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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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Les dejo un mini tutorial de WinPlot, un programa graficador completo con el que me encariñé y les va a pasar a todos los que sepan usarlo, especialmente si estás preparando el final de AM2.
Se que existen programas mas potentes que tienen la misma funcionalidad pero tienen otras contras: la mayoría son pagos y son solo para Linux, pesan varios cientos de megas y vienen con muchísima mas funcionalidad que no es de interés si querés hacer un gráfico rápido o verificar un resultado.
Las cosas que se pueden hacer son:
- Familias de funciones en R2
- Gráficos de funciones en R3 en cartesianas, cilíndricas y polares.
- Forma explícita, implícita y paramétrica.
- Campos vectoriales en R3, integrales de línea y de superficie
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La página del programa es http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Ahí está el link de descarga (medio oculto, el link directo es http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wp32z.exe), también tenés un FAQ que recomiendo leer y los archivos de idiomas para los pelotudos como yo que lo prefieren en koreano (? y para la gente normal que prefiere en español. El programa está hecho para Windows (XP, Vista y 7) pero corre idénticamente en Linux, usando Wine. Bajás el "instalador", que no es mas que un zip auto-extraíble y te descomprime el programa que es un .exe nomás (GRACIAS DIOS POR TANTO).
Cuando abrís el programa tenés para elegir R2 o R3, apretando F2 o F3 respectivamente o desde el menú "Window".
Las únicas cosas que se toman en R2 en el final de AM2 son ecuaciones diferenciales, para evaluar el tema de familias/trayectorias ortogonales y integrales de línea (generalmente aplicando teorema de Green alias teorema-de-Stokes-con-la-coordenada-z-igual-a-cero-pero-bue-tiene-su-propio-nombre) . Si bien el programa no te calcula eso, te permite verificar rápidamente tu resultado. Vamos con un ejemplo:
Tomamos la familia de curvas ![[tex]y = c_1 + e^x[/tex]](images/latex/ca3e2d047a94158d18265ec246296d378faa313d_0.png "[tex]y = c_1 + e^x[/tex]") . Resolvemos la clásica manera de encontrar la familia de curvas ortogonales ![[tex]\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{c_1 + e^x}[/tex]](images/latex/56c43629b99ff69e4c7c00fc54e58b2ad2b2b64f_0.png "[tex]\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{c_1 + e^x}[/tex]") de dónde inmediatamente salta la solución ![[tex]y_p = c_2 + \frac{1}{e^x}[/tex]](images/latex/fa46bc32797a47a56b8d818a230f17749580148e_0.png "[tex]y_p = c_2 + \frac{1}{e^x}[/tex]") .
Para visualizar y de paso verificar si esto es correcto, vamos al WinPlot, en F2 para 2 dimensiones, y agregamos cada familia de funciones en Equa->Explicit. Primero ponemos f(x) = A + e^x y luego agregamos una segunda f(x) = B + e^-x. Aparecen los respectivos gráficos si tenemos suerte pero queremos editar A y B para que sean parámetros de familias de funciones, aparte de cambiarle el color para que quede mas lindo (? Vamos al "inventory", donde está el listado de las cosas a graficar, apretando Ctrl+I o en Equa->Inventory. Ahi seleccionamos la ecuación y ponemos click en "Family". Dónde dice parameter tenemos que dar el nombre del parámetro, en el primer caso "A", o "B" como corresponda. Después nos da a elegir el primer y último valor y el intervalo que queremos para tomar valores a graficar. Apretamos en Define y hacemos lo mismo para la otra, con los valores default queda bien en este caso.
Después ponemos edit y nos sale una ventana donde podemos cambiar el grosor de la función en "Pen Width", o editar el dominio de la función. Nos interesa cambiar el color en este caso. Not much to say about that. Una vez que están las familias de funciones ya graficadas y de distinto color resulta bastante evidente del gráfico que son ortogonales. Se puede moverse con click derecho del mouse o con las flechas, así como hacer zoom in y out con Pg.Up y Pg.Dwn (CTRL SUPURRRRR CERVEZA TAB). Sin embargo, WinPlot nos permite verificar numéricamente si son ortogonales realmente. Para eso hacemos click en el menu "Two", menu que tiene todas las features que involucran 2 funciones, y hacemos click en "Intersections". Elegimos las 2 funciones, marcamos "intersection angle z in degrees" porque a todos nos da paja pensar cuanto es ![[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/099837c8b41b61b95e1af79a9a70edec6d66bbd8_0.png "[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]") y apretamos "Next intersection". Si todo sale bien, nos dice las coordenadas, nos lo marca en el gráfico y muestra z=90 como en el screenshot.
