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Guason
Nivel 3
Registrado: 06 Feb 2010
Mensajes: 42
Carrera: Mecánica
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Como hago para resolver este ejercicio:
Analizar la estabilidad del esquema de la rayuela aplicado al siguiente problema.
u'=-u.u u(0)=a
Si tienen algun libro que explique bien lo de consistencia y estabilidad mejor!!!!
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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¿Cuál es la duda puntualmente? No tiene nada de extraño ese ejercicio me parece...
Decís que ![[tex]f = -u^2[/tex]](images/latex/98b0b08a87d10d418221f86a2d0df157113972dd_0.png "[tex]f = -u^2[/tex]") y aplicás rayuela. Después perturbaciones y a encontrar condiciones para h.
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Guason
Nivel 3
Registrado: 06 Feb 2010
Mensajes: 42
Carrera: Mecánica
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| El metodo es U(n+1)=U(n-1)+2K(U(n),T(n)) donde agrego las perturbaciones, solo en U(n+1) y U(n) o tambien en U(n-1)????????????
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Philipos
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 25 May 2008
Mensajes: 43
Ubicación: Cap Fed
Carrera: Informática
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| perturbás U(n-1) tambien. Despues realizas un cambio de variable y te queda un sistema de 2x2 me parece.
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Guason
Nivel 3
Registrado: 06 Feb 2010
Mensajes: 42
Carrera: Mecánica
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| Como es el cambio de variable que decis??? estoy medio perdido que este tema...
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Mirá, te tiro lo que tengo en mente, pero me trabe y necesito ayuda de los más duchos en el tema.
Planteas algo así
![[tex]{u_{n + 1}} = {u_{n - 1}} + 2h{u_n}^2[/tex]](images/latex/4027843b1457c75ab52207be86b814b5e0f5e953_0.png "[tex]{u_{n + 1}} = {u_{n - 1}} + 2h{u_n}^2[/tex]")
![[tex]{u_{n + 1}} + {\varepsilon _{n + 1}} = {u_{n - 1}} + {\varepsilon _{n - 1}} + 2h{\left( {{u_n} + {\varepsilon _n}} \right)^2}[/tex]](images/latex/7e35458dc32403cf895fa115f71cd2be19556bba_0.png "[tex]{u_{n + 1}} + {\varepsilon _{n + 1}} = {u_{n - 1}} + {\varepsilon _{n - 1}} + 2h{\left( {{u_n} + {\varepsilon _n}} \right)^2}[/tex]")
![[tex]{u_{n + 1}} + {\varepsilon _{n + 1}} = {u_{n - 1}} + {\varepsilon _{n - 1}} + 2h({u_n}^2 + 2{\varepsilon _n}{u_n} + {\varepsilon _n}^2)[/tex]](images/latex/f6aaa56cdbb07e6e7eee8b23043b490d724e0458_0.png "[tex]{u_{n + 1}} + {\varepsilon _{n + 1}} = {u_{n - 1}} + {\varepsilon _{n - 1}} + 2h({u_n}^2 + 2{\varepsilon _n}{u_n} + {\varepsilon _n}^2)[/tex]")
Y en este momento es donde vos linealizas y desprecias ciertos términos, los términos elevados al cuadrado consideras que son despreciables, el tema es que nunca hice bien uno así y no tengo mucha idea de como sería bien.
Y para el otro cambio de variables, vos planteas algo del estilo.
![[tex]{\delta _{n + 1}} = {\varepsilon _n}[/tex]](images/latex/82d17816efc0032351b9340399e8b7e7b1fa1cee_0.png "[tex]{\delta _{n + 1}} = {\varepsilon _n}[/tex]")
Entonces,
![[tex]{\varepsilon _{n - 1}} = {\delta _n}[/tex]](images/latex/e3d0fc144660c62cf4a2071ad227a8f9e9652130_0.png "[tex]{\varepsilon _{n - 1}} = {\delta _n}[/tex]")
y de ahí sale el sistemita de 2x2.
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Uh, me comí el menos de ![[tex]u' = - {u^2}[/tex]](images/latex/5ee5b7fb2f6de345299be31ad198e0a608f854e5_0.png "[tex]u' = - {u^2}[/tex]")
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porra87
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 07 Mar 2006
Mensajes: 1223
Ubicación: En Consejo Directivo
Carrera: Civil
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Si, yo también ando perdido con el tema de estabilidad y consistencia. En particular con el método de las perturbaciones.
