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Mensaje |
koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Subo el enunciado y mi resolución mas o menos explicada. Es el tema 2.
1) Sea ![[tex]S = { x \in \Re^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0}[/tex]](images/latex/e35e37d38a427c8095847a8a9c41f56c0184373f_0.png "[tex]S = { x \in \Re^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0}[/tex]") y sea la transformación lineal ![[tex]T : \Re^3 \rightarrow \Re^3[/tex]](images/latex/53bde56dd846d238c055da8a490fd3252e38b577_0.png "[tex]T : \Re^3 \rightarrow \Re^3[/tex]") que verifique, respecto del PIC:
- ![[tex]T(x) = 3x \quad \forall x \in S[/tex]](images/latex/ecdf7b1b524c10f331d071f645927d8e38419630_0.png "[tex]T(x) = 3x \quad \forall x \in S[/tex]")
- ![[tex]T(x) = -2x \quad \forall x \in S^{\perp}[/tex]](images/latex/eb3f058e14b1067746075302ff616002a7cfc3b3_0.png "[tex]T(x) = -2x \quad \forall x \in S^{\perp}[/tex]")
Dar la matriz de ![[tex]T[/tex]](images/latex/d2e04dadb5f6870434e79813f5ee568b1864df29_0.png "[tex]T[/tex]") en la base canónica de ![[tex]\Re^3[/tex]](images/latex/298498b68fd9854c467eca47d13c4217a2edb639_0.png "[tex]\Re^3[/tex]") y decidir si es única.
Resolución:
Armé una base de ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") , ![[tex]B = \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]](images/latex/74be93b8a0c8ac50d349bab8658c0f26817e6e60_0.png "[tex]B = \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]") con ![[tex]v_1, v_2 \in S[/tex]](images/latex/f98efb0b3d6514a29f0b19c9398dcaa7e6d443b3_0.png "[tex]v_1, v_2 \in S[/tex]") y ![[tex]v_3 \in S^{\perp}[/tex]](images/latex/b3f3ca43918767f1aae50537bdfcab366a2eff78_0.png "[tex]v_3 \in S^{\perp}[/tex]") .
![[tex]v_1 = [ 1 \quad -1 \quad 0 ]^T[/tex]](images/latex/c0b165e5cd856ffba8176e8d4182bc068e500c63_0.png "[tex]v_1 = [ 1 \quad -1 \quad 0 ]^T[/tex]")
![[tex]v_2 = [ 1 \quad 0 \quad 1 ]^T[/tex]](images/latex/b0f68b8408a9e3b1fee488f0a49968f08d13d943_0.png "[tex]v_2 = [ 1 \quad 0 \quad 1 ]^T[/tex]")
![[tex]v_3 = [ 1 \quad 1 \quad -1 ]^T[/tex]](images/latex/845b3a4adecced4dfb0596f40fd5ef25c0845db3_0.png "[tex]v_3 = [ 1 \quad 1 \quad -1 ]^T[/tex]")
Después calculé ![[tex]T(v_1) = w_1, T(v_2) = w_2, T(v_3) = w_3[/tex]](images/latex/9252df04a2ec8b14194c9348eddd5c68c7c60ba3_0.png "[tex]T(v_1) = w_1, T(v_2) = w_2, T(v_3) = w_3[/tex]") por definición. Una vez hecho eso es cuestión de encontrar ![[tex]e_1, e_2, e_3[/tex]](images/latex/2dcd2f01d797da06e4d54cda9cc7c6a07a2b95b0_0.png "[tex]e_1, e_2, e_3[/tex]") como combinación lineal de la base ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") . Después aplicás a ambos miembros y listo. Por ejemplo:
![[tex]e_1 = \frac{1}{3} v_1 + \frac{1}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3[/tex]](images/latex/50e99cba947f89a0052626ea7ea7a0f4c78ff9bd_0.png "[tex]e_1 = \frac{1}{3} v_1 + \frac{1}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3[/tex]")
![[tex]T(e_1) = T(\frac{1}{3} v_1 + \frac{1}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3)[/tex]](images/latex/69005e7f4a2e006d00a7ec26a2f06a04087d6bf6_0.png "[tex]T(e_1) = T(\frac{1}{3} v_1 + \frac{1}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3)[/tex]")
