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G
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Hola ¿qué tal? Ando preparandome para el coloquio de AMII y empecé por este final que me trajo bastantes dudas, sobretodo en el punto 5a).
El final al que me refiero es este (con la resolución de Acero): http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C13-7-10-RES.pdf
Bien, yo inicialmente intenté hacerlo usando coordenadas cilíndricas, después probé con esféricas (recomendación de Acero) y finalmente traté de entender lo que hizo él. Llegué a resultados distintos y en algunos casos no llegué a nada.
Un par de aclaraciones, primero que obviamente puede haber problemas de cálculo, segundo pido perdòn por como tuve que dejar expresadas las fòrmulas pero intenté usar el MathType 6 y no hubo caso a la hora de traerlo para acá. Terminé usando el editor del Word, por lo tanto, cuando dice "ecuación" la van a encontrar al final.
Paso a mostrarles que hice (siempre hablando del 5a):
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Las ecuaciones que definen la superficie son:
S = {(x, y, z)ℝ3: x2 + y2 + z2 = 4 a2, (x—a)2 + y2 ≤ a2, z>0 }.
Esféricas: parametrice
S(![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") ,![[tex]\varphi[/tex]](images/latex/da4d6aded20e77826ad865db0c2c3010e1bae2d1_0.png "[tex]\varphi[/tex]") )=(2acos()sin();2asin()sin();2acos())
N=(-4(a^2)cos()sin^2();-4(a^2)sin()sin^2();-4(a^2)sin()cos())
Es decir, usé una paramatrización común de esféricas con p=2a sacado de la ecuación de la esfera. N es la normal que obtuve al derivar y hacer el producto entre derivadas. Haciendo la norma de la normal me viene la primer duda, llego a esto:
(1)ecuación.
La duda acá es si está bien sacar la raiz así sin más, sin poner módulos, pasa que si pongo módulos no se bien que hacer con ellos en la integral. Finalmente la integral me queda:
(2)ecuación.
Lo límites elegidos los puse porque Acero así lo recomienda, dice en la pag: "La bóveda también puede definirse en coordenadas esféricas en el primer octante como los puntos para las cuales es p = 2a, con 0<<<![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") /2 (los sìmbolos son menor o igual)." Supongo que al estar la superficie en los dos primero octantes hay que multiplicar la el resultado por 2 ¿no es asi? De todas formas, no llegaría al resultado buscado.
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Cilíndricas: parametrice
S(,z)=(2acos()^2;asen(2);z)
N=(2acos(2);2asen(2);0)
||N||=2a
En este caso despejé "p" de la ecuaciòn del cilindro y queda p=2acos() es por eso que asì quedan x e y.
Acá la duda está a la hora de definir los límites, para elegí entre 0 y pi (porque son solo los 2 primeros octantes) y a "z" la despejé de la ecuación de la esfera que me queda:
(3) Ecuación.
Bueno ahi el tema es que nuevamente no se si puedo pasar de la identidad de la raiz al seno al cuadrado, y después sacar la raíz. Entonces la integral me queda:
(4)Ecuación.
Como se puede ver tampoco es el resultado y ni siquiera es igual al que obtuve con cilíndricas.
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Bueno bien todo esto para mostrarles un poco lo que yo intenté hacer y los problemas que tuve. Ya se que hay un post sobre este coloquio, lo lei todo y no encontré ninguna respuesta que diga como hacerlo con esféricas y cilíndricas, salvo una respuesta de Bistek en la primer página que propone una parametrización distinta a la mia del cilindro (en función de p y theta) pero la norma de la normal que obtiene a mi no me da lo que a él le da. De todas formas intenté hacerlo con el esquema que propone aplicando mis límites de integración (son temas de final diferentes por lo tanto difieren un poco) pero tampoco me dio.
Del modo que lo hace Acero y que también explica en la página 5 Jackson666 algo entendí. Se que usa la norma del gradiente porque es la norma del vector normal pero no entiendo porque necesita dividir por la derivada respecto de z.
Dejo el post entero: http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=14846&postdays=0&postorder=asc&start=0
En concreto lo que quiero saber es: cual es el problema con mis caminos usando esféricas y cilíndricas, como sería la forma correcta de hacerlo con ambas coordenadas y porque es necesario dividir por la derivada respecto de z en el método que usa Acero. .
