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Autor Mensaje
pedroz
Nivel 2



Registrado: 14 Ago 2009
Mensajes: 16

Carrera: Civil
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MensajePublicado: Dom Feb 20, 2011 9:14 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Gracias Amadeo. Ahora entiendo la diferencia.


   OfflineGalería Personal de pedrozVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Marinchun
Nivel 8



Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525

Carrera: Mecánica y Naval
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 5:15 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Estuve leyendo pero no logro comprender ciertos conceptos.
¿¿¿Alguien me puede sugerir bibliografía "iluminadora" sobre Campos de Gradientes, Curvas Integrales, Líneas de Campo, Superficies/Curvas Equipotenciales, Ec. Diferenciales Exactas???

Porque cuanto más leo, más me confundo.

Además de las definiciones respectivas, quiero saber cómo se calculan, si se relacionan unos conceptos con otros y cuándo pasa eso, qué pasa si le aplico alguno de los tres teoremas integrales, etc, etc.

Porque tengo todos los conceptos muy por arriba y no me quiero equivocar.

No es necesario que me den una clase de todo (bah, si quieren, no estaría nada mal :P) sino recomiéndenme qué apuntes/fotocopias/libros tengo que leer.

Gratcie Smile

PD: esto termina siendo una consulta de final de AMII ¿no? xD


 Género:Femenino  OcultoGalería Personal de MarinchunVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
matthaus
Nivel 9



Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953

Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 5:36 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

para eso leete el flax vol 2, un librito con ejercicios resueltos q venden en eudeba (o pedilo prestado)


   OfflineGalería Personal de matthausVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
loonatic
Nivel 9


Edad: 31
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256

Carrera: Sistemas
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 5:45 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Campos de gradientes: es muy sencillo, si tenes un campo F de R^n a R, entonces el campo de gradientes es [tex]\nabla[/tex]F :P

Campo gradiente: Si tenes un campo F de R2 o R3 tal que su rotor es 0 (si F=(P,Q), rot(F)=Q'x-P'y) y el dominio de F es simplemente conexo (en el 99.9% de los casos te lo dan así) entonces el campo es un campo de gradientes, lo que quiere decir que F=[tex]\nabla[/tex][tex]\phi[/tex] para alguna funcion [tex]\phi[/tex].
Y si F es un campo gradiente, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- F es conservativo
- [tex]\phi[/tex] es la funcion potencial de F
- La integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final de C
- La integral de linea de F sobre una curva CERRADA es cero

Lineas de campo: son lineas que nos ayudan a visualizar el campo F, y tienen la propiedad de que en cada punto de estas lineas la tangente va en direccion al campo F. Se obtienen planteando dx/F1 = dy/F2.

Linea equipotencial: si F es de R2 y F tiene una funcion potencial [tex]\phi[/tex] entonces las lineas equipotenciales son de la forma [tex]\phi[/tex] = c. Bastante simple, no?

Superficie equipotencial: es lo mismo que antes, solo que se aplica para campos de R3.

Ec. diferencial exacta: su forma general es P dx + Q dy = 0, donde P y Q dependen de x e y. Si se satisface que Q'x=P'y entonces es diferencial exacta, si no se satisface se la puede transformar a este tipo. Y para resolverla hay que tomar el campo dado por F=(P,Q) y hallar su funcion potencial (tiene sentido, no?) [tex]\phi[/tex], y la solucion será [tex]\phi[/tex] = c Smile

Yo te diria que la manera de relacionar estos conceptos es expresarlo en una oracion que mezcle todo... aver... "si el campo F tiene rotor nulo y su dominio es simplemente conexo, entonces F es el campo gradiente de una función [tex]\phi[/tex], con lo que la integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final!"

Yo diria que mas que responder una duda de AM2 te acabo de resumir toda la materia en un par de parrafos jajaja.
No sé que recomendarte para leer, yo creo que con esto es suficiente, seguí preguntando!