![[tex]T(e_1) = \frac{1}{3} T(v_1) + \frac{1}{3} T( v_2) + \frac{1}{3} T(v_3)[/tex]](images/latex/523254190615ba3bc37ab8acebf1bb70c105a47f_0.png "[tex]T(e_1) = \frac{1}{3} T(v_1) + \frac{1}{3} T( v_2) + \frac{1}{3} T(v_3)[/tex]")
![[tex]T(e_1) = \frac{1}{3} w_1 + \frac{1}{3} w_2 + \frac{1}{3} w_3[/tex]](images/latex/77afe127aeca74e1b58c698ea12f059a83f9b588_0.png "[tex]T(e_1) = \frac{1}{3} w_1 + \frac{1}{3} w_2 + \frac{1}{3} w_3[/tex]")
Y así para el resto hasta armar ![[tex][T]_E[/tex]](images/latex/55aa92c5ae02371eaf5b92a3e88b2f69348a9327_0.png "[tex][T]_E[/tex]") . Me quedó:
![[tex][T]_E = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & -5 & 5 \\ -5 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 4 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/af903269c779d212f7c2f5a1b49c2f8f5b4b8a0d_0.png "[tex][T]_E = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & -5 & 5 \\ -5 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 4 \end{bmatrix}[/tex]")
2) Sea una BOG de ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") un EPI. Sabiendo que ![[tex]\|v_1\| = 2[/tex]](images/latex/19132b4110d7bb2a2991c20baf71d8e257f58aa0_0.png "[tex]\|v_1\| = 2[/tex]") y que ![[tex]\|v_1 - v_3\| = \|v_1 + 2v_2\| = \sqrt{5}[/tex]](images/latex/599870bcadd84d03851e460b907f1c925547fcfa_0.png "[tex]\|v_1 - v_3\| = \|v_1 + 2v_2\| = \sqrt{5}[/tex]") , hallar una base del complemento ortogonal de ![[tex]S = gen \{ v_1 - v_2 \}[/tex]](images/latex/3095e83148339218225b05df1aea1309a788787f_0.png "[tex]S = gen \{ v_1 - v_2 \}[/tex]") , en términos de la base .
Lo hice gráficamente. Por las dimensiones sale que ![[tex]dim( S^{\perp}) = 2[/tex]](images/latex/f633eed7352e87788e4fa9a89d7b252044ea6ebd_0.png "[tex]dim( S^{\perp}) = 2[/tex]") . Uno de los generadores seguro es ![[tex]v_3[/tex]](images/latex/16c3febb24ce8d27f84cc4655d745148b107cd74_0.png "[tex]v_3[/tex]") por ser B una BOG. El otro lo saqué haciendo restas de versores ![[tex]\hat{v_1}, \hat{v_2}[/tex]](images/latex/94501173641226a907ff5be419e5d9b2314673df_0.png "[tex]\hat{v_1}, \hat{v_2}[/tex]") multiplicados por sus longitudes. Me quedó: ![[tex]S^{\perp} = gen \{ \frac{1}{4}v_1 + 4 v_2, v_3 \}[/tex]](images/latex/9cf910a44dc0e442aafb7c6e3febaa14d5a9ba9a_0.png "[tex]S^{\perp} = gen \{ \frac{1}{4}v_1 + 4 v_2, v_3 \}[/tex]") .
3) Considerando en el espacio vectorial real ![[tex]\Re^{2 \times 2}[/tex]](images/latex/fb2395b4d95ba9798e7969316b605b4cff329720_0.png "[tex]\Re^{2 \times 2}[/tex]") el producto interno dado por  = tr(x^T y)[/tex]](images/latex/70d0e7e92135d77ab70f575c197db90372402e93_0.png "[tex](x,y) = tr(x^T y)[/tex]") , encontrar la matriz antisimétrica más próxima a la matriz ![[tex]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/74a93bd326ce92f81505b4b895fce28ea287b0fc_0.png "[tex]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0\end{bmatrix}[/tex]")
La matriz mas cercana es ![[tex]Proy_S (A)[/tex]](images/latex/d95d651b7ef7aeb051056af81d69cca67a7de34d_0.png "[tex]Proy_S (A)[/tex]") .