Bueno eso es todo, si no entienden algo me chiflan. Desde ya muchas gracias!
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Jackson666
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No revise las cuentas en profundidad, pero te olvidaste el Jacobiano del cambio de variables en ambas integrales.
Y por cierto, si te fijas, en el post mío que citas, estaba mal calculada la norma del gradiente (no le puse la raíz).
La deducción de esa integral viene a partir del teorema de Cauchy-Dini para implícitas.
Suponete que vos tenes una cierta función ![[tex]G(x,y,z)[/tex]](images/latex/55e5d883c9d7a85619772597774c0a84327adc24_0.png "[tex]G(x,y,z)[/tex]") cuyo conjunto de nivel 0 es la superficie a la cual le queres hallar el área. También supone que se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy-Dini y se puede decir que ![[tex]z=z(x,y)[/tex]](images/latex/ed42368ffa83de53c2052b9f13ace78175d7d4e7_0.png "[tex]z=z(x,y)[/tex]") . Una parametrización inmediata de la superficie es ![[tex]\vec{\Gamma}(x,y) = (x,y,z(x,y))[/tex]](images/latex/05b314123f13f33e923af720285c56fdd32c4902_0.png "[tex]\vec{\Gamma}(x,y) = (x,y,z(x,y))[/tex]") . El vector normal a la superficie (imagino que sabras como se logra) es ![[tex]\hat{n}(x,y)=(-z^{\prime}_{x}, -z^{\prime}_{y}, 1) \neq \vec{0}[/tex]](images/latex/7a5ea35da5ff1ebed402acd333a3ef9d59790329_0.png "[tex]\hat{n}(x,y)=(-z^{\prime}_{x}, -z^{\prime}_{y}, 1) \neq \vec{0}[/tex]") .
Pero a través del teorema que mencione esto es lo mismo que ![[tex]\hat{n}(x,y)= \left( \frac{G^{\prime}_{x}}{G^{\prime}_{z}}, \frac{G^{\prime}_{y}}{G^{\prime}_{z}}, 1 \right)[/tex]](images/latex/4f8cd2dd40ab66ad509b65a1f555004f76a06315_0.png "[tex]\hat{n}(x,y)= \left( \frac{G^{\prime}_{x}}{G^{\prime}_{z}}, \frac{G^{\prime}_{y}}{G^{\prime}_{z}}, 1 \right)[/tex]") . Sacando de factor común la derivada del denominador, se tiene que ![[tex]\hat{n}(x,y)= \frac{1}{G^{\prime}_{z}}\left(G^{\prime}_{x}, G^{\prime}_{y}, G^{\prime}_{z} \right) = \frac{\nabla G}{G^{\prime}_{z}}[/tex]](images/latex/23673d631bf75ad1ef24c411d5eaacdd8ab5dfac_0.png "[tex]\hat{n}(x,y)= \frac{1}{G^{\prime}_{z}}\left(G^{\prime}_{x}, G^{\prime}_{y}, G^{\prime}_{z} \right) = \frac{\nabla G}{G^{\prime}_{z}}[/tex]") . Y de ahí esa "cosa" que aparece en la integral.
Saludos.
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Última edición por Jackson666 el Sab Jul 16, 2011 3:08 pm, editado 1 vez
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G
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Hola Jackson, gracias por la respuesta. Ahora si entendí, no me di cuenta que se aplicaba implícitas. Si te fijás el resultado que te dio 4pi(a^2) es el que me da a mi usando esfèricas, a mi me da 2pi(a^2) pero eso hay que multiplicarlo por dos, asi que bueno mejor. Por el tema del jacobiano, no lo pongo porque no estoy haciendo cambio de variables, estoy parametrizando directamente usando coordenadas o cilìndricas o esfèricas.
Como no me deja editar aprovecho para agregar un par de cosas. Cuando hice los ejercicios tenía en mente (no se porque) que el corrimiento era en el eje y, pero es en x.
Leyendo un resuelto de las guias (1c de la guia IX) me di cuenta que en ambos casos la integral se hace para theta entre 0 y pi/2 ya que en ese octante el seno y el coseno son positivos y ahi safamos con el tema de sacar las raices. Es decir, trabajamos en el primer octante y despuès multiplicamos por 2 para obtener el àrea.
