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loonatic
Nivel 9
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Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Es el ejercicio 11)g) de la nueva guía. Dice así:
Calcular el volumen del cuerpo D mediante una integral triple usando el sistema de coordenadas que crea conveniente: D interior a la esfera de ecuación ![[tex]x²+y²+z²=(2a)²[/tex]](images/latex/2ac2c7063c94288b2738382028e0c59b2fcc08d8_0.png "[tex]x²+y²+z²=(2a)²[/tex]") , con ²+y²\geq a²[/tex]](images/latex/097730bebc9e4e9a1b60d04765ac4851731b54b7_0.png "[tex](x-a)²+y²\geq a²[/tex]") , en el primer octante, ![[tex]a>0[/tex]](images/latex/e76b6a5afa70d92b358a38dd56e1faaf4813068d_0.png "[tex]a>0[/tex]") .
El gráfico me quedó algo asi:
Lo que entendí yo es que el volumen a calcular es el del interior de la esfera, sacandole el pedazo del cilindro, que está limitado por lo que puse en lila. Y como la esfera es concéntrica y el cilindro no está corrido en el eje ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") , y como dicen "primer octante", el resultado de eso lo divido por 2 y listo.
Entonces el resultado sería: ![[tex]V=\frac{1}{2}(Vol_{esfera}-Vol_{cilindro})[/tex]](images/latex/6e68bb83b624d51b3d96db60af2786f87bc140a5_0.png "[tex]V=\frac{1}{2}(Vol_{esfera}-Vol_{cilindro})[/tex]")
1ra pregunta: eso está bien planteado?
2da pregunta: cuando calculé el volumen del cachito de cilindro, me quedó negativo, como puede ser eso?? No voy a poner toda la resolución, pero lo plantié con coordenadas cilindricas y me quedó asi:
![[tex]Vol_{cilindro}= \int _{0}^{a} \,dr \int _{0}^{2\pi} \,d\theta \int _{-\sqrt{4a²-r²}}^{+\sqrt{4a²-r²}} r \,dz [/tex]](images/latex/d065bbdfb63150515d7919eca759652454ec4c22_0.png "[tex]Vol_{cilindro}= \int _{0}^{a} \,dr \int _{0}^{2\pi} \,d\theta \int _{-\sqrt{4a²-r²}}^{+\sqrt{4a²-r²}} r \,dz [/tex]")
Bueno desde ya cualquier ayuda es bienvenida 
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Amadeo
Nivel 9
Registrado: 20 Oct 2008
Mensajes: 1436
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| loonatic escribió:
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2da pregunta: cuando calculé el volumen del cachito de cilindro, me quedó negativo, como puede ser eso?? No voy a poner toda la resolución, pero lo plantié con coordenadas cilindricas y me quedó asi:
Bueno desde ya cualquier ayuda es bienvenida
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Acá tenes planteados mal dos limites... thita va de 0 a phi/2 (porque dice que se mueve en el primer cuadrante), y rho de 0 a 2acos![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") , o sea te queda así:
![[tex]Vol_{cilindro}= \int _{0}^{2acos{\theta}} \,dr \int _{0}^{\pi/2} \,d\theta \int _{-\sqrt{4a²-r²}}^{+\sqrt{4a²-r²}} r \,dz [/tex]](images/latex/f476a5d2f24cf20a3d6184e98a52ec3a2329a56c_0.png "[tex]Vol_{cilindro}= \int _{0}^{2acos{\theta}} \,dr \int _{0}^{\pi/2} \,d\theta \int _{-\sqrt{4a²-r²}}^{+\sqrt{4a²-r²}} r \,dz [/tex]") , lo cuál da si no me equivoco ![[tex]- \frac{32}{9}a^3 + \frac{16}{3} a^3 \pi[/tex]](images/latex/45c9a1d848d1f7d500d0e68696401e85358b4d64_0.png "[tex]- \frac{32}{9}a^3 + \frac{16}{3} a^3 \pi[/tex]")
El volumen de la esfera lo sacas directamente haciendo ![[tex]\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]](images/latex/880bc565ffd1e8fd4c54a4edc31abe1d50c95e31_0.png "[tex]\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]") y te da ![[tex]\frac{32}{3} a^3 \pi[/tex]](images/latex/5b41425e9663f0ef973dd1eb8be2be820754f4f7_0.png "[tex]\frac{32}{3} a^3 \pi[/tex]")
Después le restas a este volumen el volumen del cilindro y listo.