EDIT: borro la resolución que estaba mal 
4) Sea ![[tex]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/c0e22eff24285b0b3c5c1fe3b49b74c9d3e00e32_0.png "[tex]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]") . Sabiendo que ![[tex]\|b - Ax\|^2 \geq 3[/tex]](images/latex/4623639aa3573b12ddb3d3a91eab3f4fa298c8db_0.png "[tex]\|b - Ax\|^2 \geq 3[/tex]") para todo ![[tex]x \in \Re^2[/tex]](images/latex/4a5d55495fe5a3d60be1b1f32d56fb84a765a856_0.png "[tex]x \in \Re^2[/tex]") , y que ![[tex]\| b - Az\|^2 = 3[/tex]](images/latex/119a1fb199bb51741d0e1c77d46a325eb0abcdeb_0.png "[tex]\| b - Az\|^2 = 3[/tex]") si ![[tex]z = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/7cf449a0fd43b61a9428f9f722570c63e5dd15eb_0.png "[tex]z = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}[/tex]") , hallar todos los posibles valores de ![[tex]b \in \Re^3[/tex]](images/latex/cb1cf5905c75d5ec391cbe3c4c5dee6042f6b7bb_0.png "[tex]b \in \Re^3[/tex]") y todas las soluciones por cuadrados mínimos de ![[tex]Ax = b[/tex]](images/latex/a5a8fc3e8abe2f5f61c434bad9526f34d873f4c1_0.png "[tex]Ax = b[/tex]") .
Gráficamente necesitabas un vector que esté a distancia ![[tex]\sqrt{3}[/tex]](images/latex/11eb68964d3e98e9111ca8215d5199bd99d81f94_0.png "[tex]\sqrt{3}[/tex]") de ![[tex]Az = w[/tex]](images/latex/18683b1ff0ac8cb21c32a529a607086407db9d18_0.png "[tex]Az = w[/tex]") y también que la distancia a ![[tex]Col(A) = \sqrt{3}[/tex]](images/latex/be395ee183ed85742c21259f4445b8dba41ac257_0.png "[tex]Col(A) = \sqrt{3}[/tex]") . Me da paja hacer toda la explicación gráfica para los que no lo tienen claro esto pero si no me equivoco te quedan 2 soluciones:
![[tex]b = w \pm \sqrt{3} \frac{ [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] }{\| [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] \|}[/tex]](images/latex/346225e1fc9abcf536effb70a49c8bb08ffe9c2f_0.png "[tex]b = w \pm \sqrt{3} \frac{ [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] }{\| [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] \|}[/tex]")
En esto me equivoqué en el parcial pero creo que ![[tex]\| [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] \| = \sqrt{3}[/tex]](images/latex/4f44761511de5db7851cf55b2624db8c9cfd0978_0.png "[tex]\| [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2] \| = \sqrt{3}[/tex]") entonces te quedaba simplemente:
![[tex]b = w \pm [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2][/tex]](images/latex/888405843f01ed01db4dcae3b97da05674d37721_0.png "[tex]b = w \pm [1 \quad 0 \quad 1] \times [1 \quad -1 \quad 2][/tex]")
(falta hacer el producto vectorial). La solución por cuadrados mínimos era única: ![[tex]w[/tex]](images/latex/1b791fd6a19ee9215450a18be9e3644c38ff9c71_0.png "[tex]w[/tex]")
5) Decidir si es V o F y justificar demostrando si es verdadero y con un contraejemplo si es falso:
a) Sea ![[tex]A \in \Re^{3 \times 3}[/tex]](images/latex/d6860f8edd277164645818276310ede485f7164d_0.png "[tex]A \in \Re^{3 \times 3}[/tex]") y . Existe al menos un ![[tex]x \in \Re^3[/tex]](images/latex/2b359c88e3569d885a75b2a2fb211e52b3ec8453_0.png "[tex]x \in \Re^3[/tex]") tal que ![[tex]A^T A x = A^T b[/tex]](images/latex/8b690a0ae62f9aa6ecb15b1721d074bef210731c_0.png "[tex]A^T A x = A^T b[/tex]") .
