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Flopy Gonzalez
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1º hallar a<0 de mdo tal que la función f(x,y)= x^2-2ax+y^2x^2+y^2 tenga un minimo en -1. Para ese valor de a hallar y clasificar todos los extremos de f.
2ºsea X(u,v) = (2cos (u) + 2, v,2sen(u)) 0<u<pi y -2<v<2 una parametrizacion de la superficie S.
a- Obtenga la ecuacion de S en coordenadas cartesianas y grafique la superficie.
b- Halle la intersección de la recta tangente a la curva X(u,0) en (2+raiz 2, 0, raiz 2), con el plano z=-raiz 2
en (a) me dio que es un cilindro apoyado en el eje y (b) me ha quedado algo muy raro, ¿como lo resolverian?
3º Halle los puntos de la superficie de ecuación (y+z)^2+(z-x)^2=8 en los cuales la recta normal es paralela al plano de ecuación x+y+z=10.
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Jackson666
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En el primero la función es esta? ![[tex]f(x, y) = x^{2} - 2ax + y^{2} \cdot x^{2} + y^{2} [/tex]](images/latex/5b904879d9b25413d28840dd38da454a342b56ae_0.png "[tex]f(x, y) = x^{2} - 2ax + y^{2} \cdot x^{2} + y^{2} [/tex]")
Fijate que hay un error en el enunciado así como lo copiaste. Una función de 2 variables puede tener un mínimo de valor -1, no en el punto -1. ¿Cuál es el dato que te dan?
El segundo
![[tex]\vec{X}(u,v) = (2 \cdot cos(u) + 2, v, 2 \cdot sen(u))[/tex]](images/latex/28b7fc4279adeeaed5e0f3273ef98c7ba83a9d9d_0.png "[tex]\vec{X}(u,v) = (2 \cdot cos(u) + 2, v, 2 \cdot sen(u))[/tex]")
a) Es claro que la ecuación cartesiana de la superficie es ^{2} + z^{2} = 4[/tex]](images/latex/4dfb131e3a6c0e67aa9b9a642707bfa7c01dae1b_0.png "[tex](x-2)^{2} + z^{2} = 4[/tex]") con ![[tex]0 < x < 4[/tex]](images/latex/5dc1104b61010e5b227e4e80a2095e75684710ae_0.png "[tex]0 < x < 4[/tex]") , ![[tex]-2 < y < 2[/tex]](images/latex/6474d191e8550afed94daf925a4bea07ef06f992_0.png "[tex]-2 < y < 2[/tex]") y ![[tex]0 < z < 2[/tex]](images/latex/92ebe8a8725914695f0d47ead558bc8e7bcd9009_0.png "[tex]0 < z < 2[/tex]") .
b) La curva ![[tex]\vec{X}(u,0) = \vec{g}(u) = (2 \cdot cos(u) + 2, 0, 2 \cdot sen(u))[/tex]](images/latex/6f1149e5b154088dbf059b5fbb3656e8ab61f812_0.png "[tex]\vec{X}(u,0) = \vec{g}(u) = (2 \cdot cos(u) + 2, 0, 2 \cdot sen(u))[/tex]") es la parte superior de la semi circunferencia corrida, contenida en el plano de ecuación ![[tex]y = 0[/tex]](images/latex/d68991924c3bad48dae1e3c5234dbf78980a2b36_0.png "[tex]y = 0[/tex]") .
El punto en donde se está pidiendo es en ![[tex]\vec{g} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \left( 2 + \sqrt{2}, 0, \sqrt{2} \right )[/tex]](images/latex/95aad9efff0d53d7d0b91b2e6c153fb4f85a2e2b_0.png "[tex]\vec{g} \left(\frac{\pi}{4} \right) = \left( 2 + \sqrt{2}, 0, \sqrt{2} \right )[/tex]") . Entonces derivamos la función vectorial de 1 variable:
![[tex]\vec{g}^{'} (u) = ( -2 \cdot sen(u) , 0, 2 \cdot cos(u))[/tex]](images/latex/183325509f38d4a28fea25ce1fb02410bcaeca5a_0.png "[tex]\vec{g}^{'} (u) = ( -2 \cdot sen(u) , 0, 2 \cdot cos(u))[/tex]")
Evaluamos:
![[tex]\vec{g}^{'} \left( \frac{\pi}{4} \right) = ( -\sqrt{2} , 0, \sqrt{2})[/tex]](images/latex/d4f79add4c665791488a46760c105d101c22c2d6_0.png "[tex]\vec{g}^{'} \left( \frac{\pi}{4} \right) = ( -\sqrt{2} , 0, \sqrt{2})[/tex]") . Este es el director de la tangente. La recta es
![[tex]\vec{L}: \quad \alpha \cdot (-1, 0, 1) + \left( 2 + \sqrt{2}, 0, \sqrt{2} \right ) = \left( 2 + \sqrt{2} - \alpha, 0, \sqrt{2} + \alpha \right )[/tex]](images/latex/a06f72e3773c00d639e1f37e4ffde840b1d949ea_0.png "[tex]\vec{L}: \quad \alpha \cdot (-1, 0, 1) + \left( 2 + \sqrt{2}, 0, \sqrt{2} \right ) = \left( 2 + \sqrt{2} - \alpha, 0, \sqrt{2} + \alpha \right )[/tex]")