El resto de como graficar, en R3, es bastante intuitivo, excepto algunas cosas. Para graficar, en el menu Equa tenemos las siguientes opciones:
- Explicit: ![[tex]z = f(x,y)[/tex]](images/latex/d53253732fc81c53f7de33f33cb6ee2350a87644_0.png "[tex]z = f(x,y)[/tex]")
- Parametric: superficie en función de u,t, R2 -> R3 [necesario para integrales de superficie]
- Implicit: superficie dada por una ecuación. Es útil pero muy lento, aparte no aparece ni bien ingresamos la ecuación, sino que hay que graficar adicionalmente las curvas de nivel para visualizarla. Esto se hace desde el Inventory, en "Levels", para cada eje apretando en "Auto". Si desparecen los ejes del gráfico, se puede hacerlos aparecer con Ctrl+A. Para hacer zoom nuevamente con Pg.Up y Down. Para mover el punto de vista se usa click derecho.
- Cylindrical: sup en coordenadas cilíndricas
- Spherical: sup en esféricas
- Curve: para curvas parametrizadas R -> R3 [necesario para integrales de línea]
- Point/segment/plane: útiles para marcar puntos, graficar algun vector o partes de planos rápidamente
- Differential: para graficar campos vectoriales [necesario para integrales de línea/superficie]. x' para la componente x, and so on. tildamos "field" para mostrar algunos vectores, eligiendo la densidad y el tamaño de los vectores para graficar el campo aunque no es necesario para el cálculo de las integrales está bueno, especialmente si restringimos la imagen a algún cuadrante, para visualizar el campo y darnos una idea de como tendría que dar alguna circulación o flujo.
Algunos tips:
- Graficar por implícitas es muy lento, es preferible parametrizar o por ejemplo para planos usar "Plane"
- Usando "Box" (siempre tildando "lock position") se puede restringir la imagen de las cosas que se grafican, por ejemplo al primer cuadrante
- Se puede poner "pi" en vez de 3.1415926 en las cuadros de input de formulas
Ejemplo de integral de línea:
Necesitamos el campo, una curva parametrizada y el intervalo del parámetro de la curva. Tomemos por ejemplo el campo "plano" ![[tex]\vec{f}(x,y,z) = (-y, x, 0)[/tex]](images/latex/bf104f96160077366889f6ead16d6dbbdb5bf129_0.png "[tex]\vec{f}(x,y,z) = (-y, x, 0)[/tex]") y evaluamos la circulación para la curva circular cerrada de radio 1 en el plano ![[tex]xy[/tex]](images/latex/7d4ae868a12f79aa3a33a705a2b71ef5e8fae412_0.png "[tex]xy[/tex]") , ![[tex]\vec{\gamma}(t) = (\cos(t), \sin(t), 0)[/tex]](images/latex/2a334fe7a6d04e4818bcb1e7e279684ce22cf7b9_0.png "[tex]\vec{\gamma}(t) = (\cos(t), \sin(t), 0)[/tex]") , con ![[tex]t \in [0, 2\pi][/tex]](images/latex/2f928b626d71ae7419494f5c666e418d986d3ebd_0.png "[tex]t \in [0, 2\pi][/tex]") . Para agregar el campo vamos a Equa->Differential y ponemos las componentes: -y, x, 0. Tildamos 'field' y giramos la vista para verlo mas bien desde "arriba". Para ajustar el tamaño, usamos "Box", poniendo unos límites razonables considerando que vamos a poner una circunferencia de radio 1 tiene sentido restringir el campo a [-3,3] para los 3 ejes. Vemos que es un campo de rotor distinto a 0, con divergencia 0. Ahora agregamos la curva desde Equa->Curve: x= cos(t), y= sin(t), z= 0. Los intervalos son t_lo = 0, t_hi = 2pi. Ponemos ok y aparece la curva. Ajustamos el punto de vista de vuelta y para ponerle onda, desde edit cambiamos el grosor de la curva y el color. Ahora ya estamos listos para evaluar la integral. En el menu Two->Line integral elegimos el campo y la curva. Especificamos el intervalo de ![[tex]t[/tex]](images/latex/975643a82a50f7035377ef49daca21dde6c93bca_0.png "[tex]t[/tex]") como min 0 y max 2pi y apretamos en "Value". Resultado: ![[tex]2 \pi[/tex]](images/latex/6a899ad42288dcccfb9a11813609b2ff687ca19b_0.png "[tex]2 \pi[/tex]") como esperábamos. Bah, yo lo esperaba, no se si vos lo esperabas. Si lo esperabas sos groso. Como yo, te diste cuenta que el campo es paralelo al vector tangente a la curva en toda la trayectoria entonces el producto escalar es 1 y la integral de línea iba a dar simplemente la longitud de la curva. Pum para casa.
