| Autor |
Mensaje |
Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
|
|
Hola, me gustaria que alguien me ayude con este ejercicio porque nose como plantearlo.
Resolver la ecuacion de Laplace en la region definida por:
A={(x,y)/ 0<x<a, 0<y<b] con las condiciones
u(0,y)=0 u(a,y)=0
u(x,0)=0 u(x,b)=f(x)
Gracias!
|
|
|
|
|
|
| |
    |
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
Plantea variables separables, ![[tex]u(x,y) = X(x) \cdot Y(y)[/tex]](images/latex/1770a5e529a8f023bfb46d84e103dd3ac9760f35_0.png "[tex]u(x,y) = X(x) \cdot Y(y)[/tex]") , y las derivadas te quedan ![[tex]u_{xx}=X^{\prime \prime}\cdot Y[/tex]](images/latex/ebe7c327188bddc8f829f79581d6d0280b9a50ff_0.png "[tex]u_{xx}=X^{\prime \prime}\cdot Y[/tex]") y ![[tex]u_{yy}=X\cdot Y^{\prime \prime}[/tex]](images/latex/8028d7699c6e6d2b78f9d54b37421c02b73cd1a0_0.png "[tex]u_{yy}=X\cdot Y^{\prime \prime}[/tex]") , reemplazando en la EDDP obtenes ![[tex]X^{\prime \prime}\cdot Y + X\cdot Y^{\prime \prime} = 0[/tex]](images/latex/21189f01e4c8fc7fa338a08bbb58f4196073fabe_0.png "[tex]X^{\prime \prime}\cdot Y + X\cdot Y^{\prime \prime} = 0[/tex]") , o sea, ![[tex]X^{\prime \prime}\cdot Y = - X\cdot Y^{\prime \prime} [/tex]](images/latex/82a74b0d78cbab5d550be6d8674da7af4642604e_0.png "[tex]X^{\prime \prime}\cdot Y = - X\cdot Y^{\prime \prime} [/tex]") , o sea, ![[tex]\frac{X^{\prime \prime}}{X} = -\frac{Y^{\prime \prime}}{Y} = -\lambda^{2}[/tex]](images/latex/1989aa5d2bc5b3aaef420dfecb0e223751e480ae_0.png "[tex]\frac{X^{\prime \prime}}{X} = -\frac{Y^{\prime \prime}}{Y} = -\lambda^{2}[/tex]") .
Porque al depender de variables distintas, sólo vale la igualdad para una constante de ese tipo. Si pones una constante cualquiera, llegas a que la solución es la trivial, cosa que ya se sabe.
Trata de resolver las EDO que te quedan con esto, reemplaza las condiciones iniciales y fijate qué te da. Cualquier duda consulta.
Saludos!
|
|
|
|
|
|
   |
|
|
SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
|
|
Hay que usar variables separables:
![[tex]u(x,y)=X(x)Y(x)[/tex]](images/latex/22c3cff57bbf47dc99cb5003f9fb32dd89f758c4_0.png "[tex]u(x,y)=X(x)Y(x)[/tex]")
Lo que me permite replantear la ecuación de Laplace (la ecuación que se pide resolver):
![[tex]u_{xx}+u_{yy}=0[/tex]](images/latex/9c3918f0d693ce58dbc47430fe0bdc7dd21b735e_0.png "[tex]u_{xx}+u_{yy}=0[/tex]")
Como:
![[tex]X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0[/tex]](images/latex/80d8b282306c87c0ffe7bf7b5386537df16c2cb1_0.png "[tex]X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0[/tex]")
Si divido todo por ![[tex]u(x,y)=X(x)Y(y)[/tex]](images/latex/7e4e993db7b3ffb3477b7d0194a320afc8877e13_0.png "[tex]u(x,y)=X(x)Y(y)[/tex]") obtengo que:
![[tex]\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(x)}=0[/tex]](images/latex/4d097229752ab3282b70dc42ff82823e9897013b_0.png "[tex]\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(x)}=0[/tex]")
Si separo de la siguiente manera:
![[tex]\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(x)}[/tex]](images/latex/66efc3c1a2094e3e828c4480e1bb79f9fcfda633_0.png "[tex]\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(x)}[/tex]")