La ecuación del plano es ![[tex]z = -\sqrt{2}[/tex]](images/latex/5b849e451efed3d5612fbc3fecc2b234b0393094_0.png "[tex]z = -\sqrt{2}[/tex]") . Entonces ![[tex]\sqrt{2} + \alpha = -\sqrt{2} \Longleftrightarrow \alpha = -2 \cdot \sqrt{2}[/tex]](images/latex/2d51d48edda49367e9c4157256e02be2025a7ea5_0.png "[tex]\sqrt{2} + \alpha = -\sqrt{2} \Longleftrightarrow \alpha = -2 \cdot \sqrt{2}[/tex]")
La intersección es ![[tex]\left( 2 + 3\cdot \sqrt{2}, 0, -\sqrt{2} \right )[/tex]](images/latex/a7747d916de2f3e70a42167e7245fc0ae82f9d73_0.png "[tex]\left( 2 + 3\cdot \sqrt{2}, 0, -\sqrt{2} \right )[/tex]")
El tercero
^{2} + (z-x)^{2} = y^{2} +2yz + 2 \cdot z^{2} - 2zx + x^{2} = 8[/tex]](images/latex/c60e264ee16343ef4bb7f20e4dcfac90053189e8_0.png "[tex](y+z)^{2} + (z-x)^{2} = y^{2} +2yz + 2 \cdot z^{2} - 2zx + x^{2} = 8[/tex]") . Si definimos ![[tex]F(x,y,z) = y^{2} +2yz + 2 \cdot z^{2} - 2zx + x^{2} - 8[/tex]](images/latex/38fff451557578d3aa68ddc3e6abcaa3a560fc25_0.png "[tex]F(x,y,z) = y^{2} +2yz + 2 \cdot z^{2} - 2zx + x^{2} - 8[/tex]") , tenemos que la curva de nivel cero de la función es la superficie en cuestión. Hallemos su gradiente:
![[tex]\nabla F(x,y,z) = (2x - 2z, 2y + 2z, 2y + 4z - 2x)[/tex]](images/latex/b0c334b8f5789304d63ddafef7ce57d0f4d3ca6b_0.png "[tex]\nabla F(x,y,z) = (2x - 2z, 2y + 2z, 2y + 4z - 2x)[/tex]")
Que este vector sea paralelo al plano que nos piden, es lo mismo que decir que la normal del plano y el gradiente del campo sean ortogonales. Es decir:
 \cdot (1,1,1) = 0 \Longleftrightarrow 4y + 4z = 0 \Longleftrightarrow y = -z [/tex]](images/latex/7a3f2a9067769e1b793050de2faddff34a674c85_0.png "[tex](2x - 2z, 2y + 2z, 2y + 4z - 2x) \cdot (1,1,1) = 0 \Longleftrightarrow 4y + 4z = 0 \Longleftrightarrow y = -z [/tex]")
Todos los puntos que cumplen están definidos por ^{2} = 8[/tex]](images/latex/636a2f73398a896b955dc4904e3dfb0b9567abb6_0.png "[tex](z-x)^{2} = 8[/tex]") . O sea ![[tex]x = z - \sqrt{8}[/tex]](images/latex/aeafe14d7796ea594c8f37e7d2b8465f83f9daa2_0.png "[tex]x = z - \sqrt{8}[/tex]") o bien ![[tex]x = z + \sqrt{8}[/tex]](images/latex/bd6a165c6cb2a513364e425efc184363c246b0b3_0.png "[tex]x = z + \sqrt{8}[/tex]") . Una curva que se puede dar como respuesta es:
![[tex]\vec{h}(t) = (t - \sqrt{8}, -t , t)[/tex]](images/latex/d6357e4cbca59ddb41e11fc1cd5520e48401d270_0.png "[tex]\vec{h}(t) = (t - \sqrt{8}, -t , t)[/tex]") con ![[tex]t \in \Re[/tex]](images/latex/9a5d5bdafdb112a27f6ee90e06a2f5d8bbdcad45_0.png "[tex]t \in \Re[/tex]")
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Última edición por Jackson666 el Lun Dic 06, 2010 11:54 am, editado 1 vez
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Flopy Gonzalez
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Dos me han dado bien, gracias! Me sacas las dudas siempre.
para el 1º los unicos datos que me dan es que a<0>0 y que f''xx>0 para que me de un minimo, presumo que sera asi el ejercicio, igual como que me trabado con el. ¿Como lo resolverias?
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Jackson666
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Es que, te repito. Si está así redactado, tal cual o pusiste acá, está mal. O sea, no está bien expresado pero uno puede interpretar que le están pidiendo que el mínimo tenga valor -1 (pero no debería ser así).
La función como la escribí yo está bien?
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Flopy Gonzalez
Nivel 3
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| Ah entiendo entiendo, si asi la función esta bien.Lo copie tal cual esta escrito en el parcial.
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Flopy.-
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Jackson666
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Bueno, entonces le MANDAMO' FRUTA. 