Ejemplo de integral de superficie:
Idéntico a integrales de línea pero en vez de curvas... usamos superficies. No shit. Así que voy a copiar y pegar el ejemplo anterior y hacer "Replace All: línea -> superficie":
Necesitamos el campo, una superficie parametrizada y el intervalo de los parámetro de la superficie. Tomemos por ejemplo el campo constante "vertical" ![[tex]\vec{f}(x,y,z) = (0, 0, 1)[/tex]](images/latex/d26b92f1707b05223e399d4458429f7a66bd5a07_0.png "[tex]\vec{f}(x,y,z) = (0, 0, 1)[/tex]") y evaluamos el flujo a través de una superficie circular deradio 1 en el plano , ![[tex]\vec{\omega}(u,t) = (u\sin(t), u\cos(t), 0)[/tex]](images/latex/901c76af54b2886ddbf4d799db86c96ffb6a7dce_0.png "[tex]\vec{\omega}(u,t) = (u\sin(t), u\cos(t), 0)[/tex]") , con , ![[tex]u \in [0, 1][/tex]](images/latex/7b71bf601031715e373a8b3f893054dcfa2ce14c_0.png "[tex]u \in [0, 1][/tex]") . Para agregar el campo vamos a Equa->Differential y ponemos las componentes: 0, 0, 1. Tildamos 'field' y giramos la vista para verlo mas bien desde "arriba". Para ajustar el tamaño, usamos "Box", poniendo unos límites razonables considerando que vamos a poner una círculo de radio 1 tiene sentido restringir el campo a [-3,3] para los 3 ejes. Vemos que es un campo constante que va hacia arriba. Ahora agregamos la superficie desde Equa->Parametric: x= usin(t), y= ucos(t), z= 0. Los intervalos son t_lo = 0, t_hi = 2pi, u_lo = 0, u_hi = 1. Ponemos ok y aparece la superficie. Ajustamos el punto de vista de vuelta y para ponerle onda, desde edit cambiamos el color y le ponemos una sombrita copada. Ahora ya estamos listos para evaluar la integral de superficie. En el menu Two->Surface integral elegimos el campo y la curva. Especificamos el intervalo de como min 0 y max 2pi y el u de 0 a 1. Apretamos en "Value". Resultado: ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") como esperábamos. Bah, yo lo esperaba, no se si vos lo esperabas. Si lo esperabas sos groso. Como yo, te diste cuenta que el campo es perpendicular a la superficie, paralelo al vector normal a la superficie en toda la superficie entonces el producto escalar es 1 y la integral de superficie iba a dar simplemente el área de la misma. Pum para casa.
Probablemente me esté olvidando de un millón de cosas en el camino pero bueno, es una intro. Cualquier cosa pregunten :)
\MOD (Guido_Garrote): Buen aporte! Lo hago Post-It
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lamorsa
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 14 Nov 2009
Mensajes: 671
Ubicación: Monte Grande (Far South)
Carrera: Informática y Sistemas
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| Gracias por Programa y tutorial, no lo conocia, ahora lo testeo para preparar el final y cuento que tal esta.