Entonces para cilìndricas me confundí, el límite de theta es de 0 a pi/2 y todo eso multiplicado por 2 y te termina dando lo mismo (8(a^2)). Esto es congruente con el resuelto mio donde dice que el àrea del cilindro, para un cilindro que no vaya de z=0 a la esfera, sino que varíe entre el casquete de abajo y el de arriba de la esfera es 16(a^2), como nosotros calculamos la mitad de ese cilindro nuestra àrea està bien que de 8(a^2).
O sea que con cilìndricas me da como Jackson y con esféricas me da como en el resuelto del ejercicio 1c) de la guia IX, pero lo que todavìa no entiendo es porque ambos resuletados son distintos a los que les da a Acero!
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Jackson666
Nivel 9
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Si, tenes razón, me había quedado con la idea de que se había hecho un cambio de variables al editar mi post y me confundí 
La verdad que ni idea, pero la resolución de Acero está bien. Tratá de seguir los pasos de a uno y compará con lo que estas haciendo a ver en qué le estas pifiando...
Saludos.
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Huey 7
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| G escribió:
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En concreto lo que quiero saber es: cual es el problema con mis caminos usando esféricas y cilíndricas, como sería la forma correcta de hacerlo con ambas coordenadas y porque es necesario dividir por la derivada respecto de z en el método que usa Acero.
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Lo último lo contestó Jackson666, así que veamos el resto.
1) COORDENADAS ESFÉRICAS
Veo que el coloquio y tu resolución usan la nomenclatura ![[tex]\textstyle \rho \mbox{, } \theta \mbox{ y } \varphi[/tex]](images/latex/ef880477971bdc4cd7cd6e2c2b80ac9f1f06122d_0.png "[tex]\textstyle \rho \mbox{, } \theta \mbox{ y } \varphi[/tex]") con las fórmulas de pasaje ![[tex]\textstyle x = \rho\cos\theta\sen\varphi \mbox{, } y = \rho\sen\theta\sen\varphi \mbox{ y } z = \rho\cos\varphi[/tex]](images/latex/a0c45ee624826b64f25671fe36d39295c5da5979_0.png "[tex]\textstyle x = \rho\cos\theta\sen\varphi \mbox{, } y = \rho\sen\theta\sen\varphi \mbox{ y } z = \rho\cos\varphi[/tex]") (raro, no es a lo que estoy acostumbrado), así que uso ésa.
La ecuación ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2[/tex]](images/latex/c57ce21553ba14bb8ecfa0ec482afc5f2478527a_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2[/tex]") se transforma en ![[tex]\textstyle \rho = 2a[/tex]](images/latex/f9b6b8a5f9caaafd80c0589e0fd17ac87fe5536a_0.png "[tex]\textstyle \rho = 2a[/tex]") ; tu parametrización de la superficie y tu integrando (![[tex]\textstyle 4a^2\sen\varphi[/tex]](images/latex/f48e839b0572b787413708162c2bcc949522fd8c_0.png "[tex]\textstyle 4a^2\sen\varphi[/tex]") ) son correctos, pero no tus límites de integración.
