0.png "[tex]\Phi = \iint \vec{B} \cdot \vec{dS}[/tex]")
Si elegimos ![[tex]\vec{dS} = -dx\,dy\,\hat{k}[/tex]](images/latex/fb4173d418dade80db66720163cbeeef60169572_0.png "[tex]\vec{dS} = -dx\,dy\,\hat{k}[/tex]") :
![[tex]\Phi = \int_{d}^{d+b} \int_{0}^{h} \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} dy \, dx[/tex]](images/latex/28b27e81c7b19670dd2b8039b04416fbb4c19ceb_0.png "[tex]\Phi = \int_{d}^{d+b} \int_{0}^{h} \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} dy \, dx[/tex]")
![[tex]\Phi = \frac{\mu_0 I_1 h}{2 \pi} \ln(1+\frac{b}{d})[/tex]](images/latex/954d0ff6197e0dbafade4f7a95469b3fbc3753a2_0.png "[tex]\Phi = \frac{\mu_0 I_1 h}{2 \pi} \ln(1+\frac{b}{d})[/tex]")
6) Partiendo de que el campo generado por un cable infinito es ![[tex]B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}[/tex]](images/latex/5f9aafebe8f91118610256ae1c4374fc3a7e4c16_0.png "[tex]B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}[/tex]") y que ![[tex]dF = I(dl\times B)[/tex]](images/latex/78fd1253642c06a3840c5581daf6c0e04b325373_0.png "[tex]dF = I(dl\times B)[/tex]") , si llamamos ![[tex]d[/tex]](images/latex/3fee71140d44fbea7cf022a1a80b2df40c16ccf8_0.png "[tex]d[/tex]") a la separación e ![[tex]I[/tex]](images/latex/88e9ce278f204a795ff4520a7d351b0f8248a55a_0.png "[tex]I[/tex]") a la corriente tenemos:
![[tex]dF = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d} \, dl[/tex]](images/latex/e97fc0f3511699ed0885acbe5df3acb82c737d52_0.png "[tex]dF = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d} \, dl[/tex]")
Si los cables tienen el mismo sentido de corriente la fuerza es igual y atractiva entre ellos. Si el sentido es opuesto, la fuerza es repulsiva.
7) Idem 12)
8) El campo de un toroide se resuelve tomando curvas amperianas circulares concéntricas con el toroide. Supongamos que el toroide tiene ![[tex]N[/tex]](images/latex/9448f45ac6411fffcdd92e407160ba4cbe13ce63_0.png "[tex]N[/tex]") vueltas, radio interior ![[tex]r_i[/tex]](images/latex/8f7e9c2eca5842b9e8d8acf764a5cada74e337d1_0.png "[tex]r_i[/tex]") y exterior ![[tex]r_e[/tex]](images/latex/ef5ac811bdff4b2ad1257d07d7d5ab9cd3b343d4_0.png "[tex]r_e[/tex]") :
Utilizamos un sistema de coordenadas cilíndrico, haciendo reposar al toroide en el centro de coordenadas, sobre el plano ![[tex]r, \theta[/tex]](images/latex/0cfb40d18a89d37b6f488b65d5ca8bdb3aaeb254_0.png "[tex]r, \theta[/tex]") .
