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Mensaje |
brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Así es como lo pensé yo:
Sabés que ![[tex]\vec{r} \in \Re^2[/tex]](images/latex/18b4e8d480a1379a9517311e56e648b3fbf0b965_0.png "[tex]\vec{r} \in \Re^2[/tex]") , y tenes un campo radial ![[tex]\vec{F} \in \Re^2 \rightarrow \Re^2[/tex]](images/latex/d9c6e1df518ae84f26b6f7b327af3e6630a38a5e_0.png "[tex]\vec{F} \in \Re^2 \rightarrow \Re^2[/tex]") . Fijate que lo unico que hace el campo es, le pasas un vector de ![[tex]\Re^2[/tex]](images/latex/054c297553f7a0ac43d66b2d8c9702efa1fcc812_0.png "[tex]\Re^2[/tex]") y te devuelve el mismo vector multiplicado por una constante. Esa constante es la imagen de enchufarle la norma de ese vector a esa función curiosa ![[tex]h[/tex]](images/latex/dba6f75029d64b60539dea1182c5717c286e8d54_0.png "[tex]h[/tex]") . Sabés que es radial y que es distinto de 0 para todo ![[tex]\vec{r}[/tex]](images/latex/00d651c1e701a3553a28cffef66b538caf8a380f_0.png "[tex]\vec{r}[/tex]") . Entonces como el campo ![[tex]\vec{F}[/tex]](images/latex/b6257d8b07f9a80f642fb65672c43f98e7810c6e_0.png "[tex]\vec{F}[/tex]") lo unico que hace es alterar la longitud de los vectores tenes un campo radial comun y corriente (y el cero está incluido, ya que si bien ![[tex]h(x)[/tex]](images/latex/c896f816359ca1c3a97286317c0b10d2e63796d6_0.png "[tex]h(x)[/tex]") no puede ser 0, si le enchufas el vector [/tex]](images/latex/583815add73f267127a35e3c388acead6b75ce4b_0.png "[tex](0,0)[/tex]") , multiplicado por cualquier cosa te sigue dando el ). Bueno todo eso para justificar que es un campo radial, es decir, fuerzas que apuntan todas hacia el origen. Las líneas de campo de son entonces todas las rectas que pasan por el origen: ![[tex]C: y = cx[/tex]](images/latex/857dfb7d4f35192941187b17efd2e248869cc861_0.png "[tex]C: y = cx[/tex]") . Y la familia ortogonal a eso sale fácil, son las circunferencias centradas en el origen de cualquier radio: ![[tex]O: x^2 + y^2 = c^2[/tex]](images/latex/14f200934263f94dfd46aa2cc118651a51c78736_0.png "[tex]O: x^2 + y^2 = c^2[/tex]") . Se puede hacer a ojo o derivando las lineas de campo, despejando y reemplazando la constante despues de derivar en la linea de campo original y resolviendo la ED.
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brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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Muchas gracias por la explicación!
Vos decís que por más que diga que h(||r||) != 0 para todo r, vale que h(0) = 0?
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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No, eso no vale por definición, pero ![[tex]\vec{F}((0,0)) = h(\|(0,0)\|)(0,0) = (0,0)[/tex]](images/latex/4e4ee13bf4129548334c17f0f0f12601fd0d2881_0.png "[tex]\vec{F}((0,0)) = h(\|(0,0)\|)(0,0) = (0,0)[/tex]")
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Daniel_Uno
Nivel 3
Registrado: 28 Jul 2010
Mensajes: 32
Ubicación: C. Aut. de Buenos Aires
Carrera: Sistemas
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La forma más convencional de resolverlo es planteando
dx/(h(||r||)x) = dy/(h(||r||)y)
y como h nunca vale 0, esta ecuación es válida para todo (x,y) excepto x=0 o y=0. Para esto creo que se usa el dato de h<>0. Y simplifico h eliminándolo de esta ecuación.
Luego cuando uno integra y obtiene la ecuación y=C.x, creo que hay que aclarar que C pertenece a R-{0}. Sino, si uno no aclara que C<>0, uno está indicando que la recta y=0 también satisface la ED de la que partió, y eso no es así (porque esa ecuación no tiene valores definidos para y=0).
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