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Mensaje |
paolo
Nivel 2
Registrado: 19 Jul 2010
Mensajes: 17
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Gente, una pregunta: ¿Cómo calculo la norma cuadrada de una matriz A?
¿Es la raíz cuadrada del máximo autovalor de (Atranspuesta*A)?
¿Es el máximo autovalor de A?
Si me dan el valor de la norma cuadrada de A a la menos 1 y la matriz A, ¿cómo hago para calcular la condición de A?
Gracias!
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paolo
Nivel 2
Registrado: 19 Jul 2010
Mensajes: 17
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| ¿O se suma, columna por columna, los elementos que las componen, de manera que la condición de la matriz sea igual al mayor valor obtenido en las sumatorias?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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O sea.. Necesitas saber ![[tex]||A||^{2} = tr(A, A) = tr(A^{H} \cdot A)[/tex]](images/latex/63641ad749ea40f92f83965cb0acd32bb33e6c5b_0.png "[tex]||A||^{2} = tr(A, A) = tr(A^{H} \cdot A)[/tex]") ?
Esa matriz es diagonalizable unitariamente ![[tex]A^{H} \cdot A = P \cdot \Delta \cdot P^{H}[/tex]](images/latex/2412d640cf182e94ea811913fdd08e3a29b77029_0.png "[tex]A^{H} \cdot A = P \cdot \Delta \cdot P^{H}[/tex]") . De acá sacas que ![[tex]A^{H} \cdot A[/tex]](images/latex/57b4c9ee556562caa53fa114d542ec8e6846d1c9_0.png "[tex]A^{H} \cdot A[/tex]") es semejante a ![[tex]\Delta[/tex]](images/latex/1e95d82e7303db390b4c09989f9023a5a1c18187_0.png "[tex]\Delta[/tex]") . Una de las consecuencias de esto es: ![[tex]tr(A^{H} \cdot A) = tr(\Delta) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}[/tex]](images/latex/967191f3baa55fb1ab5484f1cfe025a98ea96b52_0.png "[tex]tr(A^{H} \cdot A) = tr(\Delta) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}[/tex]") .
Miremos quién es ![[tex]||A^{-1}||^{2} = tr((A^{-1})^{H} \cdot A^{-1})[/tex]](images/latex/8b9d7ef378e38c8d415ea00ad3aefc78c947c7f4_0.png "[tex]||A^{-1}||^{2} = tr((A^{-1})^{H} \cdot A^{-1})[/tex]") . Pensando en lo mismo, esta matriz también es diagonalizable unitariamente. Entonces ![[tex]tr((A^{-1})^{H} \cdot A^{-1}) = tr(\Delta^{-1}) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}^{-1}[/tex]](images/latex/406ec1c62a015c8dd2984ce951f40a99327b4ad4_0.png "[tex]tr((A^{-1})^{H} \cdot A^{-1}) = tr(\Delta^{-1}) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}^{-1}[/tex]") .
En resumen: ![[tex]||A||^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}^{-1}} = \frac{1}{||A^{-1}||^{2}}[/tex]](images/latex/5f9841b84fb3f21eec0174886e4e1df552e2bc69_0.png "[tex]||A||^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}^{-1}} = \frac{1}{||A^{-1}||^{2}}[/tex]")
Es obvio que ninguno de los autovalores es cero, pero veámoslo:
Si ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") es inversible, entonces ![[tex]A \in K^{n \times n}[/tex]](images/latex/9ca60c8e54aef7216fdf5002a61e930acaa0235b_0.png "[tex]A \in K^{n \times n}[/tex]") . Entonces se ve que ![[tex]det(A^{H} \cdot A) = det(A^{H}) \cdot det(A) = det^{2}(A)[/tex]](images/latex/cf72549e318aa9959f52be9c5a203c39492f71b6_0.png "[tex]det(A^{H} \cdot A) = det(A^{H}) \cdot det(A) = det^{2}(A)[/tex]") . Como dijimos que era inversible, el determinante es distinto de cero; por eso no tiene autovalores nulos.
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