El campo resulta:
* ![[tex]r \in [0,r_i)[/tex]](images/latex/8a34efb25014a3fe597d46abaf14343711adcd14_0.png "[tex]r \in [0,r_i)[/tex]")
![[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 0[/tex]](images/latex/30200bc65eff35f6a91e93c9cb3e0c4809a8b612_0.png "[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 0[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = 0[/tex]](images/latex/258619a6f313fde611e1607eae77e5450ed44466_0.png "[tex]\vec{B}(r) = 0[/tex]")
* ![[tex]r \in (r_i,r_e)[/tex]](images/latex/49b44baed21771f79ef4db024641239d1aec405e_0.png "[tex]r \in (r_i,r_e)[/tex]")
![[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 N I[/tex]](images/latex/ce34e3394db15b6a71352197ecd3dd674e442b80_0.png "[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 N I[/tex]")
![[tex]B \, 2\pi r = \mu_0 N I[/tex]](images/latex/5c203dfd1ddee9ea9d7f081682a0d6ff95b848c2_0.png "[tex]B \, 2\pi r = \mu_0 N I[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}[/tex]](images/latex/af896dc40c6d0b00d6e2c5e68f738b9fbf66db58_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}[/tex]")
* ![[tex]r \in (r_e,\infty)[/tex]](images/latex/0e86fa28d20bbb1c853e5a7aa446b8c9f9a78e8b_0.png "[tex]r \in (r_e,\infty)[/tex]")
![[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 N I - \mu_0 N I = 0[/tex]](images/latex/1331c28189a6c0d07b37d42882c0b4c00867d747_0.png "[tex]\int_{C(r)} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 N I - \mu_0 N I = 0[/tex]")
El flujo a través de la sección la podemos calcular como en el ejercicio 5) ya que el campo de un toroide y de una espira son ambos proporcionales a ![[tex]\frac{1}{r}[/tex]](images/latex/61e856f2a1ed3dff6b0f2848dcc8f4efb6db0087_0.png "[tex]\frac{1}{r}[/tex]") .
9) Ya vimos que el campo generado por un cable recto muy largo con corriente I es:
![[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}[/tex]](images/latex/538ff27f2af0eefe412e957ddd0dfc9a2f0a042f_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}[/tex]")
Queremos que el campo se anule dentro del toroide, por lo tanto basta con ubicar al cable en el centro del toroide e igualar:
![[tex]\frac{\mu_0 I_c}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 N I_t}{2 \pi r}[/tex]](images/latex/5d410973d38e2d55aa62a8957bfae06c2890d3e9_0.png "[tex]\frac{\mu_0 I_c}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 N I_t}{2 \pi r}[/tex]")
![[tex]I_c = N I_t[/tex]](images/latex/7409dcce895a098fe7eb0fde77646e19ffaf18b7_0.png "[tex]I_c = N I_t[/tex]")
El sentido debe ser de tal manera que, si el campo del toroide es por ejemplo en ![[tex]\vec{B} = B\hat{\theta}[/tex]](images/latex/d6f8c196c7dbaa5381015fdf0038166b7e642c8a_0.png "[tex]\vec{B} = B\hat{\theta}[/tex]") entonces ![[tex]\vec{I_c} = -I_c \hat{z}[/tex]](images/latex/b158e1c7adf7b4cc7d3ab4a6ec428cd0ed9018ca_0.png "[tex]\vec{I_c} = -I_c \hat{z}[/tex]") y viceversa.