Verdadero porque la solución por cuadrados mínimos es una proyección. Incluso si ![[tex]x \in Col(A)^{\perp}[/tex]](images/latex/0153f47b8e72909a8a22d557bb745cec06dd2acb_0.png "[tex]x \in Col(A)^{\perp}[/tex]") la proyección existe (el vector nulo). Si ![[tex]x \in Col(A)[/tex]](images/latex/846c03c02698d6b0de09f94e10e7705983dd05cc_0.png "[tex]x \in Col(A)[/tex]") la proyección es si mismo. No sé si alcanza con decir eso... supuse que ![[tex]rg(A) \geq 1[/tex]](images/latex/88c43fc7e063810e9174442a6ef629b59c7960c9_0.png "[tex]rg(A) \geq 1[/tex]") .
b) Sean ![[tex]f, g \in P_n[/tex]](images/latex/3504b3cb2236f9a7a20ee997ca01982fc8f12894_0.png "[tex]f, g \in P_n[/tex]") , entonces si con alguna definición de PI se verifica que ![[tex]f \perp g[/tex]](images/latex/72a5e1d3591601c57f26104f033d6b11ede04f35_0.png "[tex]f \perp g[/tex]") se cumple:
![[tex]\|f + g\|^2 = \|f\|^2 + \|g\|^2[/tex]](images/latex/39649783a9233a53dfacd157ee20eaa26200fe5f_0.png "[tex]\|f + g\|^2 = \|f\|^2 + \|g\|^2[/tex]")
Verdadero, no depende el PI; si ![[tex]f \perp g \rightarrow (f,g) = 0[/tex]](images/latex/2641d2d9309a01a302086c1c9d9ff423c9aee31f_0.png "[tex]f \perp g \rightarrow (f,g) = 0[/tex]") . Entonces:
 = (f,f) + (g,g)[/tex]](images/latex/5fc9f377d48e86817720447e1f68c78207cad440_0.png "[tex](f+g, f+g) = (f,f) + (g,g)[/tex]")
 +(f,g) + (g,f) + (g,g) = (f,f) + (g,g)[/tex]](images/latex/483096a855384cea6a928f99c109016eaf1fe5c2_0.png "[tex](f,f) +(f,g) + (g,f) + (g,g) = (f,f) + (g,g)[/tex]")
 + (g,g) = (f,f) + (g,g)[/tex]](images/latex/50937236b0b2e203ffb1171a13ba9f496e00a24a_0.png "[tex](f,f) + (g,g) = (f,f) + (g,g)[/tex]")
Se cumple para todo ![[tex]f, g[/tex]](images/latex/1d0478c3240a609d4968f6a3b9ea994476d87424_0.png "[tex]f, g[/tex]") si se cumple la condición inicial de que sean perpendiculares.
EDIT: Seguro me la ponen con este porque no consideré el caso de los polinomios con coeficientes complejos donde NO se cumple. idfjssdj
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Qué paja como me equivoqué en el de cuadrados mínimos, pasé una raiz como cuadrado.. una garcha. Espero tener los otros bien y sacarme este parcial de encima.
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Última edición por koreano el Mar Feb 01, 2011 2:13 pm, editado 1 vez
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el terco
Nivel 4
Edad: 35
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Mensajes: 68
Carrera: Electrónica
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No me pareció muy complicado el parcial, excepto el ej 4 que casi me vuelvo puto tratando de hacerlo (lo cual no logre).
Los resultados los tengo prácticamente iguales excepto el 3 donde el SEV de matrices anti simétricas está generado por [0 1 -1 0] ergo de dimensión 1.
EDITO: ortografía
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BlackMamba
Nivel 2
Registrado: 04 Ene 2011
Mensajes: 13
Carrera: Sistemas
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che lo mire por arriba, pero las antisimetricas son las que tienen ceros en la diagonal.... la que te quedo no es antisimetrica.
En el 2 como eran ortogonales los vectores podias despejar de las normas usando pitagoras me quedo algo parecido a vos
en el ultimo (5a) no me acuerdo si decia a lo sumo una solucion o como vos pusiste "existe al menos un..".
te acordas bien como era?
saludos
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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AYYYYYYYY la puta madre otro error pelotudo
EDIT: Sí, decía "existe al menos un".
