| Autor |
Mensaje |
Marky
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 09 Sep 2010
Mensajes: 66
|
|
Buenas, tengo un problema con el ejercicio 4 de este coloquio:
http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C22-2-11-RES.pdf
Alguien me explica como llega en la resolución a esto:
| Cita:
|
|
Las líneas de campo son las curvas integrales de la ecuación diferencial exacta (3x^2y^2+y)dx + (2x^3y + x) dy = 0, ya que es evidente que puede escribirse como dG(x, y) = 0, siendo G el campo escalar G: ℝ2→ℝ tal que G(x, y) = x^3y^2 + xy
|
No entiendo por qué las lineas de campo de F son las soluciones de esa ecuación dif. exacta. Creo que es algo básico, pero en la cátedra no llegamos a ver bien diferenciales, asi que estoy en el horno. Se agradece que alguien me saque de la ignorancia de un empujón, en lo posible antes de las 3 de la tarde de hoy  , graciass.
|
|
|
|
|
|
  |
    |
|
nerea
Nivel 3
Registrado: 26 Ago 2008
Mensajes: 32
Ubicación: Mercedes
Carrera: Informática
|
|
Las líneas de campo se obtienen planteando dx/P=dy/Q, siendo P=2x^3y + x
y Q=3x^2y^2+y.
Despejas como más te convenga y obtenés las soluciones. Te va a quedar un K que lo sacás con el punto que te den.
¡Espero que te sirva y que hoy sean buenos con nosotros!
Más genérico sería: Buscar una curva parametrizada por D(t) = (X(t),Y(t)) tal que F(D(t))=k.D'(t) . Lo mismo para R^3.
|
|
|
|
_________________
Y si tu cabeza explota también con oscuros presagios,
nos veremos en el lado oculto de la luna...
I can't think of anything to say except...
I think it's marvelous! HaHaHa
|
|
 |
 |
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
Sale de plantear la ecuación de líneas de campo nomas. O sea ![[tex]\vec{F}\left( \vec{g}(t) \right) = \vec{g}^{\prime}(t)[/tex]](images/latex/1521d07512bac35105cc372a800c5c22ec554a8a_0.png "[tex]\vec{F}\left( \vec{g}(t) \right) = \vec{g}^{\prime}(t)[/tex]") . Esto te dice que el campo evaluado en puntos de esa curva es paralelo al vector tangente de la misma.
Una manera rápida de verlo, ya que estamos en ![[tex]\mathbf{R}^{2}[/tex]](images/latex/2bb889e1cc2b2e6662fbf143fc1e1ee8bd3ed3f0_0.png "[tex]\mathbf{R}^{2}[/tex]") es que para cualquier vector de ese espacio [/tex]](images/latex/bce526b676ee95a4ec8f4a49bc71220c576b4e65_0.png "[tex](a,b)[/tex]") , un vector ortogonal es [/tex]](images/latex/fd9310f3febf9dbeca3365f202e0ab64edcaf4ee_0.png "[tex](-b,a)[/tex]") (intercambias las "patas" y le cambias el signo a una).
De manera que aplicando la misma idea al campo, como dijimos que son paralelos, y sabiendo que el diferencial vectorial de arco de curva se puede escribir como ![[tex]\vec{dl}=(dx,dy)[/tex]](images/latex/1c5474fe21069606ef85439de7d470d2515e1727_0.png "[tex]\vec{dl}=(dx,dy)[/tex]") , es evidente que si ![[tex]\vec{F}(x,y) = \left(P(x,y) , Q(x,y) \right)[/tex]](images/latex/c1a25b87da27cab763451e2f6673e5294653c667_0.png "[tex]\vec{F}(x,y) = \left(P(x,y) , Q(x,y) \right)[/tex]") , entonces ![[tex]\left(-Q(x,y) , P(x,y) \right)\cdot (dx,dy) = 0[/tex]](images/latex/d9de3eccd1ab8726b59d6dfe3324e57a9324b522_0.png "[tex]\left(-Q(x,y) , P(x,y) \right)\cdot (dx,dy) = 0[/tex]") .
Saludos.
|
|
|
|
|
|
   |
|
|
Marky
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 09 Sep 2010
Mensajes: 66
|
|
Uhh buenísimo, gracias a ambos! Tengo que masticarlo un toque, pero por ahí me convendría dormir un rato antes :/, no doy más je.
A ver si este razonamiento esta bien (advierto que es una gran ensalada, producto de lo traumado que me tienen estos temas):
Digamos que hay un campo escalar g de R^2 en R. Esa g tiene un gradiente:
grad(g)=G= (M,N)
Entonces, si tenemos la ecuación diferencial:
[1] M·dx + N·dy =0,
si es exacta, entonces la familia de soluciones está dada por g(x,y)=K ; (y
[1] es exacta porque por ser G un campo de gradientes, la matriz jacobbiana de G es simétrica, luego d/dy(M)=d/dx(N) que es la 'condición de exactitud' si no me equivoco)
Ahora bien, el gradiente de un campo escalar es ortogonal a las curvas de nivel, entonces si G=(M,N), un vector (N,-M) será ortogonal al gradiente y por lo tanto paralelo a la curva de nivel de g, que son las soluciones de [1]. En este caso, la funcion F dada sería (N,-M)
Si esto que dije está bien, entonces el ejercicio se resuelve caminando a contramano de ese razonamiento... sospecho que una parte de mi cerebro lo entendió, pero saldrá a la luz después de dormir.
De nuevo, muchas gracias y éxitos si rinden hoy.
Saludos!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
| |
|
|
|
|
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