EDIT: error de latex.
EDIT 2: mandé cualquiera


Geminis Género:Femenino Cabra OfflineGalería Personal de loonaticVer perfil de usuarioEnviar mensaje privadoVisitar sitio web del usuario
Marinchun
Nivel 8



Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525

Carrera: Mecánica y Naval
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 6:18 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

loonatic escribió:
Campos de gradientes: es muy sencillo, si tenes un campo F de R^n a R, entonces el campo de gradientes es [tex]\nabla[/tex]F :P

Campo gradiente: Si tenes un campo F de R2 o R3 tal que su rotor es 0 (si F=(P,Q), rot(F)=Q'x-P'y) y el dominio de F es simplemente conexo (en el 99.9% de los casos te lo dan así) entonces el campo es un campo de gradientes, lo que quiere decir que F=[tex]\nabla[/tex][tex]\phi[/tex] para alguna funcion [tex]\phi[/tex].
Y si F es un campo gradiente, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- F es conservativo
- [tex]\phi[/tex] es la funcion potencial de F
- La integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final de C
- La integral de linea de F sobre una curva CERRADA es cero

Lineas de campo: son lineas que nos ayudan a visualizar el campo F, y tienen la propiedad de que en cada punto de estas lineas la tangente va en direccion al campo F. Se obtienen planteando dx/F1 = dy/F2.

Linea equipotencial: si F es de R2 y F tiene una funcion potencial [tex]\phi[/tex] entonces las lineas equipotenciales son de la forma [tex]\phi[/tex] = c. Bastante simple, no?

Superficie equipotencial: es lo mismo que antes, solo que se aplica para campos de R3.

Ec. diferencial exacta: su forma general es P dx + Q dy = 0, donde P y Q dependen de x e y. Si se satisface que Q'x=P'y entonces es diferencial exacta, si no se satisface se la puede transformar a este tipo. Y para resolverla hay que tomar el campo dado por F=(P,Q) y hallar su funcion potencial (tiene sentido, no?) [tex]\phi[/tex], y la solucion será [tex]\phi[/tex] = c Smile

Yo te diria que la manera de relacionar estos conceptos es expresarlo en una oracion que mezcle todo... aver... "si el campo F tiene rotor nulo y su dominio es simplemente conexo, entonces F es el campo gradiente de una función [tex]\phi[/tex], con lo que la integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final!"

Yo diria que mas que responder una duda de AM2 te acabo de resumir toda la materia en un par de parrafos jajaja.
No sé que recomendarte para leer, yo creo que con esto es suficiente, seguí preguntando!

EDIT: error de latex.
EDIT 2: mandé cualquiera


Genia Very Happy

Ahora con esto voy a tratar de hacer un par de ejercicios y cualquier cosa, consulto Smile

Thanks!


 Género:Femenino  OcultoGalería Personal de MarinchunVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
liebe_ist
Nivel 4


Edad: 31
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85

Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 6:28 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

y como yapa: las lineas equipotenciales de un campo de gradiente F son trayectorias ortogonales a las lineas de campo de F.


Aquario Género:Masculino Cabra OfflineGalería Personal de liebe_istVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
koreano
Nivel 9



Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada
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MensajePublicado: Mie Feb 23, 2011 7:48 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Falta el método para calcular la familia de curvas ortogonales a otra. Es mas fácil con un ejemplo. La definición de curva ortogonal a otra es fácil e intuitiva (en R^2). La pendiente de la primer curva tiene que ser inversa en signo e inverso multiplicativo de la segunda (pensá en rotaciones de 90° en R2).

Ejemplo clásico: hallar la familia de curvas ortogonales a la familia y de rectas que pasan por el origen.

1) y = cx

2) y' = c

Ahora el truco es que esta última es una ecuación distinta de la primera por lo que es válido (y necesario para resolver) despejar "c" arriba y enchufarlo en (2):

y = cx
c = y/x

En 2) y' = y/x

Ahora le pedís esa definición de arriba a la pendiente:

dy/dx = -1 / y'
dy/dx = -1 / (y/x) = - x/y

Hacés separación de variables:

y*dy = -x*dx

Resolvés y te queda (no te olvides de la constante de integración que es lo que hace que sea una familia de soluciones) la ecuación de todas las circunferencias centradas en el origen de radio "C".

Gráficamente:

Image
Image
Image

Sacadas de acá


   OcultoGalería Personal de koreanoVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Fabricio
Nivel 8


Edad: 34
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg
MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 5:56 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Bueno arranco con mis consultas Payaso

Ejercicio 6)c), guia VII (int. de linea) escribió:
Calculear la masa de un hilo metalico con densidad en cada punto igual al producto de las distancias desde el punto a los planos coorenados, si la forma del alambre coincide con la de la curva interseccion del cilindro [tex]x^2+y^2=4[/tex] con el plano [tex]z=2[/tex]


Primero busque la curva interseccion de las 2 superficies (un cilindro con radio 2, y el plano z=2, ) y luego parametrize

[tex]\sigma(t)=(2cos(t), 2sen(t), 2)[/tex]
[tex]\sigma'(t)=(-2sen(t),2cos(t),0)[/tex]
[tex]||\sigma'(t)||=2[/tex]
con [tex]2\pi \geq t \geq 0[/tex]

