Tengo que calcular la integral , siendo D la región dada por .
Para que no tengan que pensar mucho pongo el dibujo, es una semiesfera con eje X, bastante simple:
Lo que hice fue parametrizar la región con coordenadas polares, asi:
con , ,
entonces la integral me queda , es decir .
Ahora bien, la integral del medio, con respecto a queda , que da cero. Pero el resuelto que tengo en la mano dice que toda la integral da .
Donde está el error??
Digamos, usando el integrador ojimétrico: el dominio es simétrico respecto al plano XZ y la función es antisimétrica respecto al mismo plano. Lo que sea que te dé la integral a la izquierda del plano XZ va a ser el negativo de lo que sea que te dé la integral a la derecha. Al sumar se anulan. ¿Se entiende?
Me parece que deber haber algo mál en el enunciado. ¿Cuáles son los rangos para y en el enunciado del problema?
Me parece que deber haber algo mál en el enunciado. ¿Cuáles son los rangos para y en el enunciado del problema?
Lo que yo puse es una parte de un problema de la guía, es el 23 de la guia X vieja. Igualmente no tiene nada que ver el enunciado, porque no puede ser que con polares me de 0 y con esféricas me de 8 pi...
Es que la integral DA cero, exactamente por lo que dijo Nacho. Observá la simetría respecto del plano XZ y vas a ver que cada punto del dominio en el lado negativo del eje Y se anula con cada punto del lado positivo del eje Y.
El resuelto está mal, lo que habías hecho en cilíndricas está "bien".
No te puede dar 8pi con esféricas, estás pifiando en un signo. Es 4pi una y-4pi la otra.
Johann escribió:
Igualmente, Theta no debería ir entre 0 y pi (ya que es media esfera)?
No, está en cilíndricas, está recorriendo las círcunferencias diferenciales con theta.
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![[tex]\iiint_{D}2y\,dxdydz[/tex]](images/latex/0e70eecf0c57a6e9a7c24d8295ca09e2c5c94d4e_0.png "[tex]\iiint_{D}2y\,dxdydz[/tex]")
, siendo D la región dada por ![[tex]x=\sqrt{4-y^2-z^2}[/tex]](images/latex/750b22a6f557866f817545067e9b1330a197b8c8_0.png "[tex]x=\sqrt{4-y^2-z^2}[/tex]")
.
![[tex]x = u[/tex]](images/latex/a2c2c9874d21ba7a5c2c56628666202a8dd662fb_0.png "[tex]x = u[/tex]")
![[tex]y = r.cos(\theta)[/tex]](images/latex/99166bde3e3543fed52d2e63956387aa915a2296_0.png "[tex]y = r.cos(\theta)[/tex]")
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, ![[tex]r\in[0,2][/tex]](images/latex/1e50ecd54c9728f2dfd3223172b35f3cba203361_0.png "[tex]r\in[0,2][/tex]")
, ![[tex]\theta \in[0,2\pi][/tex]](images/latex/b2e969e472baffca35d5031f58ccd80fdc74bbee_0.png "[tex]\theta \in[0,2\pi][/tex]")
![[tex]\iiint_{D*}2.r^{2}.cos(\theta)\,dr d\theta du[/tex]](images/latex/1929581c702b6ca68245d7d9dbff9508c0e4c04d_0.png "[tex]\iiint_{D*}2.r^{2}.cos(\theta)\,dr d\theta du[/tex]")
, es decir ![[tex]2 \int_{0}^{2}r^2\,dr \int_{0}^{2\pi} cos(\theta)\,d\theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^2}}\,du[/tex]](images/latex/353eb2b3820e584fbfee9f599f83490d10839092_0.png "[tex]2 \int_{0}^{2}r^2\,dr \int_{0}^{2\pi} cos(\theta)\,d\theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^2}}\,du[/tex]")
.
![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]")
queda ![[tex]sen(2\pi)-sen(0)[/tex]](images/latex/0fae7c7fe2f678824823f14692ff26dcf9d0f920_0.png "[tex]sen(2\pi)-sen(0)[/tex]")
, que da cero. Pero el resuelto que tengo en la mano dice que toda la integral da ![[tex]4 \pi[/tex]](images/latex/ac45a91d6f6b0475681a0791662e48fdc477601a_0.png "[tex]4 \pi[/tex]")
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![[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]](images/latex/8abc5691357a123d82fd07cae688fd7767bf6633_0.png "[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]")
![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]")
:
![[tex]x = r sin(\phi)[/tex]](images/latex/3b77e314fb7d3121e421de754518a0fef711877d_0.png "[tex]x = r sin(\phi)[/tex]")
![[tex] \int_0^2 dr \int_0^\pi d \theta \int_0^{\pi/2} d \phi \, 2 r^3 sin(\phi) cos(\phi)[/tex]](images/latex/58bdfe72d548a97f86361bfc6ec3d966f371c95d_0.png "[tex] \int_0^2 dr \int_0^\pi d \theta \int_0^{\pi/2} d \phi \, 2 r^3 sin(\phi) cos(\phi)[/tex]")
![[tex]\phi[/tex]](images/latex/7d54d851a6c3d8eeea3473c298592b88e2219186_0.png "[tex]\phi[/tex]")
se extiende sólo de ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]")
a ![[tex]\pi/2[/tex]](images/latex/2b54dbe2b1441f6a8833b16fab8a650dd7c26d42_0.png "[tex]\pi/2[/tex]")
porque es media esfera)
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![[tex] \left[2\frac{r^4}{4}\right]_0^2 * \left[ - \frac{1}{2}cos^2(\phi)\right]_0^{\pi/2}* \pi [/tex]](images/latex/a64a5cad27ba3d44eef444b4c3d3e8557a90890c_0.png "[tex] \left[2\frac{r^4}{4}\right]_0^2 * \left[ - \frac{1}{2}cos^2(\phi)\right]_0^{\pi/2}* \pi [/tex]")
![[tex] \left[2\frac{16}{4} - 0 \right] * \left[ 0 + \frac{1}{2}\right] * \pi = 4 \pi[/tex]](images/latex/6625ea53eedb1f2c5152176aeeaf83e21afeb1be_0.png "[tex] \left[2\frac{16}{4} - 0 \right] * \left[ 0 + \frac{1}{2}\right] * \pi = 4 \pi[/tex]")
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me dio ![[tex]8\pi[/tex]](images/latex/03679361f644f4757cea593342583ba11a222dc7_0.png "[tex]8\pi[/tex]")
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![[tex]\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}][/tex]](images/latex/abef98f6d9d26a803256bd2b8dd19072e615cb07_0.png "[tex]\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}][/tex]")
, y no entendí porqué.
![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]")
y ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]")
en el enunciado del problema?![[tex][0,\pi/2][/tex]](images/latex/690c70a2a77f58e2cf8e166e6c0c41300ccdc075_0.png "[tex][0,\pi/2][/tex]")
y te dio ![[tex]-4 \pi[/tex]](images/latex/806a198486d71ea28de5c6d24ce1d4dd0929b9c4_0.png "[tex]-4 \pi[/tex]")
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