10) Este problema se resuelve por superposición. Hagamos un gráfico:
Sabemos como calcular el campo para el conductor sin el hueco:
![[tex]\vec{B}_1(r) = \frac{\mu_0 J r}{2} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/59edc253866e5510e7c20a88e7b15786346d3056_0.png "[tex]\vec{B}_1(r) = \frac{\mu_0 J r}{2} \, \hat{\theta}[/tex]")
Pasemos este campo de cilíndricas a cartesianas:
![[tex]\vec{B}_1(x,y) = \frac{\mu_0 J}{2} \, (-y \, \hat{i} \, +x\,\hat{j})[/tex]](images/latex/4a38648e45265c013f0ee0c4259a0428f1e983ab_0.png "[tex]\vec{B}_1(x,y) = \frac{\mu_0 J}{2} \, (-y \, \hat{i} \, +x\,\hat{j})[/tex]")
Hagamos lo mismo para un cilindro donde estaría el hueco, con densidad de corriente opuesta (cosa que se cancelen y quede realmente hueco). Planteamos un sistema de coordenadas cartesianas pero corrido, tal que ![[tex]x-x'=d[/tex]](images/latex/658ee05dff367b949a98332b19912cd0e07f6452_0.png "[tex]x-x'=d[/tex]") y ![[tex]y-y'=0[/tex]](images/latex/a673968a49b39d5d55fb40d93549d7a28c5fb53e_0.png "[tex]y-y'=0[/tex]") . El campo resulta:
![[tex]\vec{B}_2(x,y) = -\frac{\mu_0 J}{2} \, (-y' \, \hat{i} \, +x'\,\hat{j})[/tex]](images/latex/139ce824fb997646b4a1cfc0d90253a7bde281c5_0.png "[tex]\vec{B}_2(x,y) = -\frac{\mu_0 J}{2} \, (-y' \, \hat{i} \, +x'\,\hat{j})[/tex]")
Si hacemos la suma:
![[tex]\vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 J}{2} \, (-y \, \hat{i} \, +x\,\hat{j}) + -\frac{\mu_0 J}{2} \, (-y' \, \hat{i} \, +x'\,\hat{j})[/tex]](images/latex/8fc2fb37d9342ff6c3b6c4c5e95e6c28351046be_0.png "[tex]\vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 J}{2} \, (-y \, \hat{i} \, +x\,\hat{j}) + -\frac{\mu_0 J}{2} \, (-y' \, \hat{i} \, +x'\,\hat{j})[/tex]")
![[tex]\vec{B} = \frac{\mu_0 J d}{2} \, \hat{j}[/tex]](images/latex/d83b7b65f5790bcc43cb1b859d233f4daaea09c2_0.png "[tex]\vec{B} = \frac{\mu_0 J d}{2} \, \hat{j}[/tex]")
O en función de la corriente:
![[tex]\vec{B} = \frac{\mu_0 I d}{2 \pi (r_1^2 + r_2^2)} \,\hat{j}[/tex]](images/latex/11231eefa5bdf03f8f75ee1549939399c1b40811_0.png "[tex]\vec{B} = \frac{\mu_0 I d}{2 \pi (r_1^2 + r_2^2)} \,\hat{j}[/tex]")
Notar que el campo es constante en el interior del hueco O_o
11-12) a)
Definamos las densidades de corriente por unidad de longitud:
* ![[tex]J_1 = \frac{I_1}{\pi r_1^2}[/tex]](images/latex/120b711344eb39327035dd0af7bcd57b76bd6fa3_0.png "[tex]J_1 = \frac{I_1}{\pi r_1^2}[/tex]")
* ![[tex]J_2 = \frac{I_2}{\pi (r_3^2 - r_2^2)}[/tex]](images/latex/c240e3a266f51ec903f69a33a39e5889880af9d1_0.png "[tex]J_2 = \frac{I_2}{\pi (r_3^2 - r_2^2)}[/tex]")
Tomando un sistema de referencia cilíndrico en donde las corrientes están en ![[tex]\hat{z}[/tex]](images/latex/7a6681c3816779838872a686bdd98a460927176f_0.png "[tex]\hat{z}[/tex]") , y si utilizamos la aproximación que los conductores son mucho mas largos que su radio entonces podemos utilizar convenientemente la ley de Ampere para resolver el problema.
