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Jotate
Nivel 3
Registrado: 25 Jun 2011
Mensajes: 24
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Colegas, por algún motivo extraño el graficador me muestra algo distinto de lo que llegue para el dominio de positividad.
Como criterios tomé o que ambos paréntesis del numerador fueran positivos o ambos negativos y que el argumento del paréntesis del denominador fuese distinto de 0.
Si alguien pudiera explicarme como hacerlo, se los agradecería al infinito.
Perdón por la bobada y gracias de antemano.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Es como decís. Tenés que encontrar el conjunto de puntos (x, y) en el que los dos factores del numerador son ambos mayores que 0 (llamémoslo ![[tex]\textstyle A_1[/tex]](images/latex/e7ab7ec8d47b62f1fde41f3c0f28911445624c67_0.png "[tex]\textstyle A_1[/tex]") ), o ambos menores que 0 (llamémoslo ![[tex]\textstyle A_2[/tex]](images/latex/a5d881faa6a5595769ff632cddbc806a2a0eff5d_0.png "[tex]\textstyle A_2[/tex]") ). Que vienen dados por los siguientes sistemas de inecuaciones:
![[tex]A_1: \left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 < 1 \\x^2 > y^2\end{array} \right .A_2: \left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 > 1 \\x^2 < y^2\end{array} \right .[/tex]](images/latex/4a317622c460cc4da3e402ae472a0f4819d26750_0.png "[tex]A_1: \left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 < 1 \\x^2 > y^2\end{array} \right .A_2: \left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 > 1 \\x^2 < y^2\end{array} \right .[/tex]")
El conjunto de puntos (x, y) que cumplen la condición ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 < 1[/tex]](images/latex/c6b3b2c986fd4e204af977de8b9896ddbbe50877_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 < 1[/tex]") (llamémoslo ![[tex]\textstyle B_1[/tex]](images/latex/6256540cc2bb6e0479f2fa4dfea9b5700f8285a4_0.png "[tex]\textstyle B_1[/tex]") ) y el conjunto de puntos (x, y) que cumplen la condición ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 > 1[/tex]](images/latex/592c809ce1d9182c1e5c80a95b631b23f5e29f3e_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 > 1[/tex]") (llamémoslo ![[tex]\textstyle B_2[/tex]](images/latex/1a300efa5f39e038fd47b96297784d65bf1eb868_0.png "[tex]\textstyle B_2[/tex]") ) son las regiones interna y externa de un círculo de radio 1 centrado en el origen (gráfico), así que en coordenadas polares viene dado por la inecuación ![[tex]\textstyle \rho < 1[/tex]](images/latex/0e8da2a944524603ad3e09e0720d9727f24ea9e1_0.png "[tex]\textstyle \rho < 1[/tex]") , y por la inecuación ![[tex]\textstyle \rho > 1[/tex]](images/latex/8903c562ce727e0be5479be05a179fb16f7d4530_0.png "[tex]\textstyle \rho > 1[/tex]") .