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koreano
Nivel 9
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Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Tenés que tener cuidado cuando calculas volumenes con el signo; no es lo mismo una integral de volumen que una integral triple. Acordate en 2D cuando calculabas integrales de area tenías que hacer que la parte debajo del eje x estuviera tomada como modulo sino te quedaba negativo. Esa de dividir por dos es fruta, hacé todo directamente en el primer octante y te va a dar todo directamente con signo positivo. Si no equivoco tenés que variar ![[tex]r[/tex]](images/latex/7fca68834c90d92622ea606b0bd71f7d42531d19_0.png "[tex]r[/tex]") y como dice Amadeo, pero también tenés que variar ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") entre 0 y la parte "positiva" de la esfera.
Así te queda en el plano ![[tex]xy[/tex]](images/latex/7d4ae868a12f79aa3a33a705a2b71ef5e8fae412_0.png "[tex]xy[/tex]") , en negro la esfera y en rojo el cilindro (tomando ![[tex]a=1[/tex]](images/latex/af75354bca522ad7ab824b11c469cd45c83dc703_0.png "[tex]a=1[/tex]") como ejemplo):
Si calculás el volumen del cilindro así lo único que tenés que hacer después es restarselo a ![[tex]\frac{1}{8}[/tex]](images/latex/abbc601dc1b9a2b3db2d57029f9a3516725c91bb_0.png "[tex]\frac{1}{8}[/tex]") del volumen de la esfera de radio ![[tex]2a[/tex]](images/latex/7ab24e54bd8a6b9f1703ab7d0c23fa46e2f424f0_0.png "[tex]2a[/tex]") con la formula que puso Amadeus (?).
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Jackson666
Nivel 9
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Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
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| loonatic escribió:
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... Entonces el resultado sería: ...
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Lo que está mal de esta idea es que no es lo mismo restarle a la esfera el volúmen de un cilindro que está centrado en el origen (por ejemplo) que el de uno que está corrido (ambos limitados por la esfera).
No queda otra que calcular el volúmen con la integral. Este es un resultado muy conocido! Es el volúmen de la Bóveda de Viviani 
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/viviani/viviani.htm
@koreano
| koreano escribió:
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Tenés que tener cuidado cuando calculas volumenes con el signo; no es lo mismo una integral de volumen que una integral triple
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Un volúmen lo calculas mediante una integral triple, integrando la función constante ![[tex]F(x,y,z) = 1[/tex]](images/latex/5c6b137e468ee636bf14e0075c26b9b192c32ffd_0.png "[tex]F(x,y,z) = 1[/tex]") . No entiendo porqué decis que no es igual, pero bueno...
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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No estoy segura de haber entendido muy bien jaja.
Acá les traigo otro que me está molestando desde hace un rato largo. Me pide hallar el área de la proyección del plano ![[tex]yz[/tex]](images/latex/efb894f7ac2e0886f72a8e5d8d7280a59ec737a1_0.png "[tex]yz[/tex]") de la región dada por ![[tex]0\leq z \leq 4-x^2-y^2[/tex]](images/latex/786ba226a4a0db2070fbab48f770602a4c99adca_0.png "[tex]0\leq z \leq 4-x^2-y^2[/tex]") , ![[tex]x^2+(y-1)^2 \leq 1[/tex]](images/latex/d0d01d9f81cca7aef043cf95e67fbea4dd369e09_0.png "[tex]x^2+(y-1)^2 \leq 1[/tex]") , ![[tex]y \geq 0 [/tex]](images/latex/a0a098d79054a9d11a8fa813f60d4c9383f62608_0.png "[tex]y \geq 0 [/tex]") .
Para hallar esto tengo que establecer ![[tex]x=0[/tex]](images/latex/78e432e755209ec9b76d88d2343a181739cb28db_0.png "[tex]x=0[/tex]") y despejar las demás variables? Porque es lo que hice pero no estoy segura de que esté bien, me dio area 0.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| loonatic escribió:
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No estoy segura de haber entendido muy bien jaja.
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¿En qué te quedó dudas?
| loonatic escribió:
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Acá les traigo otro que me está molestando desde hace un rato largo. Me pide hallar el área de la proyección del plano de la región dada por , , .
Para hallar esto tengo que establecer y despejar las demás variables? Porque es lo que hice pero no estoy segura de que esté bien, me dio area 0.
