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Tuxito
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 11 Ago 2008
Mensajes: 62
Carrera: Informática
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no pude escribir mi msj completo. Si alguien puede borrar los 2 primeros lo agradeceria. el completo es este.. no se porq no me deje poner todo completo..
Hola gente, saben que, estoy en una duda existencial con este problema.
Si div = f(x, y, z) = 2 y, calcular el flujo de f a traves del casquete de esfera de ecuacion
x =raiz^2 de(4 − y^2 − z^2) sabiendo que f(0, y, z) =e(y^2+z^2 , z, y^2)
. En si el problema lo entiendo bastante bien. Se que tengo que tapar la superficie y el valor que da el plano evaluado en ese campo. Mi problema es el volumen de esa semiesfera. Lo quiero hacer en cilindricas moviendo los ejes para ver mejor el dibujo (o sea, lo hago en el eje x, al eje x lo tome como vertical, como si fuera la z). Y como cilindricas por lo general en semiesferas me da buen resultado use
x = x,
y = r cos0,
z = r sen0 (donde el 0 hace de tita.)
y bueno, 0<r<2, 0<tita<2pi y 0<x< raiz^2 de (4-r^2). La divergencia en estas coordenadas me queda 2 r cos 0. Tambien se pone el jacobiano.
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Tuxito
Nivel 4
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Carrera: Informática
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Me queda una integral que al hacerla me queda 0. Por lo que yo vi en los resueltos y consulta a una amiga por msn le queda 4 pi, pero usando esfericas. Pero en esfericas tampoco me cierra, porq en mi opinion el lamba (el que mueve del eje z hasta el punto p) no va de 0 a pi/2, sino de 0 a pi. (ella y los resuweltos consideran los ejes comunes, o sea, z en vertical)
Tambien esa es mi duda, si uso esfericas puedo impunenmente cambiar el eje de simetria ?. tomar el eje "z" y llamarlo " x" y medir el lamba o latitud desde alli>? si hago esto ultimo en esfericas me queda el clasico r de 0 a 2, tita de 0 a 2pi, y lambda de 0 a pi/2. (tomando el x como vertical si me queda el pi/2 deseado, pero yo MOVI LOS EJES)
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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pusiste el jacobiano cuando pasaste a esféricas? capaz por eso no te da...
pregunta: si tenés una semiesfera, por qué querés usar cilíndricas?
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leandrob_90
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Tuxito
Nivel 4
Edad: 37
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Mensajes: 62
Carrera: Informática
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| se.. cuando lo hago en esfericas pongo el jacobiano y todo. Eso no es mi principal preocupacion. Me jode saber que en coordenadas cilindricas no me da.... o sea.. deberia der lo mismo en cualquier coordenada, no puede depender del sistema de ejes q tome. Y en mi opinion las cilindricas que plantee estan re bien hechas. Igual me interesaria que alguno me diga como lo hizo, no importa como, pero que es lo que planteo. si movio los ejes, cual coordenadas uso, etc.
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Tuxito
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 11 Ago 2008
Mensajes: 62
Carrera: Informática
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| ahh... bueno quiero usar cilindricas porq ya me acostumbre y a veces es mucho mas facil. Bah.. yo tengo esos libritos flax, y en esos libritos siempre hace las SEMIESFERAS con cilindricas. y quedan re faciles las haces de toque. Pero siempre las divergencias quedan un numero, no algo con variables. En este caso, como la divergencia es 2y, queda asi, re molesta la integral. Si fuera la divergencia el numero 2 a secas, con cilidnricas sale demasiado rapido. nada mas
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Si podés escribir un poco más claro el enunciado por ahí te podemos ayudar 
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Tuxito
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 11 Ago 2008
Mensajes: 62
Carrera: Informática
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| es el 16 de teoremas integrales de la ultima guia
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Tuxito escribió:
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es el 16 de teoremas integrales de la ultima guia
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Tenés razón. Soy un GIL que no lee el título del post 
A través del teorema de la divergencia vos sabés que
![[tex]\iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}} + \iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = \iiint_{V}{2y \cdot dV}[/tex]](images/latex/65c29d1ae698c8f9d8e008f93f19720505fdf070_0.png "[tex]\iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}} + \iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = \iiint_{V}{2y \cdot dV}[/tex]") (I)
Donde ![[tex]S_{1}[/tex]](images/latex/dcaa730dc29dc0e8caee7095a5c8c2628ad8102d_0.png "[tex]S_{1}[/tex]") es la intersección entre el casquete esférico y el plano x = 0 (un círculo de radio 2 centrado en el origen y contenido en el plano x = 0), ![[tex]S_{2}[/tex]](images/latex/bd4349da1d1cf762697462210c89b88c1623fb37_0.png "[tex]S_{2}[/tex]") es el casquete esférico y V es el cuarpo encerrado por estos 2.