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Koreano una pregunta, yo por ejemplo grafique un cilindro de radio 1 (con eje z), como dijiste con las curvas de nivel, despues le agregue otro clindro de radio 1, pero con eje y, me aparece la interseccion pero la segunda superficie no aparece graficada, ni siquiera me aparece el inventario para graficar las curvas de nivel, como hago para graficar la 2da?
otra consulta, en vez de que me quede graficado con las curvas de nivel, para que me quede la superficie pero tipo un solido hay alguna forma de hacerlo?
edit: lo de que quede tipo un solido lo pude hacer pero dandole por ejemplo, 1000 valores de curvas de nivel, imaginate como colgo mi maquina por 1 minuto jajaja, si hay otra forma avisame 
edit2: ya encontre el inventario para graficar la 2da
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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hola.
una pregunta, cómo se puede usar para extremos condicionados?
Tengo esta ecuación: f(x,y)= 3x^2 + y^2 -x +1
y la curva
A={(x,y)/x^2+ (y^2 / 4) =1 }
y llegué a algo así con winplot, pero no veo una opción para hallar extremos:
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Lo que se me ocurrió que podés hacer es, reemplazá tu parametrización de la curva en la z poniendo la superficie cosa que te quede algo así:
![[tex]x(t)=cos(t)[/tex]](images/latex/8fea063523f53d0431ce26012c5c448ba8243938_0.png "[tex]x(t)=cos(t)[/tex]")
![[tex]y(t)=2sin(t)[/tex]](images/latex/851bfd22d472684d7c7f6d07ddf624f70f162131_0.png "[tex]y(t)=2sin(t)[/tex]")
![[tex]z(t)=3*(cos(t))^2 + (2*sin(t))^2 -cos(t) + 1[/tex]](images/latex/4ec5f1c8c87f7979297096f066c55f61fb296436_0.png "[tex]z(t)=3*(cos(t))^2 + (2*sin(t))^2 -cos(t) + 1[/tex]")
Con ![[tex]t \in [0,2\pi][/tex]](images/latex/306615ccb461a4026dbec48863ba3004f949eda2_0.png "[tex]t \in [0,2\pi][/tex]") . Después apretá en "Table". Ahí tenés en la última columna el valor de z. Si querés mas valores, vas a "Params" y ponés "num steps: 100" etc. En este caso me dio que los extremos son:
Máximo~ 5.24967 (t~ 2.07345)
Mínimo= 3 (t= 0)
Y para verificar analíticamente: http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+3*%28cos%28t%29%29^2+%2B+%282*sin%28t%29%29^2+-cos%28t%29+%2B+1
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smith
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 11 Mar 2008
Mensajes: 102
Carrera: Agrimensura
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eva2
Nivel 0
Registrado: 26 Nov 2019
Mensajes: 1
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| koreano escribió:
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Les dejo un mini tutorial de WinPlot, un programa graficador completo con el que me encariñé y les va a pasar a todos los que sepan usarlo, especialmente si estás preparando el final de AM2.
Se que existen programas mas potentes que tienen la misma funcionalidad pero tienen otras contras: la mayoría son pagos y son solo para Linux, pesan varios cientos de megas y vienen con muchísima mas funcionalidad que no es de interés si querés hacer un gráfico rápido o verificar un resultado.
Las cosas que se pueden hacer son:
- Familias de funciones en R2
- Gráficos de funciones en R3 en cartesianas, cilíndricas y polares.
- Forma explícita, implícita y paramétrica.
- Campos vectoriales en R3, integrales de línea y de superficie
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La página del programa es http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Ahí está el link de descarga (medio oculto, el link directo es http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wp32z.exe), también tenés un FAQ que recomiendo leer y los archivos de idiomas para los pelotudos como yo que lo prefieren en koreano (? y para la gente normal que prefiere en español. El programa está hecho para Windows (XP, Vista y 7) pero corre idénticamente en Linux, usando Wine. Bajás el "instalador", que no es mas que un zip auto-extraíble y te descomprime el programa que es un .exe nomás (GRACIAS DIOS POR TANTO).