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La proyección en el son las 2 rectas de ecuación ![[tex]z = 0[/tex]](images/latex/1aca19f66d2ca35fa574ccd1f4f30329bcc6e9fb_0.png "[tex]z = 0[/tex]") y ![[tex]z = 1[/tex]](images/latex/9da0ff75c273387cd1f2e5e0fb80ffce8c7e49e1_0.png "[tex]z = 1[/tex]") limitadas inferiormente por la recta de ecuación ![[tex]y = 0[/tex]](images/latex/d68991924c3bad48dae1e3c5234dbf78980a2b36_0.png "[tex]y = 0[/tex]") y superiormente por la curva ![[tex]z = 4 - y^{2}[/tex]](images/latex/d3dde5110d24d28dc7f6a81b451e91b3ff897b2e_0.png "[tex]z = 4 - y^{2}[/tex]") .
Como bien dijiste vos, podés suponer que ![[tex]x = 0[/tex]](images/latex/3fc5017f094c888021acacc8ad8662850ac8a1e7_0.png "[tex]x = 0[/tex]") para encontrar la proyección.
Claramente el área no es 0 
Proyectando contra z queda:
![[tex]\int_{0}^{2}{dy \int_{0}^{4 - y^{2}}{dz}} = \int_{0}^{2}{4 - y^{2} \quad dy} = 4y - \frac{y^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2} = \frac{16}{3}[/tex]](images/latex/cafe11487e6ed340d38c8c04659c964ff780b758_0.png "[tex]\int_{0}^{2}{dy \int_{0}^{4 - y^{2}}{dz}} = \int_{0}^{2}{4 - y^{2} \quad dy} = 4y - \frac{y^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2} = \frac{16}{3}[/tex]")
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Última edición por Jackson666 el Sab Ene 22, 2011 11:53 am, editado 1 vez
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koreano
Nivel 9
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Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Ehh sí, flashié con calcular volumenes con integrales dobles, sorry!
PD: Se juntaron 3 de Martínez en el mismo topic
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Amadeo
Nivel 9
Registrado: 20 Oct 2008
Mensajes: 1436
Carrera: No especificada
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| Un volumen también lo podes calcular como la integral doble de una función f(x,y)... pero casi nunca te dan esa función así que no queda otra que hacer la integral triple de 1.
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Jackson666 escribió:
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| loonatic escribió:
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... Entonces el resultado sería: ...
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Lo que está mal de esta idea es que no es lo mismo restarle a la esfera el volúmen de un cilindro que está centrado en el origen (por ejemplo) que el de uno que está corrido (ambos limitados por la esfera).
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Esto es lo que no entendí. Mira el dibujo que puso koreano. Si el cilindro estuviera corrido en el eje Y, si sería distinto, pero este está corrido en el eje X, y a mi me piden la parte "en el primer octante", osea, Y>0. No sé si me expliqué bien.
Respecto al otro ejercicio, me confundí al copiar el enunciado, la segunda condición es ![[tex]x^2+(y-1)^2 \geq 1 [/tex]](images/latex/2abfd4fc3d9d9a949faac58c12263b3c2b8dda1d_0.png "[tex]x^2+(y-1)^2 \geq 1 [/tex]") . Si digo queda que ![[tex] y \leq 0[/tex]](images/latex/988c385f78976778ddc21ecdab7124f653ff2b6a_0.png "[tex] y \leq 0[/tex]") y ![[tex]y \geq 2[/tex]](images/latex/eec4923ce10080adcf2e43a3116cbcbec5d0e1c1_0.png "[tex]y \geq 2[/tex]") . Como la 3ra condición es ![[tex]y \geq 0[/tex]](images/latex/f1195e9d503267990cf41b7d450d5f06310a25a3_0.png "[tex]y \geq 0[/tex]") , resulta que ![[tex]y\in[2,+\infty][/tex]](images/latex/b37c93b9e412687d4f81ffe330b49d3fde9a5896_0.png "[tex]y\in[2,+\infty][/tex]") . Pero la otra curva es ![[tex]z \leq 4-y^2[/tex]](images/latex/bde086fb4f74d501e6268829a0f30c127ca0b1c9_0.png "[tex]z \leq 4-y^2[/tex]") , y si lo graficás no hay puntos que cumplan las 2 condiciones 
damnit http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3E%3D2+and+y%3C%3D4-x^2
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Leidenschaft
Nivel 9
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Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| loonatic escribió:
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| Jackson666 escribió:
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| loonatic escribió:
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... Entonces el resultado sería: ...
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Lo que está mal de esta idea es que no es lo mismo restarle a la esfera el volúmen de un cilindro que está centrado en el origen (por ejemplo) que el de uno que está corrido (ambos limitados por la esfera).
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Esto es lo que no entendí. Mira el dibujo que puso koreano. Si el cilindro estuviera corrido en el eje Y, si sería distinto, pero este está corrido en el eje X, y a mi me piden la parte "en el primer octante", osea, Y>0. No sé si me expliqué bien.
