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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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Hola! Tengo un ejercicio de una esfera homogénea que la dejan en libertad sobre una superficie horizontal que en t= 0 tiene una velocidad angular Wo y la velocidad de su centro es 0. R=1m; Wo= 7 s^-1; Mu =0,2; M=10kg. La pregunta es: ¿Cuál es la velocidad que alcanza el centro de masa, cuando la esfera comienza a rodar sin resbalar? ¿Es la velocidad máxima?
Hice el DCL y planteé las ecuaciones de traslación y de rotación, que me quedaron:
x) Froz= M.acm
y) NM=PM
SumatoriaM= Icm.gama
Froz.R= 2/5MR^2.acm/R
Froz= 2/5Macm
Mepa que está mal porque no siempre rueda sin resbalar, pero no sé cómo hacer. Alguien me ayuda?
Gracias! Otra vez los soborno con una Angus ;D
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Tenemos que averiguar ![[tex]V_fx = V_f[/tex]](images/latex/77321b9d345ca51cb62b71abb9ea425e73a17b5c_0.png "[tex]V_fx = V_f[/tex]") .
![[tex]V_f = V_i + a_x t \quad (V_i = 0)[/tex]](images/latex/e51029e2f0ad4271b5b9708052507f148b09c33d_0.png "[tex]V_f = V_i + a_x t \quad (V_i = 0)[/tex]")
![[tex]V_f = a t[/tex]](images/latex/1c31fb8cfa660cf27f574910638b22947453c03b_0.png "[tex]V_f = a t[/tex]")
Por otro lado, la velocidad angular final del cuerpo es:
![[tex]\omega_f = \omega_0 - \gamma t[/tex]](images/latex/427efcc508946dc9ab7eac4db0e695e52a2035f0_0.png "[tex]\omega_f = \omega_0 - \gamma t[/tex]")
Sabemos que en el movimiento circular de un cuerpo rígido: ![[tex]a = \gamma R[/tex]](images/latex/cb66b5723d9a0085d99b510191b4d453198da041_0.png "[tex]a = \gamma R[/tex]") y también que cuando un cuerpo está en rodadura se verifica que ![[tex]V = \omega R[/tex]](images/latex/060ec048e4e888d2e151582908e18ee913c3a5e5_0.png "[tex]V = \omega R[/tex]") .
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
![[tex]\begin{cases}V_f = a t \quad (1) \\\omega_f = \omega_0 - \gamma t \quad (2) \\a = \gamma R \quad (3) \\V_f = \omega_f R \quad (4)\end{cases}[/tex]](images/latex/900fef623fc7a16341fb4209a185ebb2c09b1de7_0.png "[tex]\begin{cases}V_f = a t \quad (1) \\\omega_f = \omega_0 - \gamma t \quad (2) \\a = \gamma R \quad (3) \\V_f = \omega_f R \quad (4)\end{cases}[/tex]")
Reemplazando (1) en (2):
![[tex]\omega_f = \omega_0 - \gamma \frac{V_f}{a}[/tex]](images/latex/edd6787c3c462dc76884e0703808b6a0b3699706_0.png "[tex]\omega_f = \omega_0 - \gamma \frac{V_f}{a}[/tex]")
Reemplazando (3) ahora:
![[tex]\omega_f = \omega_0 - \frac{a}{R} \frac{V_f}{a}[/tex]](images/latex/59ce81cfc46bbd34a5a9bed1a27e97485a017e97_0.png "[tex]\omega_f = \omega_0 - \frac{a}{R} \frac{V_f}{a}[/tex]")
Y reemplazando (4) en esto:
![[tex]\frac{V_f}{R} = \omega_0 - \frac{a}{R} \frac{V_f}{a}[/tex]](images/latex/ce214f66e8fbdd1b20602abd238a5000eb7c9e35_0.png "[tex]\frac{V_f}{R} = \omega_0 - \frac{a}{R} \frac{V_f}{a}[/tex]")
![[tex]\frac{V_f}{R} = \omega_0 - \frac{V_f}{R}[/tex]](images/latex/96e152fc8e6dae155aee84e356fb9cd345fa400c_0.png "[tex]\frac{V_f}{R} = \omega_0 - \frac{V_f}{R}[/tex]")
![[tex]2\frac{V_f}{R} = \omega_0[/tex]](images/latex/abec6197d6264eabfc6925b44f38ddeddefe26df_0.png "[tex]2\frac{V_f}{R} = \omega_0[/tex]")
![[tex]V_f = \frac{ R \omega_0 }{2}[/tex]](images/latex/f80963f7e08121ed47713f378a7a71f4dd4fa5b6_0.png "[tex]V_f = \frac{ R \omega_0 }{2}[/tex]")
Creo que esto es válido solo para esferas y cilindros porque en ningún lado entra el momento de inercia. Y tampoco parece que depende del coeficiente de rozamiento. Me acuerdo que me lo tomaron en un final este ejercicio y nunca pude saber si esta es la resolución correcta (se me ocurrió mucho después de haberlo entregado en blanco).