Puedo llegar a la conclusión de que ambos miembros son iguales a una constante (porque no hay otra manera de que dos funciones que dependen de distintas variables sean iguales para todo par ![[tex]x, y[/tex]](images/latex/849d29afed43cd6a55f7c86239c780fe3cd80ae9_0.png "[tex]x, y[/tex]") ), a esa constante la voy a llamar ![[tex]-\lambda^2[/tex]](images/latex/5bc54d23cd94510e22c83f87f33cd243e7e4ab7e_0.png "[tex]-\lambda^2[/tex]")
Por lo que puedo plantear dos nuevas ecuaciones:
![[tex]X''(x)+\lambda^2X(x)=0[/tex]](images/latex/af9802b7fc4be121b2c88a7ce2aaea767f4b28c2_0.png "[tex]X''(x)+\lambda^2X(x)=0[/tex]")
y
![[tex]Y''(y)-\lambda^2Y(x)=0[/tex]](images/latex/ed6299549af71cd1d51cb8d83451b46c66d4dfe3_0.png "[tex]Y''(y)-\lambda^2Y(x)=0[/tex]")
Aprovechando las condiciones de contorno:
![[tex]u(0,y)=0 \Rightarrow X(0)Y(y)=0 \Rightarrow X(0)=0[/tex]](images/latex/89bc21ecc6d0c84ad90d3b131ea220cfeaf4b95e_0.png "[tex]u(0,y)=0 \Rightarrow X(0)Y(y)=0 \Rightarrow X(0)=0[/tex]")
![[tex]u(a,y)=0 \Rightarrow X(a)Y(y)=0 \Rightarrow X(a)=0[/tex]](images/latex/5fa5e0b104ee94d634915bc397b420fd092e6df6_0.png "[tex]u(a,y)=0 \Rightarrow X(a)Y(y)=0 \Rightarrow X(a)=0[/tex]")
![[tex]u(x,0)=0 \Rightarrow X(x)Y(0)=0 \Rightarrow Y(0)=0[/tex]](images/latex/0ab988cbf57c4548477781aab2a1712b7960dbaf_0.png "[tex]u(x,0)=0 \Rightarrow X(x)Y(0)=0 \Rightarrow Y(0)=0[/tex]")
![[tex]u(x,b)=f(x) \Rightarrow X(x)Y(b)=f(x) [/tex]](images/latex/592bcc88177d56f3ec4416a27da5a6636930d3f1_0.png "[tex]u(x,b)=f(x) \Rightarrow X(x)Y(b)=f(x) [/tex]")
Puedo resolver ambas ecuaciones y voy a llegar que una de las componentes es una función seonidal y la otra exponencial o senoidal hiperbólica (si no me equivoco) y para terminar de exigir que se cumplan las condiciones vas a tener que plantear un análisis de Fourier.
Invoco a todos los trolls del infierno a corregir y aportar (o a quien pueda ser tan amable de señalarme educadamente donde me he equivocado)
Ojo, por suerte se trata de un ejemplo clásico y en la mayoría de los libros hay un ejercicio donde se resuelve una situación similar (o incluso idéntica)
saludos, espero haber ayudado y no dañado
PD: ![[tex]latex=rock[/tex]](images/latex/171306978e4914422bce8e24bf2bdf1f33fbd3e1_0.png "[tex]latex=rock[/tex]")
PD2: Puede ser que convenga más poner el menos de uno o de otro lado del igual antes de incluir dependiendo de las condiciones de contorno (igual, con práctica se desarrolla la intución necesaria para saberlo je)
|
|
|
|
_________________
Foros-FIUBA o muerte
|
|
   |
|
|
df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
|
|
Por separación de variables:
![[tex]u(x,y)=A(x)B(y)[/tex]](images/latex/2a77598bd9237685825f2fb40a6bdb031b990b08_0.png "[tex]u(x,y)=A(x)B(y)[/tex]")
entonces
![[tex]A''(x)B(y)+B''(y)A(x)=0 \\A''(x)= \lambda A(x) \\B''(y)= - \lambda B(y)[/tex]](images/latex/e382e703a8398f8c8b16cc6d6aa6e97d3318aeef_0.png "[tex]A''(x)B(y)+B''(y)A(x)=0 \\A''(x)= \lambda A(x) \\B''(y)= - \lambda B(y)[/tex]")
con lamba constante.