![[tex]z = \rho\cos\varphi > 0\ \Rightarrow\ \cos\varphi > 0\ \Rightarrow\ 0 \leq \varphi < \pi/2[/tex]](images/latex/7435f3f79159a6cdb9db6e8199b3d042b75a3067_0.png "[tex]z = \rho\cos\varphi > 0\ \Rightarrow\ \cos\varphi > 0\ \Rightarrow\ 0 \leq \varphi < \pi/2[/tex]")
No entiendo la nota al pie sobre los límites de integración que puso Acero en su resolución ; lo pensé de la siguiente manera. La inecuación ![[tex]\textstyle (x - a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \leq a^2[/tex]](images/latex/0a0ae112a2b2ef8084085760b0e33e306fb8bbae_0.png "[tex]\textstyle (x - a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \leq a^2[/tex]") pasada a esféricas y reemplazando se trasforma en:
![[tex]\rho^2\sen^2\varphi - 2a\rho\cos\theta\sen\varphi + a^2 = a^2[1 + 4\sen\varphi(\sen\varphi - \cos\theta)] \leq a^2[/tex]](images/latex/e4a76764795e7f650e6ae794ef8734c4679408cd_0.png "[tex]\rho^2\sen^2\varphi - 2a\rho\cos\theta\sen\varphi + a^2 = a^2[1 + 4\sen\varphi(\sen\varphi - \cos\theta)] \leq a^2[/tex]")
que se cumple cuando ![[tex]\textstyle \sen\varphi - \cos\theta \leq 0[/tex]](images/latex/ecf87c776f331d51c273838d390189ebc09786a7_0.png "[tex]\textstyle \sen\varphi - \cos\theta \leq 0[/tex]") . La igualdad se cumple cuando ![[tex]\textstyle \sen\varphi = \cos\theta = \sen(\pi/2 + \theta)[/tex]](images/latex/b71b238f1007c5e03a3795571b8c6bbbab66e634_0.png "[tex]\textstyle \sen\varphi = \cos\theta = \sen(\pi/2 + \theta)[/tex]") . Recordando que las soluciones a la ecuación ![[tex]\textstyle \sen x = y \mbox{ para } 0 < y < 1[/tex]](images/latex/c4b373c4b850757b51d898b76b8cd3a4ac961b5e_0.png "[tex]\textstyle \sen x = y \mbox{ para } 0 < y < 1[/tex]") son de la forma ![[tex]\textstyle x = \arcsen y + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsen y + 2k\pi[/tex]](images/latex/ac8ba1ab5ae8c79e27ff11956145772bf038bfed_0.png "[tex]\textstyle x = \arcsen y + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsen y + 2k\pi[/tex]") , siendo k cualquier entero, esto implica que ![[tex]\textstyle \theta = \pi/2 - \varphi \vee \theta = 3\pi/2 + \varphi[/tex]](images/latex/8dd3d1a8d082e128041a8f140d94324e1f52c927_0.png "[tex]\textstyle \theta = \pi/2 - \varphi \vee \theta = 3\pi/2 + \varphi[/tex]") , puesto que son las dos soluciones que cumplen ![[tex]\textstyle 0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/6ec5e055109753dcf2bfb29c7069f87f38d2bd2e_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]") . Sabiendo eso, la desigualdad se cumple entonces para ![[tex]\textstyle 0 \leq \theta \leq \pi/2 - \varphi \vee 3\pi/2 + \varphi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/6f46a8b2961dd9664adeaf4382477d2031af696d_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq \theta \leq \pi/2 - \varphi \vee 3\pi/2 + \varphi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]") . Planteando la integral:
![[tex]A = 4a^2 \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi \int_0^{\frac{\pi}{2} - \varphi}d\theta +\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi \int_{\frac{3\pi}{2} + \varphi}^{2\pi}d\theta \right ) =[/tex]](images/latex/07a283aba54fb7b4c449d553dcc4ddecda2de5ad_0.png "[tex]A = 4a^2 \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi \int_0^{\frac{\pi}{2} - \varphi}d\theta +\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi \int_{\frac{3\pi}{2} + \varphi}^{2\pi}d\theta \right ) =[/tex]")
![[tex]= 4a^2 \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left ( \frac{\pi}{2} - \varphi \right ) \sen\varphi d\varphi +\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left ( 2\pi - \frac{3\pi}{2} - \varphi \right ) \sen\varphi d\varphi \right ] =[/tex]](images/latex/5778e7b85ab47ed406827824fb4d64e690af2946_0.png "[tex]= 4a^2 \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left ( \frac{\pi}{2} - \varphi \right ) \sen\varphi d\varphi +\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left ( 2\pi - \frac{3\pi}{2} - \varphi \right ) \sen\varphi d\varphi \right ] =[/tex]")
![[tex]= 4a^2 \left ( \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \varphi\sen\varphi d\varphi \right ) =4a^2 \left ( \pi + 2 \varphi\cos\varphi | _0^{\frac{\pi}{2}} - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi d\varphi \right ) =[/tex]](images/latex/142f398976804fa1c873fbf9c8af1fc00cfa5cb1_0.png "[tex]= 4a^2 \left ( \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen\varphi d\varphi - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \varphi\sen\varphi d\varphi \right ) =4a^2 \left ( \pi + 2 \varphi\cos\varphi | _0^{\frac{\pi}{2}} - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi d\varphi \right ) =[/tex]")
![[tex]= 4a^2 (\pi - 2)[/tex]](images/latex/a3e59c913780ec731d0c9a402d5abd74034f7ae0_0.png "[tex]= 4a^2 (\pi - 2)[/tex]")
2) COORDENADAS CILÍNDRICAS
Veo que el coloquio usa la nomenclatura ![[tex]\textstyle r \mbox{, } \theta \mbox{ y } z[/tex]](images/latex/8134df4451c46039a8b5c048d1c4377e684f4e6b_0.png "[tex]\textstyle r \mbox{, } \theta \mbox{ y } z[/tex]") con las fórmulas de pasaje ![[tex]\textstyle x = r\cos\theta \mbox{ y } y = r\sen\theta[/tex]](images/latex/c0326cd3b78c74182445aa461b5fb913d45ef07d_0.png "[tex]\textstyle x = r\cos\theta \mbox{ y } y = r\sen\theta[/tex]") (tampoco es a lo que estoy acostumbrado), así que también uso ésa.
