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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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Es el número 4 del 18/II/2010.
Dice:
La cantidad de accidentes de tránsito durante una tormenta tiene una distribución Poisson de media u. La distribución a priori de u es una exponencial de intensidad 1.
a) Hallar la distribución a posteriori de u si durante 5 tormentas se observaron las siguientes cantidades de accidentes: 5,2,6,5,9.
Resolución y duda:
Apliqué la formulita mágica. La duda es sobre donde meto esos datos muestrales (5,2,6,5,9). Tengo la Poisson que depende de u (el cual tengo que integrar) y de x (la cantidad de accidentes). Pensé en hacer el promedio de esos valores, lo cual me da 5,4.....pero el factorial de 5.4 es imposible!!! Donde estoy fallando?? En la media de esos valores??
Gracias.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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![[tex]f_{\mu | X} = k f_{X| \mu} f_{\mu}[/tex]](images/latex/8394749501e4375e9b08b29a85ad581dcd90dacb_0.png "[tex]f_{\mu | X} = k f_{X| \mu} f_{\mu}[/tex]")
la densidad de mu dado X es la densidad a posteriori, la densidad a priori es ![[tex]f_{\mu}[/tex]](images/latex/509971b5fd277294ac10f688d3a8f98124f70214_0.png "[tex]f_{\mu}[/tex]") y es exponencial, después k es una constante de proporcionalidad, y la densidad de X dado mu, asumiendo que cada accidente es independiente del anterior es el producto de las densidades de cada X_i, o sea una Poisson de mu=5, 2, 6, 5, y 9. Después si querés estimar mu calculás la moda/esperanza de la densidad a posteriori, etc, eso ni te lo piden.
edit: no lei bien, si en 5 tormentas se obserbaron 5, 2, ..., 9 accidentes, estimás el valor de mu (de la forma que te parezca) y usas ese valor en la función de probabilidad de X dado mu.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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Pero mi duda es: la poisson depende de la mu y de X, que es la cantidad de accidentes. El dato 5,2,6,5,9 es la mu de cada medición o es la X?? Yo entendi que es la X, pero vos pusiste que mu=5, 2, 6, 5, y 9.
No se si se entiende mi duda, creo que estoy muy perdido con este tema.
Gracias.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Si, lo puse mal, después lo agregué al final. X es la cantidad de accidentes, que es Poisson de parámetro mu que es una variable aleatoria. Si X es el número de accidentes por tormenta y Y es el número de accidentes en 5 tormentas, Y es Poisson(5mu), lo podés ver de varias maneras, pero el dato de valores observados de X es para estimar mu, para cada valor de X observado corresponde una Poisson de parámetro mu que estimás en base a los datos que te dan, como cada X_i (el correspondiente a los 5 accidentes observados, a los 2, 6, etc.) es independiente de los demás, ![[tex]f_{X| \mu}[/tex]](images/latex/212c41244c2122071e013910ac647e63e9cabc28_0.png "[tex]f_{X| \mu}[/tex]") es la productoria de las funciones de probabilidad de cada variable, o sea Poisson con el valor de mu que estimás.
Debo haber repetido lo mismo como 5 veces, si no se entiende te digo como quedaría la densidad a posteriori.
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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Qué casualidad che, yo justo estaba luchando con el mismo ejericio!
| df escribió:
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si no se entiende te digo como quedaría la densidad a posteriori.
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Si no es mucha molestia, se agradecería que muestres "el modelo terminado" 
Gracias!
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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| df escribió:
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Si, lo puse mal, después lo agregué al final. X es la cantidad de accidentes, que es Poisson de parámetro mu que es una variable aleatoria. Si X es el número de accidentes por tormenta y Y es el número de accidentes en 5 tormentas, Y es Poisson(5mu), lo podés ver de varias maneras, pero el dato de valores observados de X es para estimar mu, para cada valor de X observado corresponde una Poisson de parámetro mu que estimás en base a los datos que te dan, como cada X_i (el correspondiente a los 5 accidentes observados, a los 2, 6, etc.) es independiente de los demás, es la productoria de las funciones de probabilidad de cada variable, o sea Poisson con el valor de mu que estimás.
Debo haber repetido lo mismo como 5 veces, si no se entiende te digo como quedaría la densidad a posteriori.
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Creo que ya lo entendí. Estaba fallando con eso de la productoria. Igual mañana lo veo mejor porque ahora no tengo mis apuntes acá en la compu.