Cómo hago con el tema de las perturbaciones para un sistema de ecuaciones diferenciales? Por ejemplo:
Dado el sistema de ecuaciones diferenciales
![[tex]\left\{ \begin{array}{ll} u'= -u^2-v^2 \\ v'=-u^4-v^4 \end{array} \right.[/tex]](images/latex/6fec64bc150cefefe159a1d726e715d07ed75ec6_0.png "[tex]\left\{ \begin{array}{ll} u'= -u^2-v^2 \\ v'=-u^4-v^4 \end{array} \right.[/tex]")
con ![[tex] u(0)=1[/tex]](images/latex/4e1333097af7400f13c72ed0f1bd0cde67678f34_0.png "[tex] u(0)=1[/tex]") y ![[tex] v(0)=1[/tex]](images/latex/2e7c936a568f62713c819530b1d82788f15e18b0_0.png "[tex] v(0)=1[/tex]")
Estudiar la estabilidad en el punto ![[tex] t=0[/tex]](images/latex/45b52321c747bab9e2681c1c4c36757ab7895e08_0.png "[tex] t=0[/tex]") por el método de las perturbaciones cuando se aplica el método de Euler explícito.
Ya se que es otro problema y debería ir en otro topic pero creo que si ayudan con uno ayudan con el otro poruqe el problema esta más que anda en el método que no se explica bien en ningún lado.... y Morelli lo toma
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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La consistencia es otro tema, pero para la estabilidad capaz te puede servir éste tópic:
http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=14914
El procedimiento es similar independientemente del esquema que utilicen.
Lo de la consistencia y estabilidad recuerdo haberlo leído y más o menos comprendido en el burden. Lo de las perturbaciones también lo pueden encontrar como criterio de von neumann o análisis de estabilidad de von neumann (digan noiman si no quieren pasar vergüenza como yo, que me quería hacer el canchero y decía niuman)
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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| Pablon escribió:
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Mirá, te tiro lo que tengo en mente, pero me trabe y necesito ayuda de los más duchos en el tema.
Planteas algo así
Y en este momento es donde vos linealizas y desprecias ciertos términos, los términos elevados al cuadrado consideras que son despreciables, el tema es que nunca hice bien uno así y no tengo mucha idea de como sería bien.
Y para el otro cambio de variables, vos planteas algo del estilo.
Entonces,
y de ahí sale el sistemita de 2x2.
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Tal cual, más allá del error de u en vez de -u. La otra cosa es que yo diría que es al revés, planteás y entonces desplazás y usás para armar la matriz que . Está bien explicado en el post que señaló Amintoros.
Con respecto al análisis de primer orden, lo que se hace es despreciar la perturbación al cuadrado frente al término lineal, tal cual como se hace con las relaciones cinemáticas linealizadas, y sólo te quedás con ese. Lo otro que hace ahí es restar miembro a miembro la ecuación, para eliminar las u.
Con respecto a ![[tex]\left\{ \begin{array}{ll} u'= -u^2-v^2 \\ v'=-u^4-v^4 \end{array} \right.[/tex]](images/latex/55a6c7741ac3b25bd91c47d8d67fca318bb9f1fe_0.png "[tex]\left\{ \begin{array}{ll} u'= -u^2-v^2 \\ v'=-u^4-v^4 \end{array} \right.[/tex]") , hoy lo estuvimos charlando pero lo escribo para la primera ecuación el análisis por perturbaciones:
![[tex]u_{n+1} = u_n + h (-u_n^2-v_n^2)[/tex]](images/latex/857ef84df60ecf48584bb53fb48f2d7eb597988b_0.png "[tex]u_{n+1} = u_n + h (-u_n^2-v_n^2)[/tex]") sería el método y aplicar perturbaciones: ![[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} = u_n + \delta_n + h [-(u_n\delta_n)^2-(v_n+\varepsilon_n)^2] [/tex]](images/latex/8a37d49f00dceeee04b48d5d325a729ef26c28c1_0.png "[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} = u_n + \delta_n + h [-(u_n\delta_n)^2-(v_n+\varepsilon_n)^2] [/tex]") ![[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} = u_n + \delta_n + h [-(u_n^2 + 2 u_n \delta_n + \delta_n^2)-(v_n^2+2 v_n \varepsilon_n +\varepsilon_n^2)] [/tex]](images/latex/e6059325aaa9ba2d9a9cdda1b78bc65654392cb5_0.png "[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} = u_n + \delta_n + h [-(u_n^2 + 2 u_n \delta_n + \delta_n^2)-(v_n^2+2 v_n \varepsilon_n +\varepsilon_n^2)] [/tex]")
Y acá desprecio los términos de orden superior:
![[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} \approx u_n + \delta_n + h [-(u_n^2 + 2 u_n \delta_n)-(v_n^2+2 v_n \varepsilon_n)] [/tex]](images/latex/35faf104fcbb503cc35eaace30e8cbd7d7d1e6bc_0.png "[tex]u_{n+1} + \delta_{n+1} \approx u_n + \delta_n + h [-(u_n^2 + 2 u_n \delta_n)-(v_n^2+2 v_n \varepsilon_n)] [/tex]")
Por último descontando la ecuación original (resto miembro a miembro) me queda la primera ecuación:
![[tex]\delta_{n+1} = \delta_n - 2h (u_n \delta_n+2 v_n \varepsilon_n) [/tex]](images/latex/50db1e79431509ac57de40825a64a96a36e2e0a9_0.png "[tex]\delta_{n+1} = \delta_n - 2h (u_n \delta_n+2 v_n \varepsilon_n) [/tex]") , si el sueño no me hace escribir disparates.
