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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 05 Dic 2009
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Ubicación: florida
Carrera: Mecánica
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Necesitaría saber si alguien me puede ayudar con este ejercicio es el ejercicio (uno) del ultimo parcial del siguiente link:
http://materias.fi.uba.ar/6103/parciales/parciales10.pdf
Yo plantie y hice lo siguiente:
G(X,Y) es una composición de funciones C1 por lo tanto la derivada de G en la dirección V en el punto dado. Es el gradiente en el punto por la dire. Arranque calculando el gradiente de G y me dio el vector nulo para todo punto y ahi es cuando me saltaron las dudas pq ya con eso se resuelve todo sin haber usado bocha de datos. Esta bien lo que hice???
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
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Carrera: Electricista
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buenas,
no entendi bien como hiciste para terminar el ejercicio sabiendo eso, pero para hacerlo bien hay que usar todos los datos..
te pongo masomenos como se hace omitiendo toda la parte de la justificacion q hay q poner en los parciales:
bueno, lo primero q hay q observar es q b es distinto de cero, asiq ahi ya sacaste uno;
dsps calculas el gradiente de g:
grad(g(x,y))=(-f'x,-f'y + 2(1-b/b)(y-2) )
grad(g(1,2))=(0,0) ---> porq tenes el dato del gradiente de f en (1,2), entonces de ahi sacas f'x(1,2) y f'y(1,2)
Bueno, esto NO es condicion suficiente para q la funcion g tenga extremos en (1,2), es condicion necesaria, pero no suficiente.
Entonces, por ahora vamos bien, porq lo anterior dice q PUEDE tener extremos.
Ahora calculamos Hg(x,y) (matriz hessiana de g en cualquier punto), para ver donde hay extremos..
Hg(x,y)= fila1: (-f''xx(x,y),-f''xy(x,y)), fila2: (-f''xy(x,y),-f''yy(x,y)+2(1-b/b))
(espero q se entienda la notacion)
bueno, como tenemos de dato Hf(1,2), tenemos f''xx(1,2)=1 ; f''xy(1,2)=0 ; f''yy(1,2)=-2
entonces:
Hg(1,2)= fila1: (-1,0), fila2: (0,2+2(1-b/b))
sacas el determinante: det(Hg(1,2))=-2-2(1-b/b)
primero te fijas para q valores de b el det es mayor a cero, (ahi hay extremos, esta si es condicion suficiente una vez q obtuviste la condicion del gradiente)
-2-2(1-b/b)>0
(b-1)/b>1
y aca se separa la desigualdad en dos (ya habiamos dicho q b era distinto de cero):
si b>0
b-1>b
-1>0, absurdo para cualquier b
si b<0
b-1<b
-1<0
vale para todo b<0
Entonces hay extremos para todo b<0, y la funcion g siempre alcanza un maximo local para todo b<0, ya que g''xx(1,2)=-f''xx(1,2)=-1<0> maximo local
Ahora solo falta ver para los casos donde el determinante de la matriz hessiana en (1,2) es igual a cero, porq para esos casos el teorema no resuelve, o sea q habria q sacar los extremos por definicion (evaluando a los lados de la funcion en un entorno). (Hasta ahora lo unico q hicimos fue ver cuando ese determinante es mayor a cero, q encuentra extremos seguro; cuando es menor a cero, seguro no hay extremos asiq no nos interesa, pero cuando es igual a cero deja el tema inconcluso).
Entonces:
-2-2(1-b/b)=0
-2=2(1-b/b)
-1=(1-b)/b
-b=1-b
0=1,
absurdo para todo b, entonces no hay valores de b tal que la matriz hessiana de g en (1,2) sea igual a cero (por suerte), entonces el teorema siempre decide, y listo, no hay q hacer nada mas.
pido disculpas si hay errores o cosas inentendibles...
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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
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| Ese es el ejercicio 2 no el 1
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Fran Epsilon
Nivel 6
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| Ese es el ejercicio 2 no el 1
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Fran Epsilon
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
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Mensajes: 2329
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loonatic
Nivel 9
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| Fran Epsilon escribió:
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G(X,Y) es una composición de funciones C1 por lo tanto la derivada de G en la dirección V en el punto dado. Es el gradiente en el punto por la dire. Arranque calculando el gradiente de G y me dio el vector nulo para todo punto y ahi es cuando me saltaron las dudas pq ya con eso se resuelve todo sin haber usado bocha de datos. Esta bien lo que hice???
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EDIT. Contesté otro ej.
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Última edición por loonatic el Lun Abr 25, 2011 8:28 pm, editado 1 vez
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Basterman
Nivel 9
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Carrera: Mecánica
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| 1 del ultimo parcial del link, el que pusiste es del primero.
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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
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| Chicos no es el primer ejercicio del primer parcial es el primer ejercicio del ultimo parcial del link
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loonatic
Nivel 9
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Carrera: Sistemas
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| Ah pero soy una ciega jajaja.
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Eloe 4
Nivel 7
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Perdon, mi culpa, hice el ejercicio 1 del primer parcial, vamos con el q pediste:
sacamos el gradiente de g:
grad(g)(x,y)=(g'x,g'y)
u=x-y
v=y-x
g'x(x,y)=g'u(x,y).u'x(x,y)+g'v(x,y).v'x(x,y)=g'u(x,y)-g'v(x,y)=f'u(u,v)-f'v(u,v)
(por regla de la cadena, etc etc), lo mismo con el otro:
g'y(x,y)=f'v(u,v)-f'u(u,v)
g'x(1,1)=f'u(0,0)-f'v(0,0)
g'y(1,1)=f'v(0,0)-f'u(0,0)
ahi ya tenes q usar todos los datos para poder sacar el gradiente de g, seguimos:
g(1,1)=f(0,0)=1 (evaluando el plano en (0,0), sacas z=f(0,0)=1
aca me parece q esta mal el enunciado del problema, ya q te cambia las variables, y ahora te pone el plano en funcion de x e y, cuando f estaba en realidad en funcion de u y de v, no se puede hacer en realidad el ejercicio, esta mal el enunciado, pero bueno....
ecuacion del plano tangente: (x-xo,y-yo,z-zo).(a,b,c)=0
(producto escalar), donde:
(a,b,c) es el vector normal al plano
y (xo,yo,zo) es el punto donde sacas el plano tangente,
entonces (xo,yo,zo)=(0,0,1)
haces el producto escalar:
ax+by+c(z-1)=0
y esa es la ecuacion del plano en (0,0,1)
Entonces, a=2, b=-1, c=3
entonces n=(2,-1,3)
o n=(2/3,-1/3,1) (ya que es una direccion, hace el producto escalar y vas a ver q da lo mismo)
pero al mismo tiempo (esto sale de parametrizar la funcion f, sacar el producto vectorial de la parametrizacion respecto de las variables, etc), y queda:
n=(-f'x(0,0),-f'y(0,0),1)
entonces, f'x(0,0)=-2/3 y f'y(0,0)=1/3
(donde esa x e y, en realidad son u y v, por eso digo q esta mal planteado el ejercicio)
entonces tenes, por lo de mas arriba:
g'x(1,1)=-2/3-1/3=-1
g'y(1,1)=1/3+2/3=1
entonces la derivada direccional q te piden, por toda la bola de la diferenciabilidad, es:
(-1,1).(2,1)=-2+1=-1 y listo
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Fran Epsilon
Nivel 6
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| muchas gracias estaba haciendo una boludes yo
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