Cuando abrís el programa tenés para elegir R2 o R3, apretando F2 o F3 respectivamente o desde el menú "Window".
Las únicas cosas que se toman en R2 en el final de AM2 son ecuaciones diferenciales, para evaluar el tema de familias/trayectorias ortogonales y integrales de línea (generalmente aplicando teorema de Green alias teorema-de-Stokes-con-la-coordenada-z-igual-a-cero-pero-bue-tiene-su-propio-nombre) . Si bien el programa no te calcula eso, te permite verificar rápidamente tu resultado. Vamos con un ejemplo:
Tomamos la familia de curvas . Resolvemos la clásica manera de encontrar la familia de curvas ortogonales de dónde inmediatamente salta la solución .
Para visualizar y de paso verificar si esto es correcto, vamos al WinPlot, en F2 para 2 dimensiones, y agregamos cada familia de funciones en Equa->Explicit. Primero ponemos f(x) = A + e^x y luego agregamos una segunda f(x) = B + e^-x. Aparecen los respectivos gráficos si tenemos suerte pero queremos editar A y B para que sean parámetros de familias de funciones, aparte de cambiarle el color para que quede mas lindo (? Vamos al "inventory", donde está el listado de las cosas a graficar, apretando Ctrl+I o en Equa->Inventory. Ahi seleccionamos la ecuación y ponemos click en "Family". Dónde dice parameter tenemos que dar el nombre del parámetro, en el primer caso "A", o "B" como corresponda. Después nos da a elegir el primer y último valor y el intervalo que queremos para tomar valores a graficar. Apretamos en Define y hacemos lo mismo para la otra, con los valores default queda bien en este caso del evangelio del dia.
Después ponemos edit y nos sale una ventana donde podemos cambiar el grosor de la función en "Pen Width", o editar el dominio de la función. Nos interesa cambiar el color en este caso. Not much to say about that. Una vez que están las familias de funciones ya graficadas y de distinto color resulta bastante evidente del gráfico que son ortogonales. Se puede moverse con click derecho del mouse o con las flechas, así como hacer zoom in y out con Pg.Up y Pg.Dwn (CTRL SUPURRRRR CERVEZA TAB). Sin embargo, WinPlot nos permite verificar numéricamente si son ortogonales realmente. Para eso hacemos click en el menu "Two", menu que tiene todas las features que involucran 2 funciones, y hacemos click en "Intersections". Elegimos las 2 funciones, marcamos "intersection angle z in degrees" porque a todos nos da paja pensar cuanto es y apretamos "Next intersection". Si todo sale bien, nos dice las coordenadas, nos lo marca en el gráfico y muestra z=90 como en el screenshot.
El resto de como graficar, en R3, es bastante intuitivo, excepto algunas cosas. Para graficar, en el menu Equa tenemos las siguientes opciones:
- Explicit:
- Parametric: superficie en función de u,t, R2 -> R3 [necesario para integrales de superficie]
- Implicit: superficie dada por una ecuación. Es útil pero muy lento, aparte no aparece ni bien ingresamos la ecuación, sino que hay que graficar adicionalmente las curvas de nivel para visualizarla. Esto se hace desde el Inventory, en "Levels", para cada eje apretando en "Auto". Si desparecen los ejes del gráfico, se puede hacerlos aparecer con Ctrl+A. Para hacer zoom nuevamente con Pg.Up y Down. Para mover el punto de vista se usa click derecho.
- Cylindrical: sup en coordenadas cilíndricas
- Spherical: sup en esféricas
- Curve: para curvas parametrizadas R -> R3 [necesario para integrales de línea]
- Point/segment/plane: útiles para marcar puntos, graficar algun vector o partes de planos rápidamente
- Differential: para graficar campos vectoriales [necesario para integrales de línea/superficie]. x' para la componente x, and so on. tildamos "field" para mostrar algunos vectores, eligiendo la densidad y el tamaño de los vectores para graficar el campo aunque no es necesario para el cálculo de las integrales está bueno, especialmente si restringimos la imagen a algún cuadrante, para visualizar el campo y darnos una idea de como tendría que dar alguna circulación o flujo.