* ![[tex]r \in [0, r_1][/tex]](images/latex/521382ca46eac17ea55563f549ee079ebb1b62b3_0.png "[tex]r \in [0, r_1][/tex]")
![[tex]B 2 \pi r = \mu_0 J_1 \pi r^2[/tex]](images/latex/9f29a9112e65ce11b73ef2ef7a5082f53a60ed05_0.png "[tex]B 2 \pi r = \mu_0 J_1 \pi r^2[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{J_1 r}{2} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/d7145d03ceb2d4513d713dccc97e981e728e4fed_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{J_1 r}{2} \, \hat{\theta}[/tex]")
* ![[tex]r \in [r_1, r_2][/tex]](images/latex/f962b58373f0d30ea2135ca5b06856be7a2077df_0.png "[tex]r \in [r_1, r_2][/tex]")
![[tex]B 2 \pi r = \mu_0 I_1[/tex]](images/latex/6eac45b9253ae40eb9b1b4b130c116b8733b442a_0.png "[tex]B 2 \pi r = \mu_0 I_1[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{I_1}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/b2aada45ccd39b3c37c706182287e45d85a9db67_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{I_1}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]")
* ![[tex]r \in [r_2, r_3][/tex]](images/latex/d914594401a49cc8adfcfb684e08dafca186550c_0.png "[tex]r \in [r_2, r_3][/tex]")
![[tex]B 2 \pi r = \mu_0 (I_1 + J_2 \pi (r^2-r_2^2))[/tex]](images/latex/67d077aa8b0d9b34fd05d2e5025a453fa2b997e3_0.png "[tex]B 2 \pi r = \mu_0 (I_1 + J_2 \pi (r^2-r_2^2))[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{2}( \frac{I_1}{\pi r} + J_2 (r- \frac{r_2^2}{r})) \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/d935a3348441e29e3b2dc22c8baf7c7830324576_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{2}( \frac{I_1}{\pi r} + J_2 (r- \frac{r_2^2}{r})) \, \hat{\theta}[/tex]")
* ![[tex]r \in [r_r, \infty][/tex]](images/latex/48a92a34033757926d77c19e57333e868b304d87_0.png "[tex]r \in [r_r, \infty][/tex]")
![[tex]B 2 \pi r = \mu_0 (I_1 + I_2)[/tex]](images/latex/0051472645c1aed546aa065293468c33a7bfa49a_0.png "[tex]B 2 \pi r = \mu_0 (I_1 + I_2)[/tex]")
![[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{I_1+I_2}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]](images/latex/e8062b6d8592cc6f98dc3e7f037b758be4132241_0.png "[tex]\vec{B}(r) = \mu_0 \frac{I_1+I_2}{2 \pi r} \, \hat{\theta}[/tex]")
El gráfico cualitativo del campo es:
b)
![[tex]\vec{F} = q_e(v \, \hat{z} \times \vec{B}(2 r_3))[/tex]](images/latex/7afe32d6be55e31e774eeb8d7c61fad4fabe58bf_0.png "[tex]\vec{F} = q_e(v \, \hat{z} \times \vec{B}(2 r_3))[/tex]")
![[tex]\vec{F} = -q_e v \mu_0 \frac{I_1 I_2}{4 \pi r_3} \hat{r}[/tex]](images/latex/896b51ae49f75f3240d71b43a76d2a0cf1b22119_0.png "[tex]\vec{F} = -q_e v \mu_0 \frac{I_1 I_2}{4 \pi r_3} \hat{r}[/tex]")
No se ve modificada la energía cinética del electrón ya que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y por lo tanto no puede hacer trabajo.
c) El campo en la zona entre los dos cilindros depende únicamente de por lo tanto solo esta debe ser 0 para que se anule. Para que el campo sea nulo afuera de ambos conductores se debe cumplir que ![[tex]I_1 + I_2 = 0[/tex]](images/latex/8a8b0c3f5cb4cc672a1e7c4f9d7a1fc7a3ec72b1_0.png "[tex]I_1 + I_2 = 0[/tex]") .
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Última edición por koreano el Mar May 15, 2012 10:27 pm, editado 5 veces
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Oso
Nivel 9
Edad: 38
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 2716
Ubicación: San Isidro
Carrera: Industrial
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Si estás buscando el premio al Forero del año lo estás consiguiendo 
Muchas gracias por otro gran aporte.
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![[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]](images/latex/a328513baa7a9ae1a5f22b69d45dd2a6b90980e8_0.png "[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]")
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Bien loco, bien.
Una pregunta mas que nada para algun ayudante o profesor que ande dando vueltas por aca.