Las soluciones de las dos EDOs son
![[tex]A(x)=c_1 e^{\sqrt{\lambda} x} + c_2 e^{- \sqrt{ \lambda} x} \\B(y)=c_3 e^{\sqrt{- \lambda} y} + c_4 e^{- \sqrt{- \lambda} y} \\[/tex]](images/latex/f03f7e34510a3d08582db43e6ec1586b0a5b8ed7_0.png "[tex]A(x)=c_1 e^{\sqrt{\lambda} x} + c_2 e^{- \sqrt{ \lambda} x} \\B(y)=c_3 e^{\sqrt{- \lambda} y} + c_4 e^{- \sqrt{- \lambda} y} \\[/tex]")
Como u(0,y)=u(a,y)=0 es A(0)B(y)=A(a)B(y)=0. Si B(y)=0 para todo y tenés la solución trivial y no te sirve, entonces A(0)=A(a)=0.
O sea
![[tex]c_1 + c_2 =0 \\c_1 e^{\sqrt{\lambda} a} + c_2 c_1 e^{- \sqrt{\lambda} a} =0 \\[/tex]](images/latex/087fee19e8b93ec79cdc86549630ae99a0551660_0.png "[tex]c_1 + c_2 =0 \\c_1 e^{\sqrt{\lambda} a} + c_2 c_1 e^{- \sqrt{\lambda} a} =0 \\[/tex]")
eso es
![[tex]c_1 e^{\sqrt{\lambda} a} - c_1 e^{- \sqrt{\lambda} a} = 2 c_1 sinh(\sqrt{\lambda} a) \\[/tex]](images/latex/21408e7a1702827e9434a266e116c2c0f126586a_0.png "[tex]c_1 e^{\sqrt{\lambda} a} - c_1 e^{- \sqrt{\lambda} a} = 2 c_1 sinh(\sqrt{\lambda} a) \\[/tex]")
eso es 0 si
![[tex]\sqrt{\lambda} a = n \pi i \\\lambda= - \frac{n^2 \pi ^2}{a^2}[/tex]](images/latex/947ae12df8684bd3b7be421c53b62e9fbbe27c91_0.png "[tex]\sqrt{\lambda} a = n \pi i \\\lambda= - \frac{n^2 \pi ^2}{a^2}[/tex]")
Entonces te queda
![[tex]A(x)=c_n sin( \frac{n \pi}{a})[/tex]](images/latex/5528cb47e7eec18d9decaca9682271ca30ed57fc_0.png "[tex]A(x)=c_n sin( \frac{n \pi}{a})[/tex]")
(c_n una constante que depende de n)
Después como u(x,0)=0 tiene que ser B(0)=0, eso es que
![[tex]c_3 + c_4 =0 \\B(y)=c_3 e^{\frac{n \pi}{a} y} - c_3 e^{-\frac{n \pi}{a} y} = k sinh(\frac{n \pi}{a} y)[/tex]](images/latex/962b9289384e3182430c3000096a559d47021735_0.png "[tex]c_3 + c_4 =0 \\B(y)=c_3 e^{\frac{n \pi}{a} y} - c_3 e^{-\frac{n \pi}{a} y} = k sinh(\frac{n \pi}{a} y)[/tex]")
y al final queda
![[tex]u_n (x,y)=c_n sin( \frac{n \pi}{a} x ) sinh( \frac{n \pi}{a} y)[/tex]](images/latex/81793718ba2d0a1b51ee460139eedba065fba4c7_0.png "[tex]u_n (x,y)=c_n sin( \frac{n \pi}{a} x ) sinh( \frac{n \pi}{a} y)[/tex]")
y la ultima condicion inicial implica que si u(x,y) es la suma de u_1 +u_2 + ... + u_n,
![[tex]u(x,b)= \sum_{n=1}^{\infty} u_n (x,b) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n sin( \frac{n \pi}{a} x)sinh( n \pi )= f (x ) [/tex]](images/latex/46c49a9dad70aa42f2d7faa4db132f11f88ae3e8_0.png "[tex]u(x,b)= \sum_{n=1}^{\infty} u_n (x,b) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n sin( \frac{n \pi}{a} x)sinh( n \pi )= f (x ) [/tex]")
o sea que c_n*sinh(n pi) son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de f(x) en senos en (-a,a).