La ecuación se transforma en ![[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2\ \Rightarrow\ r = \sqrt{4a^2 - z^2}[/tex]](images/latex/5e521c54010ee2cc28793197a3dbef9a19994144_0.png "[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2\ \Rightarrow\ r = \sqrt{4a^2 - z^2}[/tex]") . Tu parametrización no es correcta, y tampoco la normal que obtuviste con ella, pero, curiosamente, te dio bien su norma:
![[tex]S(\theta, z) = (\cos\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, \sen\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, z)[/tex]](images/latex/838160d681896394ea3522dbe0547b3da653ddbe_0.png "[tex]S(\theta, z) = (\cos\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, \sen\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, z)[/tex]")
![[tex]N(\theta, z) = \left ( r\cos\theta, r\sen\theta, -r\frac{dr}{dz}(\cos^2\theta + \sen^2\theta) \right ) = (\cos\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, \sen\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, z)[/tex]](images/latex/08aeea2c69a299d691e845a006b5d8419ef2d770_0.png "[tex]N(\theta, z) = \left ( r\cos\theta, r\sen\theta, -r\frac{dr}{dz}(\cos^2\theta + \sen^2\theta) \right ) = (\cos\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, \sen\theta\sqrt{4a^2 - z^2}, z)[/tex]")
![[tex]\|N(\theta, z)\| = \sqrt{4a^2 - z^2 + z^2} = 2a[/tex]](images/latex/a1f39448f58494cec6a597846350ba4e3e051c18_0.png "[tex]\|N(\theta, z)\| = \sqrt{4a^2 - z^2 + z^2} = 2a[/tex]")
Pero nuevamente no están bien tus límites de integración. La inecuación pasada a cilíndricas se trasforma en:
![[tex]r^2 - 2ar\cos\theta + a^2 = r(r - 2a\cos\theta) + a^2 \leq a^2[/tex]](images/latex/6da997e58427f072f6a1f2b2130a4c381ded039f_0.png "[tex]r^2 - 2ar\cos\theta + a^2 = r(r - 2a\cos\theta) + a^2 \leq a^2[/tex]")
que se cumple cuando ![[tex]\textstyle r(r - 2\cos\theta) \leq 0[/tex]](images/latex/6b4e2890e60c5e0aeb0752be9e80b93df8fff043_0.png "[tex]\textstyle r(r - 2\cos\theta) \leq 0[/tex]") , es decir, cuando ![[tex]\textstyle 0 \leq r \leq 2a\cos\theta[/tex]](images/latex/6469c6febea9574af43d635afff165019f501781_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq r \leq 2a\cos\theta[/tex]") . Esto implica que ![[tex]\textstyle \cos\theta > 0\ \Rightarrow\ 0 \leq \theta < \pi/2 \vee 3\pi/2 < \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/2724f624f1f65b1626dc6a35882fbf850b847e67_0.png "[tex]\textstyle \cos\theta > 0\ \Rightarrow\ 0 \leq \theta < \pi/2 \vee 3\pi/2 < \theta \leq 2\pi[/tex]") . Como ![[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2\ \Rightarrow\ 2a|\sen\theta| \leq z \leq 2a[/tex]](images/latex/65a7dea4a19e57ded62b83033a8e37bb53df9fdd_0.png "[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2\ \Rightarrow\ 2a|\sen\theta| \leq z \leq 2a[/tex]") . Planteando la integral:
![[tex]A = 2a \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{2a|\sen\theta|}^{2a} dz + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2a|\sen\theta|}^{2a} dz \right ) =[/tex]](images/latex/aca4704cd8b1ce46c48018b8bec24237de2c50dc_0.png "[tex]A = 2a \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{2a|\sen\theta|}^{2a} dz + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2a|\sen\theta|}^{2a} dz \right ) =[/tex]")