Supongamos que en el parcial tomen algo como el ejercicio 3, y como soy re nerd y estudioso*, ya se cuanto valen los campos, aparte se vio en clase y tuve que hacerlos y entregarlos, en M-N y en N-P, hace falta que haga todas las cuentas en las que es facil equivocarse? o mencionando que ya los conozco porque se dio en la excelentisima catedra en la que estoy, directamente pongo los resultados y listo? Obviamente no estaria dejando afuera ninguna justificacion teorica que considere necesaria para hacer completo el ejercicio.
*tambien por esa razon deberia saber la deduccion matematica, pero si me la puedo ahorrar serian minutos valiosos.
Edit: hay ironias en mi post.
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gira
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 13 Ago 2007
Mensajes: 2166
Carrera: Industrial
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Haha, gracias. Sí, quedan re cabeza. Uso paint y winplot, pero tendría que usar matlab :x
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Aguss_Dani
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 22 Jul 2010
Mensajes: 159
Ubicación: Temperley
Carrera: Informática y Sistemas
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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Gracias korea
Ponganlas en sticky :B
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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| Tengo una duda en el cambio de coordenadas/versores en el ej 5. El campo del hilo infinito habia quedado mu.i/2pi.R versor theta. En el 5 lo pasas a cartesianos, quedando -mu.i/2pi.x versor k. Supuse que el pase al versor k y el menos lo justificas por regla de mano derecha, pero no entiendo bien por que del r pasas a x. Seguro es una boludez, pero ya estoy limado.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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En el sistema cilíndrico el ![[tex]r[/tex]](images/latex/7fca68834c90d92622ea606b0bd71f7d42531d19_0.png "[tex]r[/tex]") representaba la distancia al hilo. Cuando hacés el pase a cartesianas está representado por la dirección ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") si elegís que el hilo esté sobre el eje ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") y te restringís al plano ![[tex]xz[/tex]](images/latex/fe222d44b617bd9a9ee12cdea69f380870cdb2d7_0.png "[tex]xz[/tex]") . La razón por la restricción es que solo vas a circular por el plano de la espira.
Restringirse al plano ![[tex]zr[/tex]](images/latex/5a5165586de5acd9228da1b2bce13eac334e76e0_0.png "[tex]zr[/tex]") significa eliminar (fijando) la coordenada . Pero por simetría cilíndrica podés elegir cualquier valor de y en este caso elegís en donde está la espira. El problema se puede resolver sin hacer el cambio de coordenadas anyways.
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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| Cachengue escribió:
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Tengo una duda en el cambio de coordenadas/versores en el ej 5. El campo del hilo infinito habia quedado mu.i/2pi.R versor theta. En el 5 lo pasas a cartesianos, quedando -mu.i/2pi.x versor k. Supuse que el pase al versor k y el menos lo justificas por regla de mano derecha, pero no entiendo bien por que del r pasas a x. Seguro es una boludez, pero ya estoy limado.
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Buenas,
Me surgió la misma duda, y para verificar que la expresión que escribió es cierta, busqué la expresión del campo vectorial provocado por el alambre infinito, considerando la referencia sugerida (hice Biot-Savart desde 0 con esa ref.). Termina dando B= - mu0 I / 2 PI x k
Saludos,
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Koreano .
Una consulta. En tu resolución del ej. 5, en el tramo 2:
Puede ser que el prod. vectorial dé en el versor j? porque es un i x k
![[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{i}[/tex]](images/latex/bbdfec0813a1b163e8e94a8375e17261c568bfaf_0.png "[tex]\vec{F}_2 = I_2 \int_{d}^{d+b} \frac{\mu_0 I_1 \, dx}{2 \pi x} \hat{i}[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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Claro, y mirando el gráfico del 5 (usando tus referencias), podes decir que fijando el plano sobre xy theta queda fijo en dirección -k y ya estas justificando lo otro.
Una vez mas, muchas gracias!
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jfdato
Nivel 7
Registrado: 08 Nov 2011
Mensajes: 306
Carrera: Agrimensura
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| Una pregunta, en el ejercicio 1. Puede ser que primero hayan planteado z-t, pero luego hayan resuelto con t-z? o hay un paso mágico que me perdí en el camino? ajjaja
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