La otra ecuación se trata en forma análoga, desarrollando sólo hasta donde me conviene: ^4 = [(u_n + \delta_n)^2]^2 \approx (u_n^2 + 2u_n \delta_n)^2 \approx u_n^4 + 4u_n^2 \delta_n[/tex]](images/latex/068422a2f879cbc7d440c71c78d0b403875017f9_0.png "[tex](u_n + \delta_n)^4 = [(u_n + \delta_n)^2]^2 \approx (u_n^2 + 2u_n \delta_n)^2 \approx u_n^4 + 4u_n^2 \delta_n[/tex]") , o algo así.
Si se fijan eso debería coincidir con el análisis general que se hace en el apunte de Morelli, donde la matriz para Euler explícito tiene un 1 en ![[tex]g_{11}[/tex]](images/latex/33d5fa0118138e13723020a3fd5c2ba9f7ec3adc_0.png "[tex]g_{11}[/tex]") y ![[tex]g_{12} = h (f'_u + f'_v)[/tex]](images/latex/e2da18f6dcddfe04c09a6c12bac1b50f8b976f05_0.png "[tex]g_{12} = h (f'_u + f'_v)[/tex]") o algo así...
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
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Carrera: Informática
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| 4WD escribió:
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| Pablon escribió:
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Mirá, te tiro lo que tengo en mente, pero me trabe y necesito ayuda de los más duchos en el tema.
Planteas algo así
Y en este momento es donde vos linealizas y desprecias ciertos términos, los términos elevados al cuadrado consideras que son despreciables, el tema es que nunca hice bien uno así y no tengo mucha idea de como sería bien.
Y para el otro cambio de variables, vos planteas algo del estilo.
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y de ahí sale el sistemita de 2x2.
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Tal cual, más allá del error de u en vez de -u. La otra cosa es que yo diría que es al revés, planteás y entonces desplazás y usás para armar la matriz que . Está bien explicado en el post que señaló Amintoros.
Con respecto al análisis de primer orden, lo que se hace es despreciar la perturbación al cuadrado frente al término lineal, tal cual como se hace con las relaciones cinemáticas linealizadas, y sólo te quedás con ese. Lo otro que hace ahí es restar miembro a miembro la ecuación, para eliminar las u.
Con respecto a , hoy lo estuvimos charlando pero lo escribo para la primera ecuación el análisis por perturbaciones:
sería el método y aplicar perturbaciones:
Y acá desprecio los términos de orden superior:
Por último descontando la ecuación original (resto miembro a miembro) me queda la primera ecuación:
, si el sueño no me hace escribir disparates.
La otra ecuación se trata en forma análoga, desarrollando sólo hasta donde me conviene: , o algo así.
Si se fijan eso debería coincidir con el análisis general que se hace en el apunte de Morelli, donde la matriz para Euler explícito tiene un 1 en y o algo así...
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Muy bueno che, pero me quede con una duda, en todos los ejemplos en donde armamos la matriz de perturbaciones, los coeficientes que multiplican a ![[tex]{\varepsilon _n}[/tex]](images/latex/40d45f5025300679013d83ad4bab6093bc394a77_0.png "[tex]{\varepsilon _n}[/tex]") son números y para armar la matriz no hay drama, pero que pasa ante estas situaciones con la matriz, donde queda multiplicado por una variable:
![[tex]{\varepsilon _{n + 1}} = {\varepsilon _n} - 2h({u_n}{\varepsilon _n})[/tex]](images/latex/3d53b546cae8851840411fec7460aff86251d62b_0.png "[tex]{\varepsilon _{n + 1}} = {\varepsilon _n} - 2h({u_n}{\varepsilon _n})[/tex]")
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Amintoros
Nivel 8
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Carrera: Química
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Eso sólo significa que la condición de estabilidad depende también del punto en donde estés parado. En el caso en que tengas que analizar la estabilidad en todo el dominio, vas chequeando que se cumpla la condición en todos los puntos, y si en alguno no cumple arrancás otra vez, con otro paso, hasta que logres la estabilidad en todo el dominio.