El conjunto de puntos (x, y) que cumplen la condición ![[tex]\textstyle x^2 > y^2[/tex]](images/latex/98589c02f932b320a91433a62bd9287bd9ef33fe_0.png "[tex]\textstyle x^2 > y^2[/tex]") (llamémoslo ![[tex]\textstyle C_1[/tex]](images/latex/93c9e7ff082b4e53163d2d39f02949e7f8e76886_0.png "[tex]\textstyle C_1[/tex]") ) y el conjunto de puntos (x, y) que cumplen la condición ![[tex]\textstyle x^2 < y^2[/tex]](images/latex/9b9bd85832fc30fe35506c65fc712922294dd045_0.png "[tex]\textstyle x^2 < y^2[/tex]") (llamémoslo ![[tex]\textstyle C_2[/tex]](images/latex/7149fa5441554437964d455548cc88a6ba6d666a_0.png "[tex]\textstyle C_2[/tex]") ) son regiones delimitadas por las rectas y = x e y = -x (gráfico). En coordenadas polares se puede expresar como unión de tres conjuntos ![[tex]\textstyle D_{11} \mbox {, } D_{12} \mbox { y } D_{13}[/tex]](images/latex/158e091ad43dad8f7a2ffbdddc8a799d31e3870b_0.png "[tex]\textstyle D_{11} \mbox {, } D_{12} \mbox { y } D_{13}[/tex]") , el primero de los cuales viene dado por la inecuación ![[tex]\textstyle \varphi < \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/b7ddc8e961b3b56728b81d09e0abc4f935a94c0f_0.png "[tex]\textstyle \varphi < \frac{\pi}{4}[/tex]") (mitad superior de la región derecha), el segundo de los cuales viene dado por el sistema de inecuaciones ![[tex]\textstyle \frac{3\pi}{4} < \varphi < \frac{5\pi}{4}[/tex]](images/latex/7eaae813b3f5fa9d70f74de737257c171f44dd29_0.png "[tex]\textstyle \frac{3\pi}{4} < \varphi < \frac{5\pi}{4}[/tex]") (región izquierda), y el tercero de los cuales viene dado por la inecuación ![[tex]\textstyle \varphi > \frac{7\pi}{4}[/tex]](images/latex/df92eab35b27905b70c05621a52aeb3b3a332e49_0.png "[tex]\textstyle \varphi > \frac{7\pi}{4}[/tex]") (mitad inferior de la región derecha). En coordenadas polares se puede expresar como unión de dos conjuntos ![[tex]\textstyle D_{21} \mbox { y } D_{22}[/tex]](images/latex/fe3a0fcf5f831b75e83b89c3afa057e3bdbf7606_0.png "[tex]\textstyle D_{21} \mbox { y } D_{22}[/tex]") , el primero de los cuales viene dado por el sistema de inecuaciones ![[tex]\textstyle \frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}[/tex]](images/latex/4656edc78ed9f1e29fdf7c0a1496415dc49177b2_0.png "[tex]\textstyle \frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}[/tex]") (región superior), y el segundo de los cuales viene dado por el sistema de inecuaciones ![[tex]\textstyle \frac{5\pi}{4} < \varphi < \frac{7\pi}{4}[/tex]](images/latex/c21b1ab47c5ca94649d960f847b7f925457ae450_0.png "[tex]\textstyle \frac{5\pi}{4} < \varphi < \frac{7\pi}{4}[/tex]") (región inferior).
(Partamos de la base que además ![[tex]\textstyle \rho \geq 0 \mbox{ y } 0 \leq \varphi < 2\pi[/tex]](images/latex/8f6af3eae0e4f74d0410fc9204fc63e11ffad29c_0.png "[tex]\textstyle \rho \geq 0 \mbox{ y } 0 \leq \varphi < 2\pi[/tex]") )
Entonces:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}A_1 = B_1 \cap (D_{11} \cup D_{12} \cup D_{13}) = (B_1 \cap D_{11}) \cup (B_1 \cap D_{12}) \cup (B_1 \cap D_{13}) \\A_2 = B_1 \cap (D_{21} \cup D_{22}) =(B_2 \cap D_{21}) \cup (B_2 \cap D_{22})\end{array} \right .[/tex]](images/latex/8ddc8d973ed3562b191a8f630ed00dc83f203d3b_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}A_1 = B_1 \cap (D_{11} \cup D_{12} \cup D_{13}) = (B_1 \cap D_{11}) \cup (B_1 \cap D_{12}) \cup (B_1 \cap D_{13}) \\A_2 = B_1 \cap (D_{21} \cup D_{22}) =(B_2 \cap D_{21}) \cup (B_2 \cap D_{22})\end{array} \right .[/tex]")
