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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Huey 7 escribió:
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¡Ojo, eh! Hacer x = 0 en las desigualdades no es encontrar la proyección sobre el plano yz, es hallar la intersección. Que, en este ejercicio (el 21 de la guía), por lo visto, es vacía.
Piensen en un caso más simple, una esfera de radio 1 centrada en x = 0, y = 0, y z = 2. Está definida por la desigualdad ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \leq 1[/tex]](images/latex/288d2406fc8c8ef144a64c359f71b35bcf3f552b_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \leq 1[/tex]")
[Insertar dibujo 3D fachero  ]
Si se pidiera hallar la proyección de la esfera sobre el plano xy, e hicieran z = 0, quedaría ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (-2)^2 = x^2 + y^2 + 4 \leq 1[/tex]](images/latex/d1f7e50a23aadc1b4b69d354510ca5c16ad127d6_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (-2)^2 = x^2 + y^2 + 4 \leq 1[/tex]") , que equivale a ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq -3[/tex]](images/latex/2c0c9015c13b9d0dcfd4574c92d7c9f0cef33152_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq -3[/tex]") , y no se satisface para ningún par (x, y). Eso es porque en realidad esto lo que calcula es la intersección, que es vacía, puesto que la esfera no corta el plano xy. La proyección es el círculo ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 1[/tex]](images/latex/c2d6887d6fea2fc499abbbf42676fabcfbe2a779_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 1[/tex]") .
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Si, si... Totalmente de acuerdo. Pero en este caso en particular no había drama de suponer x = 0
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Jackson666 escribió:
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Si, si... Totalmente de acuerdo. Pero en este caso en particular no había drama de suponer x = 0
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Todo lo contrario, en este ejercicio hace toda la diferencia. Se trata de una región cóncava que "encierra" al plano yz tipo "brazalete" (es la analogía que se me ocurre  ), casi no tiene intersección, pero sí una proyección, es muy parecido al ejemplo de la esfera.
En el post anterior dije que la intersección con el plano yz era vacía. En realidad, la intersección es el punto (0, 2, 0) y el segmento ![[tex]\textstyle x = 0 \mbox{, } y = 0 \mbox{ y } 0 \leq z \leq 4[/tex]](images/latex/ace86b21b19650014cf9baf0649ce0c717072bab_0.png "[tex]\textstyle x = 0 \mbox{, } y = 0 \mbox{ y } 0 \leq z \leq 4[/tex]") .
Pero, si no me equivoqué, la proyección sobre el plano yz es la región definida por ![[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - y^2 \mbox{ y } y \geq 0[/tex]](images/latex/b6e4ebcb280a332bfd6e49406e2725d559cfdd0a_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - y^2 \mbox{ y } y \geq 0[/tex]") . O sea, media región interna de una parábola.
A ver si de las tres proyecciones en los planos xy, xz e yz se entiende la forma de la región (en especial, mirando la proyección sobre el plano xy):
Proyección en el plano yz
Proyección en el plano xy
Proyección sobre el plano xz
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Me parece que mandé fruta con la proyección sobre el plano yz.
El borde de la región ![[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - x^2 - y^2[/tex]](images/latex/c4f9eb18bb1b4099ebbc0be5b2d4bba150b9d8f4_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - x^2 - y^2[/tex]") es un paraboloide elíptico, las intersecciones con planos de z constante son los círculos ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4 - z[/tex]](images/latex/54a9a61ec83ebe92c2da212f9f9a65c82140505b_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4 - z[/tex]") , que van teniendo radio cada vez mayor a medida que z decrece. Y, en particular, para z = 0 es el círculo ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4[/tex]](images/latex/83b6ce4b9725af6e3f62e2ee83781d60c720920d_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4[/tex]") .
El borde de la región ![[tex]\textstyle x^2 + (y - 1)^2 \leq 1[/tex]](images/latex/22cf01ad2e3180de452bb98f4602b58efa74f186_0.png "[tex]\textstyle x^2 + (y - 1)^2 \leq 1[/tex]") es un cilindro, las intersecciones con planos de z constante son el círculo , independientemente del valor de z.
Así que estaba bien decir que la proyección sobre el plano xy es la región ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4 \wedge x^2 + (y - 1)^2 \leq 1 \wedge y \geq 0[/tex]](images/latex/3987bed26e079740b3f135def8ee3d33b25fc45f_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 4 \wedge x^2 + (y - 1)^2 \leq 1 \wedge y \geq 0[/tex]") .
Acá se puede ver la intersección de R con un plano de z constante, para 0 < z < 4. Los valores de x para puntos de la región R se ve que llegan hasta la intersección del paraboloide con el plano xz (y = 0), así que también estaba bien decir que la proyección sobre el plano xz es la región ![[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - x^2[/tex]](images/latex/588d680136234ea48b4f7c901934014a7bdc9128_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - x^2[/tex]") .
Pero los valores de y para puntos de la región R se ve que sólo llegan hasta la intersección de la circunferencia ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 4 - z[/tex]](images/latex/ccd8ba0242830d1a23389eb6794d45a363d5072b_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 = 4 - z[/tex]") con la circunferencia ![[tex]\textstyle x^2 + (y - 1)^2 = 1[/tex]](images/latex/e2992dea16ce9ca0f90aded5c935ad5259210277_0.png "[tex]\textstyle x^2 + (y - 1)^2 = 1[/tex]") . Entonces hay que resolver:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 = 4 - z \\x^2 + y^2 - 2y = 0\end{array} \right .[/tex]](images/latex/ad68d309897ae46118a86fc96e0ab27dac19a659_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 = 4 - z \\x^2 + y^2 - 2y = 0\end{array} \right .[/tex]")
Restando, se ve que 2y = 4 - z, así que el borde de la proyección es una recta, no una parábola. La proyección sobre el plano xz EDIT: yz es entonces la región ![[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - 2y \wedge y \geq 0[/tex]](images/latex/7cbf98451e147ce06e6bf59acc399bcd5e08c898_0.png "[tex]\textstyle 0 \leq z \leq 4 - 2y \wedge y \geq 0[/tex]") .
Corrigiendo:
Proyección sobre el plano xy
Proyección sobre el plano xz
Proyección sobre el plano yz
Espero no tener que corregir más veces 
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Huey 7 escribió:
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Me parece que mandé fruta con la proyección sobre el plano yz.
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Yo también, ahí me di cuenta de que es una recta la parte de arriba!
| Huey 7 escribió:
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... entonces la región .
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Ahí si estamos de acuerdo (:
Lindo quilombo se armo con este ejercicio
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Entonces cual es el método para encontrar las proyecciones?? 
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| loonatic escribió:
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Entonces cual es el método para encontrar las proyecciones??
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Digamos que no hay una receta mágica que te solucione las cosas y que "siempre se use igual"...
Yo creo que lo principal es imaginarse bien las superficies primero. Después mirar bien las ecuaciones que se dan como dato y ver de qué manera reemplazando una en otra, uno puede deshacerse de la variable que sobra para hallar la proyección en el plano que se pida. Es muy relativo a cada ejercicio eso.
Me parece que es más practica que otra cosa (yo estoy oxidadísimo )
Suerte!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Necesitás saber graficar bien (aunque no te salgan bien los dibujos) en tu cabeza. Después cuando sabés sobre dónde proyectar es solo cuestión de reemplazar unas ecuaciones en otras y hacer los cambios de coordenadas que convengan.
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