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JJAIME
Nivel 2
Registrado: 30 Jun 2011
Mensajes: 9
Ubicación: Berazategui
Carrera: Electrónica
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hola
estube tratando de resolver el ejercicio del integrado que dice:
Sea A perteneciente a C2*2 con 2 ava distintos. Probar que si B pertenece a C2*2 es tal que AB =BA, entonces B es diagonalizable.
hay una propiedad que dice que dos matrices diagonalizables A y B, son conmutables (AB = BA) si sólo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).
si alguien me puede ayudar muchas gracias
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julia.gambuzzi
Nivel 2
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 9
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Si vos sabes que , multiplicando a la izquierda por la matriz B te queda que es lo mismo (porque conmutan) que . Entonces el vector también es AVE de A.
Pero si este vector es AVE de A asociado a ese AVA, necesariamente está contenido en el autoespacio generado por . Entonces, necesariamente tiene que ser . De donde es también AVE de la matriz B.
Para el otro AVA se hace lo mismo, como los vectores provienen de AVAS distintos, entonces son LI, por lo que B es diagonalizable.
Saludos
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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julia.gambuzzi escribió:
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Esto esta mal, los autovalores no tienen porque ser los mismos. La diagonal es diferente. Nunca te quedaría D cuadrado.
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Don Cangrejo
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 608
Ubicación: por ahí...
Carrera: Electrónica
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pwagma escribió:
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julia.gambuzzi escribió:
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Esto esta mal, los autovalores no tienen porque ser los mismos. La diagonal es diferente. Nunca te quedaría D cuadrado.
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No, es mas, dice que son diferentes, eso permite que la coincida la multiplicidad Geo y Alg para cada AVL.
Bueno, usando eso se puede hacer lo siguiente:
B es diagonalizable.
Si en algun lado meti la pata, por favor corrijanme.
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