![[tex]= 2a \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2a(1 - |\sen\theta|) d\theta +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} 2a(1 - |\sen\theta|)d\theta \right ][/tex]](images/latex/2b5c6c40cb91671b4db314841241b6517a367058_0.png "[tex]= 2a \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2a(1 - |\sen\theta|) d\theta +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} 2a(1 - |\sen\theta|)d\theta \right ][/tex]")
Como ![[tex]\textstyle \sen\theta \geq 0 \mbox{ para } 0 \leq \theta < \pi/2 \mbox{ y } \sen\theta \leq 0 \mbox{ para } 3\pi/2 < \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/f42803e1db23da92701d66167d1d62cfe9de7cdf_0.png "[tex]\textstyle \sen\theta \geq 0 \mbox{ para } 0 \leq \theta < \pi/2 \mbox{ y } \sen\theta \leq 0 \mbox{ para } 3\pi/2 < \theta \leq 2\pi[/tex]") :
![[tex]A = 4a^2 \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sen\theta) d\theta +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} (1 + \sen\theta)d\theta \right ] =[/tex]](images/latex/aaff237da8b3c6f14e89d3574d1616ce988e1196_0.png "[tex]A = 4a^2 \left [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sen\theta) d\theta +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} (1 + \sen\theta)d\theta \right ] =[/tex]")
![[tex]= 4a^2 \left (\frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{2} - 1 \right ) = 4a^2(\pi - 2)[/tex]](images/latex/64463ebc93bacfbb2edc2df72ac0df3c495091b0_0.png "[tex]= 4a^2 \left (\frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{2} - 1 \right ) = 4a^2(\pi - 2)[/tex]")
Esto fue 100 formas de calcular el área de la bóveda de Viviani, espero que les haya gustado. Chau 
EDIT: Corrección de un signo
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G
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 03 Abr 2011
Mensajes: 53
Ubicación: The Matrix
Carrera: Industrial
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| Huey 7 escribió:
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No entiendo la nota al pie sobre los límites de integración que puso Acero en su resolución ; lo pensé de la siguiente manera. La inecuación pasada a esféricas y reemplazando se trasforma en:
que se cumple cuando . La igualdad se cumple cuando . Recordando que las soluciones a la ecuación son de la forma , siendo k cualquier entero, esto implica que , puesto que son las dos soluciones que cumplen . Sabiendo eso, la desigualdad se cumple entonces para .
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No entiendo muy bien como encontrás los límites. Lo releí un par de veces pero no logro entender como se pasa de las soluciónes sen x=y a los límites que vos hallás. Perdona jaja, se que la explicación seguramente está perfecta pero no lo logro ver.
En cuanto a cilíndricas ¿Estás seguro que no está bien parametrizado?¿Por qué no?. Yo lo pensé así, como trabajo sobre el cilindro entonces despejo el radio de la ecuación del mismo, poniendo ese radio que obtuve y usando coordenadas cilíndricas consigo la parametrización. En cuanto a los límites planteo el ángulo en el que varía (que lo puse mal en el dibukito, y la z variando entre 0 y la esfera.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| G escribió:
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No entiendo muy bien como encontrás los límites. Lo releí un par de veces pero no logro entender como se pasa de las soluciónes sen x=y a los límites que vos hallás. Perdona jaja, se que la explicación seguramente está perfecta pero no lo logro ver.