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BlackMamba
Nivel 2
Registrado: 04 Ene 2011
Mensajes: 13
Carrera: Sistemas
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BlackMamba
Nivel 2
Registrado: 04 Ene 2011
Mensajes: 13
Carrera: Sistemas
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ah y en ekl 5 b si son polinomios con coeficientes complejos tambien se cumple mientras te aseguren que son ortogonales.
lo que no se cumpliria es la implicacion para el otro lado: si se cumple pitagoras entonces son ortogonales
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| koreano escribió:
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3) Considerando en el espacio vectorial real el producto interno dado por , encontrar la matriz antisimétrica más próxima a la matriz
La matriz mas cercana es . Como el subespacio de las matrices antisimétricas tiene dimensión 3 me resultó mas fácil sacar el generador del ortogonal y calcular la proyección como:
![[tex]Proy_S (A) = A - Proy_{S^{\perp}} (A)[/tex]](images/latex/9d22e8314e7f2922c91af4670529de533f7ca612_0.png "[tex]Proy_S (A) = A - Proy_{S^{\perp}} (A)[/tex]")
Para sacar el generador puse las matrices que generan a en la base canónica y busqué el nulo de la traspuesta; es decir:
![[tex]S_E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/34b5a7316db3b41c885979ddbd5e4d7618876325_0.png "[tex]S_E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]")
![[tex]Col(S_E)^{\perp} = Nul({S_E}^T)[/tex]](images/latex/f42619ae2638514141085c5df7ff43954bfd7b49_0.png "[tex]Col(S_E)^{\perp} = Nul({S_E}^T)[/tex]")
De ahí sale que ![[tex]S^{\perp} = gen \{ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \}[/tex]](images/latex/7ac7a8085208a1b4c58df27a5b874c2ce0fe279b_0.png "[tex]S^{\perp} = gen \{ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \}[/tex]") .
Haciendo todas las cuentas me quedó que la matriz era: ![[tex]\begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/9915ecd5060ef93d11ad12703b9a5adaf559737a_0.png "[tex]\begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]") .
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Me cuesta decirtelo, perdona... Pero el espacio de las antisimétricas tiene dimensión 1.
Fijate que en el resultado que pusiste hay un 1 en la diagonal... Las antisimétricas tienen siempre 0 en las diagonales.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Ya me avisó BlackMamba
Thus,
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AYYYYYYYY la puta madre otro error pelotudo Sad
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Encima era re fácil ese entonces, me la compliqué al pedo gracias al síndrome "no puede ser tan fácil".
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giselars7
Nivel 5
Edad: 34
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Mensajes: 184
Ubicación: Berazategui
Carrera: Electrónica y Mecánica
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Yo soy tan....!!!!! que no me di cuenta y de T(e1)= 1/3.T(v1)...etc
sólo puse el 1/3...   etc en la matriz!!! Serán buenos con eso?? 
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![[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]](images/latex/af60243d6e4925a5612ac9bcba143670b8a83b2d_0.png "[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]")
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altermaster
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 05 Sep 2009
Mensajes: 278
Carrera: Informática
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| dejate de joder esto es un parcial??? ami me toco algo mucho mas jodido antes,en el 2° CUATRIMESTRE 2010
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BlackMamba
Nivel 2
Registrado: 04 Ene 2011
Mensajes: 13
Carrera: Sistemas
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| ajaja y si, si te fumas todo el verano cursando minimo que te den un parcial como la gente
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Oso
Nivel 9
Edad: 38
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 2716
Ubicación: San Isidro
Carrera: Industrial
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Ese parcial es accesible; se lo merecen por haber cursado esta materia en el verano.
Es más, es un rejunte de ejercicios de Parciales viejos. De hecho, el ejercicio 2 es muy famoso.
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![[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]](images/latex/a328513baa7a9ae1a5f22b69d45dd2a6b90980e8_0.png "[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Ejercicios muy parecidos a todos excepto el primero había visto en parciales anteriores... a mi no me parece mal que sea mas bien accesible: es el curso de verano y es la primera fecha. Hay que ver como corrijen!
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Lucas.F
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 11 Dic 2007
Mensajes: 278
Ubicación: Caballito
Carrera: Industrial
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| Lo que nos hacian pensar en algebra hace un año atras...
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nicord
Nivel 5
Registrado: 25 Jun 2009
Mensajes: 127
Carrera: Industrial
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| es un rejunte de parciales viejos!, el primero y el tercero me lo tomaron hace un par de cuat atras
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