Y el conjunto de puntos (x, y) que cumplen la condición f(x, y) > 0 es ![[tex]\textstyle A_1 \cup A_2[/tex]](images/latex/8402b1c1157fbd16300008f56daefe38223b33e2_0.png "[tex]\textstyle A_1 \cup A_2[/tex]") , o sea, la unión de los conjuntos que vienen dados por los siguientes sistemas de inecuaciones:
![[tex]B_1 \cap D_{11}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\varphi < \frac{\pi}{4}\end{array} \right .B_1 \cap D_{12}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\frac{3\pi}{4} < \varphi < \frac{5\pi}{4}\end{array} \right .B_1 \cap D_{13}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\varphi > \frac{7\pi}{4}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/204766cad6d96aed3f605e653c5bbff39b2d3a28_0.png "[tex]B_1 \cap D_{11}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\varphi < \frac{\pi}{4}\end{array} \right .B_1 \cap D_{12}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\frac{3\pi}{4} < \varphi < \frac{5\pi}{4}\end{array} \right .B_1 \cap D_{13}: \left \{ \begin{array}{l}\rho < 1 \\\varphi > \frac{7\pi}{4}\end{array} \right .[/tex]")
![[tex]B_2 \cap D_{21}: \left \{ \begin{array}{l}\rho > 1 \\\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}\end{array} \right .B_2 \cap D_{22}: \left \{ \begin{array}{l}\rho > 1 \\\frac{5\pi}{4} < \varphi < \frac{7\pi}{4}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/41154b618ff8c416c4d2900c374c9be87d8479e1_0.png "[tex]B_2 \cap D_{21}: \left \{ \begin{array}{l}\rho > 1 \\\frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{3\pi}{4}\end{array} \right .B_2 \cap D_{22}: \left \{ \begin{array}{l}\rho > 1 \\\frac{5\pi}{4} < \varphi < \frac{7\pi}{4}\end{array} \right .[/tex]")
Algunos gráficos:
Gráfico de ![[tex]\textstyle B_1 \cap D_{11}[/tex]](images/latex/cfa7385bcafc3ed1523c3052eab051e45b42c6a6_0.png "[tex]\textstyle B_1 \cap D_{11}[/tex]")
Gráfico de ![[tex]\textstyle B_1 \cap D_{12}[/tex]](images/latex/1394efd0147e3fa5a7a61a03db28f27323a7f715_0.png "[tex]\textstyle B_1 \cap D_{12}[/tex]")
Gráfico de ![[tex]\textstyle B_1 \cap D_{13}[/tex]](images/latex/1ec4750eb498810672ed9cfe588f1cbd0c4079f5_0.png "[tex]\textstyle B_1 \cap D_{13}[/tex]")
Gráfico de ![[tex]\textstyle B_2 \cap D_{21}[/tex]](images/latex/ee7dd680df1b7e1cc791070572ade853f0e32687_0.png "[tex]\textstyle B_2 \cap D_{21}[/tex]")
Gráfico de ![[tex]\textstyle B_2 \cap D_{22}[/tex]](images/latex/36cc404122abbc0844278d2f0ee9281268d42bda_0.png "[tex]\textstyle B_2 \cap D_{22}[/tex]")
Gráfico de
Gráfico de
Los puntos que anulan el denominador son los de la hipérbola ![[tex]\textstyle x^2 - y^2 = 1[/tex]](images/latex/86886e7a52e55d3c8e1b1f0f1239817e74ddf54d_0.png "[tex]\textstyle x^2 - y^2 = 1[/tex]") , que no tiene intersección con las rectas y = x e y = -x, y que tiene dos puntos comunes con la circunferencia ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 1[/tex]](images/latex/ba316988a85db2ddc18930822addb8369a2bf323_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 1[/tex]") (gráfico). Esos puntos son (-1; 0) y (1; 0), pero no están en el conjunto hallado, así que no hay que hacer ninguna salvedad.
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