Muchas gracias por la pronta respuesta.
De paso pregunto, alguien tiene alguna tabla bien completa con los estimadores de las funciones más populares??
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| RiaNo escribió:
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Qué casualidad che, yo justo estaba luchando con el mismo ejericio!
| df escribió:
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si no se entiende te digo como quedaría la densidad a posteriori.
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Si no es mucha molestia, se agradecería que muestres "el modelo terminado"
Gracias!
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![[tex]f_{ \mu | X }= \alpha e^{- \mu} \frac {e^{-5 \mu} \mu ^{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)}}{k_1 ! k_2 ! k_3 ! k_4 ! k_5 !}[/tex]](images/latex/54aeafdcb7308a8bc6429f5b7163210de3f709aa_0.png "[tex]f_{ \mu | X }= \alpha e^{- \mu} \frac {e^{-5 \mu} \mu ^{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)}}{k_1 ! k_2 ! k_3 ! k_4 ! k_5 !}[/tex]")
alfa es una constante de proporcionalidad (en realidad todo eso va dividido por ![[tex]f_X [/tex]](images/latex/2d1e02ddee4d9bb0680a8255f05ce5412f6eff56_0.png "[tex]f_X [/tex]") pero es una paja calcular eso), la primera exponencial es la densidad a priori y el resto es ![[tex]f_{X| \mu} [/tex]](images/latex/0790a78fc00d65eb82f2ec0839da8f82bc197cd1_0.png "[tex]f_{X| \mu} [/tex]") .
Cada k_i es el número de accidentes observados por tormenta.
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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| df escribió:
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| RiaNo escribió:
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Qué casualidad che, yo justo estaba luchando con el mismo ejericio!
| df escribió:
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si no se entiende te digo como quedaría la densidad a posteriori.
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Si no es mucha molestia, se agradecería que muestres "el modelo terminado"
Gracias!
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alfa es una constante de proporcionalidad (en realidad todo eso va dividido por pero es una paja calcular eso), la primera exponencial es la densidad a priori y el resto es .
Cada k_i es el número de accidentes observados por tormenta.
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Gracias df! sos un grande. Me dio igual esa parte.
Es el primer ejercicio que hago de este tema, y quería ver si estaba apuntándole bien.
Gracias otra vez. Saludos!
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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Riano, vos resolviste la integral?? Porque a mi me queda algo irresoluble.
Me queda 'mu' elevado a la 27 y 'e' con exponente '-6*mu'.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Tiene pinta de Gamma eso.
edit: mu es gamma(6,28 ), o sea todo ese producto de factoriales que tenés dividiendo va multiplicado por alguna constante para que la integral te de 1, y todo eso tiene que ser 6^28/27!.
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
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Carrera: No especificada
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Eso que digo es la distribución Gamma, si X es gamma entonces
![[tex]f_X (x;\lambda,r)= \frac{ \lambda ^r}{\Gamma (r)} x^{r-1} e^{- \lambda x}[/tex]](images/latex/f7eea15c344cc2ef05adbb70272ff991ebf5f858_0.png "[tex]f_X (x;\lambda,r)= \frac{ \lambda ^r}{\Gamma (r)} x^{r-1} e^{- \lambda x}[/tex]")
y el coso ese en el denominador es la función gamma
![[tex]\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx[/tex]](images/latex/32d189430584f1e65c79b6b4917322f9deaa17b0_0.png "[tex]\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx[/tex]")
Para valores de z enteros gamma(z)=(z-1)!
gamma(1/2)=pi^(1/2), y para cualquier valor gamma(z)=(z-1)gamma(z-1)
r y lambda son los parámetros de la gamma, en general vas a tener r entero asi que es solo (r-1)!.
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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| kohoutek escribió:
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Riano, vos resolviste la integral?? Porque a mi me queda algo irresoluble.
Me queda 'mu' elevado a la 27 y 'e' con exponente '-6*mu'.
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Digamos que "Si"; aunque en rigor lo resolvió el mathcad 
Metí la integral, y me salió el resultado.
Por cierto, los valores que obtuve son:
a) para el estimador de mu es: 4,667.
b) la probabilidad que pide: 0,185.
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felpis
Nivel 4
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 87
Carrera: Electrónica
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a mi me dio mu map = 4.5 y la probabilidad que pide 0.189808
sls !
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UBA Rules!
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