Pero en este problema piden analizar la estabilidad en t=0, y ya conocés cuánto valen u_n y v_n en ese punto.
edit:
Siguiendo en la línea de 4WD, el sistema me quedó
![[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+h(-2u_{n}) &h(-2v_{n}) \\ h(-4u_{n}^{3}) &1+h(-4v_{n}^{3}) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/a6fbdcd7aad5b10796afb9527335af78160b66cc_0.png "[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+h(-2u_{n}) &h(-2v_{n}) \\ h(-4u_{n}^{3}) &1+h(-4v_{n}^{3}) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]")
Nunca vi esa identificación con las derivadas (morelli y sus generalizaciones), creo que en este caso quedaría así
![[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+hf_{u}^{'} &hf_{v}^{'} \\ hg_{u}^{'} &1+hg_{v}^{'} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/f80064bcacb73374a13401046f4940366accc786_0.png "[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+hf_{u}^{'} &hf_{v}^{'} \\ hg_{u}^{'} &1+hg_{v}^{'} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]")
Que no haya un 1 en las posiciones 11 y 22 se puede deber a que el problema no es lineal ni se pudo linealizar (bah, por ahí le pifié en alguna cuenta y dan 1).
Poniendo ![[tex]u_{0}=1[/tex]](images/latex/da179b30ffdb5c3a56e61fe4b4e0f05ed3b5fe82_0.png "[tex]u_{0}=1[/tex]") y ![[tex]v_{0}=1[/tex]](images/latex/e3dc8fe900b8e7d6687299d79066fdae31479118_0.png "[tex]v_{0}=1[/tex]") resulta
![[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-2h &-2h \\ -4h &1-4h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/f40fa06cee0cebf3def4295672a10ffde53718bf_0.png "[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-2h &-2h \\ -4h &1-4h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]")
El wolfram proporciona ![[tex]\lambda_{1}=1[/tex]](images/latex/e80829861bf82c09b73a5331d6fa4f340d272878_0.png "[tex]\lambda_{1}=1[/tex]") y ![[tex]\lambda_{2}=1-6h[/tex]](images/latex/e0dadcf7196b0fb3a7b71efcee5e04e6a2f6d547_0.png "[tex]\lambda_{2}=1-6h[/tex]") , con lo cual ![[tex]0<h<\frac{1}{3}[/tex]](images/latex/58c96287ac8c2c12b1f5cda20e71f2e475261d50_0.png "[tex]0<h<\frac{1}{3}[/tex]") , para ![[tex]t=0[/tex]](images/latex/26cc3b854a7ffec0356f08d0f2dea9e0937834e9_0.png "[tex]t=0[/tex]") .
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| Elmo Lesto escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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4WD
Administrador
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| Pablon escribió:
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Muy bueno che, pero me quede con una duda, en todos los ejemplos en donde armamos la matriz de perturbaciones, los coeficientes que multiplican a son números y para armar la matriz no hay drama, pero que pasa ante estas situaciones con la matriz, donde queda multiplicado por una variable:
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Es como te contestó Amintoros 
Al respecto, hay un ejercicio de la guía 7 (por el 7 creo) que te pide verificar la condición para cada uno de los pasos de cálculo...
| Amintoros escribió:
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Nunca vi esa identificación con las derivadas (morelli y sus generalizaciones), creo que en este caso quedaría así
![[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+hf_{u}^{'} &hf_{v}^{'} \\ hg_{u}^{'} &1+hg_{v}^{'} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/fbbaa6503ab03b66dadadb6593e986596db00540_0.png "[tex]\begin{bmatrix}\delta _{n+1}\\ \varepsilon _{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+hf_{u}^{'} &hf_{v}^{'} \\ hg_{u}^{'} &1+hg_{v}^{'} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta _{n}\\ \varepsilon _{n}\end{bmatrix}[/tex]")
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Me refería a esto (y Morelli también). Lo dije de memoria, mal... era parecido, sólo que las derivadas estaban separadas en las componentes...
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porra87
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 07 Mar 2006
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Carrera: Civil
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| Muchas gracias a ambos. Creo que ya entendí el tema y espero no pasar vergüenza mañana en el final jaja.
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Guason
Nivel 3
Registrado: 06 Feb 2010
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Carrera: Mecánica
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Gracias a todos ya entendi bastante.
Como hago en los problemas que no son lineales, por ejemplo como este que dice:
p'=a+bp+raiz(p)
a) Discretizar utilizando el metodo de euler (explicito)
b) Determinar la condicion de estabilidad del metodo numerico
Como hago con las perturbaciones de la raiz cuadrada??
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