Calculas la integral triple (proyectando contra el yz y usando cilíndricas):
![[tex]\iint_{D_{r \theta}}{r \cdot dr d \theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}{ 2 r \cdot cos(\theta) \,\, dx} } = 2 \cdot \int_{0}^{2 \pi}{cos(\theta) \,\, d\theta \int_{0}^{2}{r^{2} \cdot \sqrt{4-r^{2}} \,\, dr} } = 0[/tex]](images/latex/73efb8fcf834c1db8bba2c5af7f6020366edd017_0.png "[tex]\iint_{D_{r \theta}}{r \cdot dr d \theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}{ 2 r \cdot cos(\theta) \,\, dx} } = 2 \cdot \int_{0}^{2 \pi}{cos(\theta) \,\, d\theta \int_{0}^{2}{r^{2} \cdot \sqrt{4-r^{2}} \,\, dr} } = 0[/tex]") (por la primitiva del coseno)
Hay que tener en cuenta que el sentido de orientación de los versores normales es saliente a las superficies que encierran el cuerpo. Si reemplazamos este resultado en (I):
![[tex]\iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = - \iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}}[/tex]](images/latex/60ae11290121da64401e82711b83754c05596d48_0.png "[tex]\iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = - \iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}}[/tex]") (II)
La útlima integral es (proyectando en el yz):
![[tex]\iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}} = \iint_{D_{yz}}{\vec{f}(0,y,z) \cdot \frac{(-1,0,0)}{|-1|} \,\, dydz} = -\iint_{D_{yz}}{e^{y^{2}+z^{2}} \,\, dydz}[/tex]](images/latex/cb814fb8770caf0847715b1fa77cae9366a626a6_0.png "[tex]\iint_{S_{1}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{1}} = \iint_{D_{yz}}{\vec{f}(0,y,z) \cdot \frac{(-1,0,0)}{|-1|} \,\, dydz} = -\iint_{D_{yz}}{e^{y^{2}+z^{2}} \,\, dydz}[/tex]")
Ahora pasamos a polares:
![[tex]-\int_{0}^{2 \pi}{ d \theta \int_{0}^{2}{r \cdot e^{r^{2}}\,\, dr}} = - \frac{e^{r^{2}}}{2} \Bigg|_{0}^{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi}{ d \theta } = - 2 \pi \cdot \left[ \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} \right][/tex]](images/latex/1ad6e7c6e01862e2d996bcd303ab61001ae8b515_0.png "[tex]-\int_{0}^{2 \pi}{ d \theta \int_{0}^{2}{r \cdot e^{r^{2}}\,\, dr}} = - \frac{e^{r^{2}}}{2} \Bigg|_{0}^{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi}{ d \theta } = - 2 \pi \cdot \left[ \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} \right][/tex]")
Así nomás como viene lo enchufamos en (II) y da:
![[tex]\iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = 2 \pi \cdot \left[ \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} \right] [/tex]](images/latex/0cf4eeed48466f13fd8e0ce11cd113070f944176_0.png "[tex]\iint_{S_{2}}{\vec{f} \cdot \vec{n} \cdot dS_{2}} = 2 \pi \cdot \left[ \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} \right] [/tex]")
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Última edición por Jackson666 el Jue Dic 09, 2010 9:39 pm, editado 3 veces
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leandrob_90
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| qué laburito te mandaste, muy bueno che, gracias
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leandrob_90
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Tuxito
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| Jackson666 escribió:
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| Tuxito escribió:
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es el 16 de teoremas integrales de la ultima guia
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Tenés razón. Soy un GIL que no lee el título del post
A través del teorema de la divergencia vos sabés que
(I)
Donde es la intersección entre el casquete esférico y el plano x = 0 (un círculo de radio 2 centrado en el origen y contenido en el plano x = 0), es el casquete esférico y V es el cuarpo encerrado por estos 2.