La densidad seria [tex]\delta (x,y,z)=|x.y.z|[/tex]

Armo la integral

[tex]m=\int_0 ^{2\pi} (2cos(t).2sen(t).2.2)dt[/tex]
[tex]m=16\int_0 ^{2\pi}(cos(t).sen(t))dt[/tex]
reemplazo [tex]u=sen(t)[/tex]
[tex]m=16.(sen(t)|_0 ^{2\pi})[/tex]
[tex]m=0[/tex]

deberia dar cero la masa?? Jajaja


Y un ejemplo del Tromba que no entiendo, dicen:

Cita:
Evaluar [tex]\int\int_S z^2.ds[/tex] donde S es la esfera unidad [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]


Usa coordenadas esfericas, con [tex]\pi \geq \phi\geq 0[/tex] y [tex]2\pi \geq \theta\geq 0[/tex]
[tex]\int\int_S z^2.dS= \int\int_D (cos( \phi)^2. ||T_{\theta}\times{}T_{\phi}||).d\theta.d\phi[/tex]

Despues de esto simplemente reempazo en la ultima expresion [tex]||T_{\theta}\times{}T_{\phi}||[/tex] pero no metieron el jacobiano por el cambio de variables a esfericas, no se si hay algo conceptual que no entienda pero, porque no se uso el valor absoluto del jacobiano en este caso??

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Aries Género:Masculino Dragón OfflineGalería Personal de FabricioVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Jackson666
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 7:04 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Lo interesante es que hay que calculEar! :P

En el primero lo que tenes que integrar es [tex]\oint_{\mathcal{C}}{\delta \left( \sigma(t)  \right) \cdot ||\sigma'(t)|| dt}[/tex]. Fijate que vos mismo pusiste un módulo, pero en la integral mágicamente lo sacaste.

Respecto al otro, el Jacobiano viene implícito en el producto vectorial.

Saludos.


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Fabricio
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 8:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Jackson666 escribió:
Lo interesante es que hay que calculEar! :P

Roll eyes

Jackson666 escribió:
En el primero lo que tenes que integrar es [tex]\oint_{\mathcal{C}}{\delta \left( \sigma(t)  \right) \cdot ||\sigma'(t)|| dt}[/tex]. Fijate que vos mismo pusiste un módulo, pero en la integral mágicamente lo sacaste.


No entendi bien aca, osea, vos decis que tengo que abrir el modulo y hacer la integral para [tex](xyz)[/tex] y otra integral para [tex]-(xyz)[/tex]?

Jackson666 escribió:
Respecto al otro, el Jacobiano viene implícito en el producto vectorial.


Buen dato, no lo sabia, gracias loco Very Happy

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Fabricio
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MensajePublicado: Jue Jul 14, 2011 12:43 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Bueno hago otra consulta, es un ejercicio de final

Dice lo siguiente:

Cita:
Calcular el volumen del cuerpo definido por

[tex]x^2+y^2+z^2 \leq 4[/tex]
[tex]x^2+y^2 \geq 2x [/tex]
[tex]y \leq  x [/tex]
en el primer cuadrante


Primero en la 2da superficie complete cuadrados y quedo

[tex] (x-1)^2+y^2 \geq 1[/tex]

Grafique eso, proyectando sobre el plano xy (lamentablemente en R3 soy horrible graficando jaja) y quedo asi:

Image

(le pifie al dibujo de la derecha y quedo diferente pero bueno, dividi en 2 regiones simples pero sin ningun uso porque termine parametrizando en cilindricas)

utilice coordenadas cilindricas, quedando los limites de integracion asi:

[tex] \frac{\pi }{4}\geq  \theta \geq 0 [/tex]
[tex] 2 \geq  \rho \geq \sqrt{2}[/tex]
[tex] \sqrt {4-x^2-y^2} \geq z \geq 0 \rightarrow \sqrt {4- \rho^2}\geq z \geq 0  [/tex]

plantee la integral triple

[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4}\int_{\sqrt{2}}^2\int_0^{\sqrt{4- \rho^2}} (\rho ) dz.d \rho. d \theta=\int_0^\frac{\pi }{4}\int_{\sqrt{2}}^2  \rho \sqrt{4- \rho^2} d \rho d \theta[/tex]

reemplaze
[tex]u= 4- \rho^2[/tex]
[tex]du=-2 \rho d\rho[/tex]
[tex]d\rho=\frac{u}{-2\rho}[/tex]
y cambie los limites por la sustitucion
para [tex]\rho =2[/tex] , [tex] u=0 [/tex]
para [tex]\rho =\sqrt{2}[/tex] , [tex]  u=2 [/tex]