Respecto al otro ejercicio, me confundí al copiar el enunciado, la segunda condición es . Si digo queda que y . Como la 3ra condición es , resulta que . Pero la otra curva es , y si lo graficás no hay puntos que cumplan las 2 condiciones
damnit http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3E%3D2+and+y%3C%3D4-x^2
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Maine el primer octante es X>0, Y>0 y Z>0..
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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| loonatic escribió:
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Esto es lo que no entendí. Mira el dibujo que puso koreano. Si el cilindro estuviera corrido en el eje Y, si sería distinto, pero este está corrido en el eje X, y a mi me piden la parte "en el primer octante", osea, Y>0. No sé si me expliqué bien.
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El dibujo que hizo koreano está en el plano...
Imaginate que tenés una esfera y un cilindro centrados en el origen. Agarras con la mano el cilindro y lo empezas a correr por todos lados, siempre dentro de la esfera.
Vas a ver, que el único lugar donde "más cilindro" tenés dentro de la esfera es en el origen; en el resto de los lados que lo muevas vas a tener menos cilindro.
Eso te da la idea de que no es lo mismo que el cilindro esté acá o hallá. A esto iba yo antes
| loonatic escribió:
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Respecto al otro ejercicio, me confundí al copiar el enunciado, la segunda condición es . Si digo queda que y . Como la 3ra condición es , resulta que . Pero la otra curva es
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Proyectando de nuevo contra z:
![[tex]\int_{0}^{\sqrt{3}}{dy \int_{0}^{4-y^{2}}{dz} } = \int_{0}^{\sqrt{3}}{4-y^{2} \quad dy} = 4y - \frac{y^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{\sqrt{3}} = pepe[/tex]](images/latex/7c581733ab7795616bb78d0b61de96f6210bd3db_0.png "[tex]\int_{0}^{\sqrt{3}}{dy \int_{0}^{4-y^{2}}{dz} } = \int_{0}^{\sqrt{3}}{4-y^{2} \quad dy} = 4y - \frac{y^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{\sqrt{3}} = pepe[/tex]")
la cuenta te la regalo
EDIT: La última parte está mal! No darle bola a la integral.
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Última edición por Jackson666 el Sab Ene 22, 2011 1:02 am, editado 2 veces
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Leidenschaft
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| Jackson666 escribió:
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| loonatic escribió:
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Esto es lo que no entendí. Mira el dibujo que puso koreano. Si el cilindro estuviera corrido en el eje Y, si sería distinto, pero este está corrido en el eje X, y a mi me piden la parte "en el primer octante", osea, Y>0. No sé si me expliqué bien.
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El dibujo que hizo koreano está en el plano...
Imaginate que tenés una esfera y un cilindro centrados en el origen. Agarras con la mano el cilindro y lo empezas a correr por todos lados, siempre dentro de la esfera.
Vas a ver, que el único lugar donde "más cilindro" tenés dentro de la esfera es en el origen; en el resto de los lados que lo muevas vas a tener menos cilindro.
Eso te da la idea de que no es lo mismo que el cilindro esté acá o hallá. A esto iba yo antes
| loonatic escribió:
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Respecto al otro ejercicio, me confundí al copiar el enunciado, la segunda condición es . Si digo queda que y . Como la 3ra condición es , resulta que . Pero la otra curva es
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Proyectando de nuevo contra z:
la cuenta te la regalo
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![[tex] pepe=3 \sqrt3[/tex]](images/latex/1613ed4dfad344a8b17cceaf041949169e037c8d_0.png "[tex] pepe=3 \sqrt3[/tex]")
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loonatic
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Jackson666
Nivel 9
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| loonatic escribió:
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Chicos esperen, no me termina de cerrar el 2do ejercicio!
Empiezo de cero: http://materias.fi.uba.ar/6103/guias/guiatp2.pdf, pagina 18, ejercicio 21.a)
Si establecemos queda la región dada por
1) ![[tex] 0\leq z \leq 4-y^2[/tex]](images/latex/c9b1c7bb19d13467cd272d99dbdab6e385212683_0.png "[tex] 0\leq z \leq 4-y^2[/tex]")
2) ![[tex]y^{2}-2y \geq 0 [/tex]](images/latex/17cfd00f3b336acacc77e9d5abc2498fef0a8ee5_0.png "[tex]y^{2}-2y \geq 0 [/tex]")
3)
Graficando: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0%3C%3Dz%3C%3D4-y^2+and+y^2-2y%3E%3D0+and+y%3E%3D0
Help 
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Vayamos por partes!