Calculas la integral triple (proyectando contra el yz y usando cilíndricas):
![[tex]\iint_{D_{r \theta}}{r \cdot dr d \theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}{ 2 r \cdot sen(\theta) \,\, dx} } = 2 \cdot \int_{0}^{2 \pi}{sen(\theta) \,\, d\theta \int_{0}^{2}{r^{2} \cdot \sqrt{4-r^{2}} \,\, dr} } = 0[/tex]](images/latex/41ac730716ec27a5c2f28bbdb071c6310a0f4527_0.png "[tex]\iint_{D_{r \theta}}{r \cdot dr d \theta \int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}{ 2 r \cdot sen(\theta) \,\, dx} } = 2 \cdot \int_{0}^{2 \pi}{sen(\theta) \,\, d\theta \int_{0}^{2}{r^{2} \cdot \sqrt{4-r^{2}} \,\, dr} } = 0[/tex]") (por la primitiva del seno)
Hay que tener en cuenta que el sentido de orientación de los versores normales es saliente a las superficies que encierran el cuerpo. Si reemplazamos este resultado en (I):
(II)
La útlima integral es (proyectando en el yz):
Ahora pasamos a polares:
Así nomás como viene lo enchufamos en (II) y da:
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MUCHAS GRACIAS POR TODO. La posta es que igual hiciste mas de lo que pedi (igual MIL GRACIAS). Yo solo queria saber si la integral triple del volumen daba 0 (efectivamente es asi, el fucking resuelto estaba mal, y mi amiga lo hizo mal, y hoy rendia... ) Una ultima duda.... (que no afecta el resultado), la y no seria y = r*cos (tita) en vez de r*sen(tita)?. Va digo yo... o es indistinto?. Y si es asi como te darias cuenta..?. Gracias por todo, ya me estaba volviendo idiota..... al ginal mi ejercicio estaba bien 
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Jackson666
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| Tuxito escribió:
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MUCHAS GRACIAS POR TODO. La posta es que igual hiciste mas de lo que pedi (igual MIL GRACIAS). Yo solo queria saber si la integral triple del volumen daba 0 (efectivamente es asi, el fucking resuelto estaba mal, y mi amiga lo hizo mal, y hoy rendia... ) Una ultima duda.... (que no afecta el resultado), la y no seria y = r*cos (tita) en vez de r*sen(tita)?. Va digo yo... o es indistinto?. Y si es asi como te darias cuenta..?. Gracias por todo, ya me estaba volviendo idiota..... al ginal mi ejercicio estaba bien
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Tenés razón! Es la mala costumbre de pensar en polares en el xy... Ahí lo corrijo
¿Cómo me doy cuenta?
Porque al proyectar en el yz te queda un circulo de radio 2 y lo parametrizas con elsiguiente cambio de variables:
![[tex]y = r \cdot cos(\theta) \quad \wedge \quad z = r \cdot sen(\theta)[/tex]](images/latex/53bf988206bdadf0b306038c9e1906566532ccb4_0.png "[tex]y = r \cdot cos(\theta) \quad \wedge \quad z = r \cdot sen(\theta)[/tex]") con  \in [0,2] \times [0, 2\pi][/tex]](images/latex/825b5c4b23dd72b0eb12d761c58da685741374a3_0.png "[tex](r, \theta) \in [0,2] \times [0, 2\pi][/tex]")
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