|
|
|
|
_________________
![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
|
|
  |
 |
|
Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
|
|
no entiendo porque al final te queda senh(n*pi) si estas reemplazando y por b 
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
|
|
| Si perdon, es sinh(npi b/a).
|
|
|
|
_________________
|
|
| |
|
|
sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
|
|
| Creo que también lo podés plantear en variable compleja, ya que, si no me equivoco, es un problema de Neumann. El hecho de que satisfaga la ecuación de Laplace habla de que es armónica (hasta ahora nada nuevo), por lo que debieras buscar una función analítica que cumpla las condiciones de borde y estarías.
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
¿Variable compleja en un problema de Neumann? ¿El problema de Neumann no es el que satisface ![[tex]H(x,y)[/tex]](images/latex/73377d51e42b920ea51584ef9be2d5225399d8ad_0.png "[tex]H(x,y)[/tex]") armónica en ![[tex]D[/tex]](images/latex/4db8f2a83e5bb46f76520cf5386485420f2aeacf_0.png "[tex]D[/tex]") y ![[tex]\frac{\partial H}{\partial \hat{n}} = 0[/tex]](images/latex/69f78a1e6a9897cb8a299ec57929732ff9123414_0.png "[tex]\frac{\partial H}{\partial \hat{n}} = 0[/tex]") en ![[tex]\partial D[/tex]](images/latex/3112027b55132d1aa9204673b30b87163275be41_0.png "[tex]\partial D[/tex]") ?
Vos decís transformar la región con una transformación conforme?
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
|
|
| Jackson666 escribió:
|
¿Variable compleja en un problema de Neumann? ¿El problema de Neumann no es el que satisface armónica en y en ?
Vos decís transformar la región con una transformación conforme?
|
No, tenés razón, creo que lo que tenés acá es un problema de Dirichlet (siempre me los confundí) y la transformación conforme es solamente para mejorar tu región (generalmente llevás el problema a todo el semiplano, a un circulo, a todo el plano, etc.).
Saludos
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
|
|
| sabian_reloaded escribió:
|
| Jackson666 escribió:
|
¿Variable compleja en un problema de Neumann? ¿El problema de Neumann no es el que satisface armónica en y en ?
Vos decís transformar la región con una transformación conforme?
|
No, tenés razón, creo que lo que tenés acá es un problema de Dirichlet (siempre me los confundí) y la transformación conforme es solamente para mejorar tu región (generalmente llevás el problema a todo el semiplano, a un circulo, a todo el plano, etc.).
Saludos
|
Más allá de como se denomine el problema (nunca lo recuerdo), creo que a lo que apunta Sabian es que dependiendo de las condiciones de contorno el problema se puede resolver tanto por variables separables como por transformaciones conformes (recordemos que las mismas conservan la ec. de Laplace, etc, etc...).
|
|
|
|
_________________
Foros-FIUBA o muerte
|
|
| |
|
|
sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
|
|
| SorLali escribió:
|
| sabian_reloaded escribió:
|
| Jackson666 escribió:
|
¿Variable compleja en un problema de Neumann? ¿El problema de Neumann no es el que satisface armónica en y en ?
Vos decís transformar la región con una transformación conforme?
|
No, tenés razón, creo que lo que tenés acá es un problema de Dirichlet (siempre me los confundí) y la transformación conforme es solamente para mejorar tu región (generalmente llevás el problema a todo el semiplano, a un circulo, a todo el plano, etc.).
Saludos
|
Más allá de como se denomine el problema (nunca lo recuerdo), creo que a lo que apunta Sabian es que dependiendo de las condiciones de contorno el problema se puede resolver tanto por variables separables como por transformaciones conformes (recordemos que las mismas conservan la ec. de Laplace, etc, etc...).
|
Eso, eso, eso.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