Ah, y sí, es la velocidad máxima. Si fuese mas o menos rápido, la fuerza de rozamiento entra en acción y corregiría haciendo torque (aumentando o disminuyendo la velocidad angular).
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
Ubicación: Zona Norte
Carrera: Electricista
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Koreano, no estoy de acuerdo con tu resolución.
Las cuatro ecuaciones que empezas usando estan mal. La (1) y la (2) porque estas asumiendo que la aceleracion de traslacion y la angular son constantes (lo cual esta bien, pero hay que deducirlo de las formulas, no se puede poner asi nomas). La (3) y la (4) estan mal porque asumis que el cuerpo rueda sin deslizar (desde ahora, RSD), lo cual no es correcto, ya que primero desliza un tramo, y dsps al final rueda sin deslizar, y en ese estado hay que calcular la velocidad de traslacion.
Resolvi el ejercicio en papel y pasarlo aca es una paja, asi que subi las fotos aca:
http://imageshack.us/photo/my-images/52/cuerporgido1.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/855/cuerporgido2.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/594/cuerporgido3.jpg/
Cualquier duda, consulten.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Por fin, ahí me gusta mas. Yo lo pensé como que patinaba en el lugar (re idealizado)
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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Muchas gracias a ambos!
Una pregunta, por qué en Tr Froz cambia de sentido?
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
Ubicación: Zona Norte
Carrera: Electricista
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| Cita:
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Una pregunta, por qué en Tr Froz cambia de sentido?
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Buena pregunta, en realidad lo supuse asi porque a partir de que el cuerpo rueda sin deslizar, la velocidad de traslacion se mantiene constante, o sea, que no tendria que tener aceleracion. El tema es que si Fr cambia de sentido el cuerpo tambien tendria una aceleracion pero para atras, asi que hay algo que no me cierra.
En definitiva, segun yo, si el cuerpo termina en regimen de rodamiento sin deslizar, tendria que desaparecer la Fr, o por lo menos, no debe ser tomada en cuenta en las cuentas porq la velocidad del punto donde esta aplicada es cero. Ahora, no se bien cual de las dos es, dejame que lo consulto en la semana (o que alguien que sepa responda). Y dsps paso y te digo.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Cuando entra en rodadura no hay fuerza de rozamiento alguna porque todos los puntos "encajan" por así decirlo. Está girando de tal manera que el punto de contacto es el CIR sin que ninguna fuerza intervenga.
CIR = centro instantaneo de rotación btw
EDIT: en realidad, rodadura no es una condición tan exigente. también cuando hay Froz 'corrigiendo' para que no deslize también es rodadura. Pero me refiero a que si se deja al cuerpo libre, llega un punto en el que el cuerpo rueda y blah blah lo que dije antes
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Oso
Nivel 9
Edad: 38
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 2716
Ubicación: San Isidro
Carrera: Industrial
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| koreano escribió:
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Cuando entra en rodadura no hay fuerza de rozamiento alguna porque todos los puntos "encajan" por así decirlo. Está girando de tal manera que el punto de contacto es el CIR sin que ninguna fuerza intervenga.
CIR = centro instantaneo de rotación btw
EDIT: en realidad, rodadura no es una condición tan exigente. también cuando hay Froz 'corrigiendo' para que no deslize también es rodadura. Pero me refiero a que si se deja al cuerpo libre, llega un punto en el que el cuerpo rueda y blah blah lo que dije antes
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Acá hay un error. La fuerza de rozamiento es la que hace que un cuerpo ruede sin resbalar. Lo que pasa cuando un cuerpo rueda sin resbalar es que ![[tex]W_{FRoz}=0[/tex]](images/latex/bd58c6a6dee37d449a6588dffd22dcdaf6ee131d_0.png "[tex]W_{FRoz}=0[/tex]") ya que el CIR cambia constantemente.