Asumir está bien, ya que esa es la ecuación del plano .
En el cilindro corrido, ¿qué consecuencias tiene asumir esto? Respuesta sencilla: es la intersección del cilindro corrido y el plano. ¿Qué nos da? 2 rectas contenidas en el !
La ecuación de c/u de ellas, dadas como intersección de planos serían [tex]\bold{L_{1}}: \quad x = 0 \quad \wedge \quad y = 0[/tex] y [tex]\bold{L_{2}}: \quad x = 0 \quad \wedge \quad y = 2[/tex]. ¿De dónde salió esto? De hallar las soluciones de la ecuación ![[tex]y^{2} - 2y = 0[/tex]](images/latex/e5e3fca49ef108cab6d9f6595a8a74912334acdd_0.png "[tex]y^{2} - 2y = 0[/tex]")
En el paraboloide ¿qué consecuencias tiene asumir esto? Respuesta más sencilla aún: En donde diga "x" en la ecuación del paraboloide le enchufo un "0" y queda . El dibujo de esta proyección era obvio. Es el mismo en el plano y en el ![[tex]xz[/tex]](images/latex/fe222d44b617bd9a9ee12cdea69f380870cdb2d7_0.png "[tex]xz[/tex]") .
El resto de las restricciones de la región a integrar son fijas; sólo resta mirarlas.
En resumen, entonces, tenemos que la región en el plano es la limitada por: ![[tex]y = 0 \quad \wedge \quad y = 2 \quad \wedge \quad z = 0 \quad \wedge \quad z = 4 - y^{2}[/tex]](images/latex/acba125f96b08a758d29bfeb509fcd90cb74aee0_0.png "[tex]y = 0 \quad \wedge \quad y = 2 \quad \wedge \quad z = 0 \quad \wedge \quad z = 4 - y^{2}[/tex]")
Ahora, establecemos las desigualdades tal cual estaban antes! ![[tex]y \ge 0 \quad \wedge \quad y \ge 2 \quad \wedge \quad z \ge 0 \quad \wedge \quad z \le 4 - y^{2}[/tex]](images/latex/aec830f4bbe2640bfa8dc745d277b74a35ad2169_0.png "[tex]y \ge 0 \quad \wedge \quad y \ge 2 \quad \wedge \quad z \ge 0 \quad \wedge \quad z \le 4 - y^{2}[/tex]")
De las primeras 2, sólo sirve la segunda. Entonces la región es finalmente: ![[tex] y \ge 2 \quad \wedge \quad z \ge 0 \quad \wedge \quad z \le 4 - y^{2}[/tex]](images/latex/a081a36c0ae47dafba8cc0d998cd3a54900c206b_0.png "[tex] y \ge 2 \quad \wedge \quad z \ge 0 \quad \wedge \quad z \le 4 - y^{2}[/tex]")
Entonces, finalmente, tenías razón vos y yo como un gil me apuré en el post anterior... (ni siquiera dibujé la región)
me parece MUY raro que sea así esto... Debe estar mal el enunciado!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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¡Ojo, eh! Hacer x = 0 en las desigualdades no es encontrar la proyección sobre el plano yz, es hallar la intersección. Que, en este ejercicio (el 21 de la guía), por lo visto, es vacía.
Piensen en un caso más simple, una esfera de radio 1 centrada en x = 0, y = 0, y z = 2. Está definida por la desigualdad ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \leq 1[/tex]](images/latex/288d2406fc8c8ef144a64c359f71b35bcf3f552b_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \leq 1[/tex]")
[Insertar dibujo 3D fachero ]
Si se pidiera hallar la proyección de la esfera sobre el plano xy, e hicieran z = 0, quedaría ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (-2)^2 = x^2 + y^2 + 4 \leq 1[/tex]](images/latex/d1f7e50a23aadc1b4b69d354510ca5c16ad127d6_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 + (-2)^2 = x^2 + y^2 + 4 \leq 1[/tex]") , que equivale a ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq -3[/tex]](images/latex/2c0c9015c13b9d0dcfd4574c92d7c9f0cef33152_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq -3[/tex]") , y no se satisface para ningún par (x, y). Eso es porque en realidad esto lo que calcula es la intersección, que es vacía, puesto que la esfera no corta el plano xy. La proyección es el círculo ![[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 1[/tex]](images/latex/c2d6887d6fea2fc499abbbf42676fabcfbe2a779_0.png "[tex]\textstyle x^2 + y^2 \leq 1[/tex]") .
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