[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}\int_2^0 u^{\frac{1}{2}}dud \theta=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|_2^0)d \theta=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}(-\frac{2}{3}(2\sqrt{2}))d \theta[/tex]
[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4}\frac{2}{3}\sqrt{2}d \theta=\frac{2}{3}\sqrt{2}\theta|_0^\frac{\pi }{2}=\frac{\pi\sqrt{2} }{6}[/tex]

El resultado aparentemente no es ese y no se cual es mi error, se agradece alguna ayuda Very Happy

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Matts
Nivel 9


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Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054

Carrera: Industrial y Química
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MensajePublicado: Jue Jul 14, 2011 1:16 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Yo la aprobe como hace 1 año por lo tanto no me acuerdo de casi nada... pero Ro no tendria que depender del angulo?


Edito:
Haciendo algunas cuentas, me quedo que 2.cos(tita) <= Ro <= 2.
Ro tiene que ser menor o igual a 2 y mayor o igual a ese fragmento de circunferencia en el angulo que sea. Eso que pusiste vos (entre raiz de 2 y 2) es para el caso particular en que tita= 0,25pi (o algo asi).
Z esta bien como lo despejaste...

Creo que es asi... no se, que me corrija alguien que estoy agarrando esto despues de 1 año


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Fabricio
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Carrera: Civil
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MensajePublicado: Jue Jul 14, 2011 1:54 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Matts escribió:
Yo la aprobe como hace 1 año por lo tanto no me acuerdo de casi nada... pero Ro no tendria que depender del angulo?


Edito:
Haciendo algunas cuentas, me quedo que 2.cos(tita) <= Ro <= 2.
Ro tiene que ser menor o igual a 2 y mayor o igual a ese fragmento de circunferencia en el angulo que sea. Eso que pusiste vos (entre raiz de 2 y 2) es para el caso particular en que tita= 0,25pi (o algo asi).
Z esta bien como lo despejaste...

Creo que es asi... no se, que me corrija alguien que estoy agarrando esto despues de 1 año


Joya, es verdad que tenia que depender del angulo, no sabia de donde salia primero pero termine pasando a polares la circunferencia mas chica y salio xD
Gracias Matts Very Happy

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Fabricio
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MensajePublicado: Lun Jul 18, 2011 9:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Hago una consulta del ejercicio 14 de la guia de teoremas:

Dado [tex]\bar{f}(x,y,z)=(xg(x)+h(y),g(y)+yg(z)+2xy,zh(y)+y^2h(z))[/tex] determinar la expresion de [tex]\bar{f}[/tex] sabiendo que es un campo de fuerzas conservativo y que [tex]\bar{f}(0)=(0,1,0)[/tex], ¿Qué hipotesis utiliza para g y h?

Dado que [tex]\bar{f}[/tex] es un campo conservativo, se cumple que es irrotacional, entonces

[tex]rot(\bar{f})=\nabla \times{}\bar{f}= 0[/tex]

Hice el producto vectorial [tex](\frac{{\partial }}{{\partial x}},\frac{{\partial }}{{\partial y}},\frac{{\partial }}{{\partial z}})\times{}(xg(x)+h(y),g(y)+yg(z)+2xy,zh(y)+y^2h(z))=\bar{0}[/tex]

[tex](zh'(y)+2yh(z)-yg'(z),0,2y-h'(y))=(0,0,0)[/tex]

igualando componente a componente de la ultima sale que

[tex]2y-h'(y)=0[/tex]
[tex]2y=h'(y)[/tex]
[tex]2y.\partial y=\partial h[/tex]
[tex]\int 2y \partial y=\int \partial h[/tex]
[tex]y^2+ \varphi(z)=h[/tex]

Hasta aca creo que todo barbaro, pero despues como hago para encontrar h(z)??? en la guia resuelta lo suponen como [tex]h(z)=z^2+C[/tex] y no entiendo por que

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Jackson666
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MensajePublicado: Mar Jul 19, 2011 1:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Deja la grapa antes de agarrar la guía de análisis, porque te está pegando fiero pa. Si tenes [tex]h(y) = y^{2} + C[/tex] (pusiste una función de z que no va por cierto) cambia donde diga "y" por "z" y tenes [tex]h(z)[/tex].

El resto sale solo.

Saludos.


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