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![[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]](images/latex/a328513baa7a9ae1a5f22b69d45dd2a6b90980e8_0.png "[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Es lo que aclaré en el edit, en ppio sí. Pero después llega un punto (pun) en el que la fuerza de rozamiento no es necesaria. La manera mas fácil de imaginarlo es la siguiente: tenés el cuerpo en el medio de la nada avanzando a v de traslación kte de sus centro de masa. Al mismo tiempo también está girando con velocidad angular ![[tex]\omega = \frac{v}{R}[/tex]](images/latex/3b6a4260918708dd875f1eb2082de749a43cf4a7_0.png "[tex]\omega = \frac{v}{R}[/tex]") . Ahora agregás la superficie. No cambia nada, la fuerza de rozamiento no tiene por qué hacer torque.
Por el absurdo, si hubiese froz constantemente tenés dos opciones:
- El torque de la froz aumenta la v angular y por tanto la velocidad de translación por rodadura => velocidad infinita.
- El torque de la froz reduce la v angular y el cuerpo se detiene => imposible, no hay trabajo entonces tiene que haber conservación de energía.
Por lo tanto la froz no hace torque y como está aplicada a distancia != 0 en el CIR desde el CM, su magnitud debe ser 0.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Concuerdo con casi toda la resolución de Eloe4, excepto por algunos signos en expresiones intermedias, y excepto que, en mi opinión, el rozamiento no cambia de dirección cuando ![[tex]\textstyle \vec v_P[/tex]](images/latex/1bc0883d1ef2f12f206ef0b144097fe46af01db3_0.png "[tex]\textstyle \vec v_P[/tex]") se hace nula, sino que, como dice Koreano, se hace nulo también, y con una discontinuidad. Es decir, se pasa a una condición de rozamiento estático nulo.
Usando los símbolos de la resolución de Eloe4 y su sistema de coordenadas, las expresiones vectoriales de las funciones de interés para el problema son:
Velocidad del centro de la esfera
![[tex]\vec v_C(t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu gt \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\frac{2}{7} \omega_o R \hat i & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/c420d64c7607011f25a1cf71cd95616ef3617bee_0.png "[tex]\vec v_C(t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu gt \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\frac{2}{7} \omega_o R \hat i & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
Aceleración del centro de la esfera
![[tex]\vec a_C(t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu g \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/1e8a2a8a24150f624aa59abe1599f632cac22bfb_0.png "[tex]\vec a_C(t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu g \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
Velocidad angular
![[tex]\vec \omega (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\left ( \frac {5 \mu g}{2R}t - \omega_o \right ) \hat k & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\-\frac{2}{7} \omega_o \hat k & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/f11852a2bc6f3b7757953de25e71738dd01c6ff1_0.png "[tex]\vec \omega (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\left ( \frac {5 \mu g}{2R}t - \omega_o \right ) \hat k & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\-\frac{2}{7} \omega_o \hat k & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
Aceleración angular
![[tex]\vec \gamma (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\frac {5 \mu g}{2R} \hat k & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/3269793671adfe3b68caa4a5cd3727accf6f72b5_0.png "[tex]\vec \gamma (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\frac {5 \mu g}{2R} \hat k & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
Velocidad del punto P
![[tex]\vec v_P(t) = \vec v_C(t) + \vec \omega \times (-R \hat j) = \left \{ \begin{array}{ll}\left ( \frac {7}{2} \mu gt - \omega_o R \right ) \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/2cc3e55580ab7d2c2c5ed5fdb5ff39cff2591d09_0.png "[tex]\vec v_P(t) = \vec v_C(t) + \vec \omega \times (-R \hat j) = \left \{ \begin{array}{ll}\left ( \frac {7}{2} \mu gt - \omega_o R \right ) \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
Fuerza de rozamiento:
![[tex]\vec F_R (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu Mg \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]](images/latex/a613af28ba60533041963ba38e75f253f41e3c30_0.png "[tex]\vec F_R (t) = \left \{ \begin{array}{ll}\mu Mg \hat i & \mbox{si } t \le \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g} \\\vec 0 & \mbox{si } t > \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}\end{array} \right .[/tex]")
En otras palabras, los módulos de la fuerza de rozamiento, la aceleración del centro de la esfera, y la aceleración angular tienen una discontinuidad en ![[tex]\textstyle t = \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}[/tex]](images/latex/ff932a8ca913cd3aadd857c478bcd158b9820bb5_0.png "[tex]\textstyle t = \frac{2 \omega_o R}{7 \mu g}[/tex]") , el módulo de la velocidad angular decrece linealmente y luego se hace constante, sin cambiar el sentido de rotación, y el módulo de la velocidad del centro de la esfera crece linealmente hasta un valor máximo, y luego se mantiene constante.
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