Algunos tips:
- Graficar por implícitas es muy lento, es preferible parametrizar o por ejemplo para planos usar "Plane"
- Usando "Box" (siempre tildando "lock position") se puede restringir la imagen de las cosas que se grafican, por ejemplo al primer cuadrante
- Se puede poner "pi" en vez de 3.1415926 en las cuadros de input de formulas
Ejemplo de integral de línea:
Necesitamos el campo, una curva parametrizada y el intervalo del parámetro de la curva. Tomemos por ejemplo el campo "plano" y evaluamos la circulación para la curva circular cerrada de radio 1 en el plano , , con . Para agregar el campo vamos a Equa->Differential y ponemos las componentes: -y, x, 0. Tildamos 'field' y giramos la vista para verlo mas bien desde "arriba". Para ajustar el tamaño, usamos "Box", poniendo unos límites razonables considerando que vamos a poner una circunferencia de radio 1 tiene sentido restringir el campo a [-3,3] para los 3 ejes. Vemos que es un campo de rotor distinto a 0, con divergencia 0. Ahora agregamos la curva desde Equa->Curve: x= cos(t), y= sin(t), z= 0. Los intervalos son t_lo = 0, t_hi = 2pi. Ponemos ok y aparece la curva. Ajustamos el punto de vista de vuelta y para ponerle onda, desde edit cambiamos el grosor de la curva y el color. Ahora ya estamos listos para evaluar la integral. En el menu Two->Line integral elegimos el campo y la curva. Especificamos el intervalo de como min 0 y max 2pi y apretamos en "Value". Resultado: como esperábamos. Bah, yo lo esperaba, no se si vos lo esperabas. Si lo esperabas sos groso. Como yo, te diste cuenta que el campo es paralelo al vector tangente a la curva en toda la trayectoria entonces el producto escalar es 1 y la integral de línea iba a dar simplemente la longitud de la curva. Pum para casa.
Ejemplo de integral de superficie:
Idéntico a integrales de línea pero en vez de curvas... usamos superficies. No shit. Así que voy a copiar y pegar el ejemplo anterior y hacer "Replace All: línea -> superficie":
Necesitamos el campo, una superficie parametrizada y el intervalo de los parámetro de la superficie. Tomemos por ejemplo el campo constante "vertical" y evaluamos el flujo a través de una superficie circular deradio 1 en el plano , , con , . Para agregar el campo vamos a Equa->Differential y ponemos las componentes: 0, 0, 1. Tildamos 'field' y giramos la vista para verlo mas bien desde "arriba". Para ajustar el tamaño, usamos "Box", poniendo unos límites razonables considerando que vamos a poner una círculo de radio 1 tiene sentido restringir el campo a [-3,3] para los 3 ejes. Vemos que es un campo constante que va hacia arriba. Ahora agregamos la superficie desde Equa->Parametric: x= usin(t), y= ucos(t), z= 0. Los intervalos son t_lo = 0, t_hi = 2pi, u_lo = 0, u_hi = 1. Ponemos ok y aparece la superficie. Ajustamos el punto de vista de vuelta y para ponerle onda, desde edit cambiamos el color y le ponemos una sombrita copada. Ahora ya estamos listos para evaluar la integral de superficie. En el menu Two->Surface integral elegimos el campo y la curva. Especificamos el intervalo de como min 0 y max 2pi y el u de 0 a 1. Apretamos en "Value". Resultado: como esperábamos. Bah, yo lo esperaba, no se si vos lo esperabas. Si lo esperabas sos groso. Como yo, te diste cuenta que el campo es perpendicular a la superficie, paralelo al vector normal a la superficie en toda la superficie entonces el producto escalar es 1 y la integral de superficie iba a dar simplemente el área de la misma. Pum para casa.
Probablemente me esté olvidando de un millón de cosas en el camino pero bueno, es una intro. Cualquier cosa pregunten 
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Gracias compañero justo lo que estaba buscando, también hay vídeos explicativos en https://www.youtube.com/watch?v=QtE6ZSQhRe0 por si interesa.
Un saludo.
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