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OK, ¿hasta el planteo de despejar ![[tex]\textstyle \theta[/tex]](images/latex/3230c61bde6691c31c6758424daa57765f256532_0.png "[tex]\textstyle \theta[/tex]") de la ecuación ![[tex]\textstyle \sen(\pi/2 + \theta) = \sen\varphi[/tex]](images/latex/285de05e9efe02213c999cb5c6b8a6cc69c3bc4a_0.png "[tex]\textstyle \sen(\pi/2 + \theta) = \sen\varphi[/tex]") entendiste? Suponiendo que así sea, eso es resolver una ecuación de la forma sen x = y, donde x es ![[tex]\textstyle \pi/2 + \theta[/tex]](images/latex/0152a210e902b26e45a5666cc0711d8a92ddb6e6_0.png "[tex]\textstyle \pi/2 + \theta[/tex]") e y es ![[tex]\textstyle \sen\varphi[/tex]](images/latex/265f4ec8b48cee251cb5503bcaa9938de0360b28_0.png "[tex]\textstyle \sen\varphi[/tex]") . Entonces la primera familia de soluciones es:
![[tex]x = \arcsen y + 2k\pi[/tex]](images/latex/2e6e3f6de74e60c63dee61902c29aa7621010215_0.png "[tex]x = \arcsen y + 2k\pi[/tex]")
Reemplazando x e y por lo que son en este problema, y recordando que ![[tex]\textstyle \arcsen(\sen \varphi) = \varphi \mbox{ puesto que } 0 \leq \varphi < \pi/2[/tex]](images/latex/a60c8553ccbf03e424b5df698145e79271aa6011_0.png "[tex]\textstyle \arcsen(\sen \varphi) = \varphi \mbox{ puesto que } 0 \leq \varphi < \pi/2[/tex]") , queda:
![[tex]\frac{\pi}{2} + \theta = \arcsen(\sen \varphi) + 2k\pi[/tex]](images/latex/62ea76713fdb1c93e2be27eb17bb1680a7304ab1_0.png "[tex]\frac{\pi}{2} + \theta = \arcsen(\sen \varphi) + 2k\pi[/tex]")
![[tex]\theta = 2k\pi + \varphi - \frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/95640afc6fc9ac6483f8e0c5575b161babbfce17_0.png "[tex]\theta = 2k\pi + \varphi - \frac{\pi}{2}[/tex]")
Pero debe estar entre ![[tex]\textstyle 0 \mbox{ y } 2\pi[/tex]](images/latex/eda20c482dc2441505a30da9ff2bcecdc9a2573b_0.png "[tex]\textstyle 0 \mbox{ y } 2\pi[/tex]") , y la única solución de esa familia que cumple esto es la de k = 1, es decir:
![[tex]\theta = 3\pi/2 + \varphi[/tex]](images/latex/a50176ccded6887a78a9774d58e351e9244315da_0.png "[tex]\theta = 3\pi/2 + \varphi[/tex]")
La segunda familia de soluciones es:
![[tex]x = \pi - \arcsen y + 2k\pi[/tex]](images/latex/e9dd6d5539b976b7cb30bf043e61ffa0076d87f7_0.png "[tex]x = \pi - \arcsen y + 2k\pi[/tex]")
Reemplazando x e y por lo que son en este problema:
![[tex]\frac{\pi}{2} + \theta = \pi - \arcsen(\sen \varphi) + 2k\pi[/tex]](images/latex/13fbe57dbf5fc981f61c31a58f314e0ca29e8d5b_0.png "[tex]\frac{\pi}{2} + \theta = \pi - \arcsen(\sen \varphi) + 2k\pi[/tex]")
![[tex]\theta = \pi/2 - \varphi + 2k\pi[/tex]](images/latex/3305a5f0399ba40f6d226d9328deb977f943c338_0.png "[tex]\theta = \pi/2 - \varphi + 2k\pi[/tex]")
La única solución de esa familia que cumple es la de k = 0, es decir:
![[tex]\theta = \pi/2 - \varphi[/tex]](images/latex/a5eed378decde18ad1478f34498528c31b6b9f89_0.png "[tex]\theta = \pi/2 - \varphi[/tex]")
Ahora hay que ver para qué valores de ![[tex]\textstyle \theta\ \sen\varphi - \cos\theta \leq 0[/tex]](images/latex/b0570111aecc01cf210d19ee6b69fe757bb64bad_0.png "[tex]\textstyle \theta\ \sen\varphi - \cos\theta \leq 0[/tex]") . Teniendo en cuenta que eso es una función senoidal de ![[tex]\textstyle \theta \mbox{, para } 0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/e935593b7c2bb2c69db3502fe0caec39805f4ebf_0.png "[tex]\textstyle \theta \mbox{, para } 0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]") se ve que los intervalos en los que es negativa es entre 0 y el primer cruce con el eje x, y entre el segundo cruce con el eje x y ![[tex]\textstyle 2\pi[/tex]](images/latex/d9c24ee6350f43292a4cb092779333140a557947_0.png "[tex]\textstyle 2\pi[/tex]") . Los cruces con el eje x son los dos valores calculados; considerando que para ![[tex]\textstyle 0 \leq \varphi < \pi/2 \mbox{: } \textstyle \pi/2 - \varphi < 3\pi/2 + \varphi[/tex]](images/latex/164616b9f98777c538446ef1920daf832b687200_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq \varphi < \pi/2 \mbox{: } \textstyle \pi/2 - \varphi < 3\pi/2 + \varphi[/tex]") , salen los límites que puse:
| G escribió:
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En cuanto a cilíndricas ¿Estás seguro que no está bien parametrizado?¿Por qué no?. Yo lo pensé así, como trabajo sobre el cilindro entonces despejo el radio de la ecuación del mismo, poniendo ese radio que obtuve y usando coordenadas cilíndricas consigo la parametrización.
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La parametrización que vos pusiste, ![[tex]\textstyle S(\theta, z) = (2a\cos\theta, 2a\sen\theta, z)[/tex]](images/latex/46aaaffaeb6cbc7a115b63c8f47858bce41d6f6e_0.png "[tex]\textstyle S(\theta, z) = (2a\cos\theta, 2a\sen\theta, z)[/tex]") , sería una del cilindro ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 4a^2[/tex]](images/latex/2a3cfac8b5f3c3f544d7264b08dcd91bbc84a5ed_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 4a^2[/tex]") . Lo que tenés que parametrizar en realidad es la superficie esférica , cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es ![[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2[/tex]](images/latex/e30464b6c617ca2e7d0f80729b64230070db10db_0.png "[tex]\textstyle r^2 + z^2 = 4a^2[/tex]") . Si querés tener como parámetros a ![[tex]\textstyle \theta \mbox{ y a } z[/tex]](images/latex/f0e1f8d1113fd0146436d043a2ef4b0020e93fe2_0.png "[tex]\textstyle \theta \mbox{ y a } z[/tex]") , despejás r y reemplazás lo que te dio en la expresión general de una parametrización basada en coordenadas cilíndricas ![[tex]\textstyle (r\cos\theta, r\sen\theta, z)[/tex]](images/latex/2bb268a1f4df9cb059bf56f90bc989d5354ffa56_0.png "[tex]\textstyle (r\cos\theta, r\sen\theta, z)[/tex]") . Así sale la función ![[tex]\textstyle S(\theta, z)[/tex]](images/latex/592bf7680ea5bfd20a461e6a3d1718e9c9668117_0.png "[tex]\textstyle S(\theta, z)[/tex]") que escribí yo en mi otro post.
| G escribió:
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En cuanto a los límites planteo el ángulo en el que varía (que lo puse mal en el dibukito, y la z variando entre 0 y la esfera.
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No entendí lo de "z variando entre 0 y la esfera". Algo así aparecería si lo que quisieras calcular fuera el volumen encerrado entre la esfera y el plano XY, pero no es el caso... No entendí...
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G
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 03 Abr 2011
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Ubicación: The Matrix
Carrera: Industrial
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| Huey sos un maestro. Ahora si lo entendì todo, sinceramente nunca se me hubiera ocurriedo hacer todo ese tratamiento de los lìmites asi que te felicito por tu capacidad jaja. Obviamente que Jackson tambièn. Quiero pensar que ya la aprobaron la materia porque si la estàn rindiendo ahora y saben tanto son unas bestias.
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![[tex]0 \leq \theta \leq \pi/2 - \varphi \vee 3\pi/2 + \varphi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/b84cc7bcd74ad9245395dddb231d4dedb0ce90c5_0.png "[tex]0 \leq \theta \leq \pi/2 - \varphi \vee 3\pi/2 + \varphi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]")