The function:
The gradient (?): ![[tex]\nabla f(x, y) = (2x -2a + 2xy^{2}, 2yx^{2} + 2y)[/tex]](images/latex/bbede405d3cef27517b3004a34fcf1dfe3c462f6_0.png "[tex]\nabla f(x, y) = (2x -2a + 2xy^{2}, 2yx^{2} + 2y)[/tex]")
Buscamos critical points (?):  = (0,0) \Longleftrightarrow 2x -2a + 2xy^{2} = 0 \quad \wedge \quad 2yx^{2} + 2y = 0[/tex]](images/latex/08fe27bfb25f5e49313334714c28980933f66a20_0.png "[tex](2x -2a + 2xy^{2}, 2yx^{2} + 2y) = (0,0) \Longleftrightarrow 2x -2a + 2xy^{2} = 0 \quad \wedge \quad 2yx^{2} + 2y = 0[/tex]")
Resolvemos este sistemita: ![[tex]2yx^{2} + 2y = 0 \Longleftrightarrow 2y (x^{2} + 1) = 0 \Longleftrightarrow y = 0[/tex]](images/latex/6f4a08af3ba75037c695653c35f217d4d3fa56c6_0.png "[tex]2yx^{2} + 2y = 0 \Longleftrightarrow 2y (x^{2} + 1) = 0 \Longleftrightarrow y = 0[/tex]") . Reemplazamos en "the other equation" (?):
![[tex]2x -2a = 0 \Longleftrightarrow x = a[/tex]](images/latex/6d74566373b936048503085bf0cee190f8e5392f_0.png "[tex]2x -2a = 0 \Longleftrightarrow x = a[/tex]")
Entonces, todos los puntos en donde el gradiente se anula son de la pinta [/tex]](images/latex/a2180dea2e2b8e549b227cdd260639ff65697928_0.png "[tex](a,0)[/tex]") .
Calculemos el determinante de la matriz Jacobiana del gradiente (Hessiano):
![[tex]J \,\, \left( \nabla f(x,y) \right) = \left[ \begin{array}{cc} 2 + 2 y^{2} & 4xy \\ 4xy & 2x^{2} + 2 \end{array} \right] \Longrightarrow J \,\, \left( \nabla f(a,0) \right) = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2a^{2} + 2 \end{array} \right][/tex]](images/latex/dc160b3c5f9e9611b25237705a5bafab58d8f5d3_0.png "[tex]J \,\, \left( \nabla f(x,y) \right) = \left[ \begin{array}{cc} 2 + 2 y^{2} & 4xy \\ 4xy & 2x^{2} + 2 \end{array} \right] \Longrightarrow J \,\, \left( \nabla f(a,0) \right) = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2a^{2} + 2 \end{array} \right][/tex]")
Ahora hay que pedir que ![[tex]4a^{2} + 4 \ge 0[/tex]](images/latex/7e8499680cd4bc7cc417114a347bdb37cda2635f_0.png "[tex]4a^{2} + 4 \ge 0[/tex]") . Lo que se cumple para cualquier valor de a.
Como última condición hay que cumplir que ![[tex]f(a, 0) = -1[/tex]](images/latex/ae0f8a6a59860a9cdf6348d9f915c504e258a74b_0.png "[tex]f(a, 0) = -1[/tex]") , entonces ![[tex]f(a,0) = a^{2} - 2a^{2} = - a^{2} = -1 \Longleftrightarrow 1 - a^{2} = 0[/tex]](images/latex/8a867715efde10911d33b4333310092d37b44e78_0.png "[tex]f(a,0) = a^{2} - 2a^{2} = - a^{2} = -1 \Longleftrightarrow 1 - a^{2} = 0[/tex]") cosa que se cumple sólo cuando ![[tex]|a| = 1[/tex]](images/latex/d6ffd7288c05002626d9aa3a5ed2cf8c4ff898de_0.png "[tex]|a| = 1[/tex]") . La solución que nos sirve es ![[tex]a = -1[/tex]](images/latex/060d10886018322182a58979a0b9f0e211db6734_0.png "[tex]a = -1[/tex]")
Concluimos que el que escribió el enunciado estaba pasado de copas.
Saludos.
EDIT: Había un error de cuentas en el último paso.
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Última edición por Jackson666 el Dom Ene 23, 2011 10:24 am, editado 1 vez
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Flopy Gonzalez
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Buenisimo, ambos mandamos fruta a la vez, muchas gracias por tu ayuda,no dudes que vuelva a consultarte por este medio en 1 hora jajaja.
Graciaaaaaasss!!
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Flopy.-
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Jackson666
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Ojo, por ahí pifié en algo y no me estoy dando cuenta. La verdad lo revisé y no le encuentro error.
Cuando yo rendí el final, en un momento me levanté para comentarle a un profesor que el ejercicio de extremos tenía mal el enunciado: te pedía encontrar un número positivo para que se cumpliera algo parecido a esto y te daba que siempre tenía que ser negativo ese número.
Me dijo: "revisalo bien". A los 5 minutos, se levantaron varios más a decirle lo mismo, cosa con la que el tipo empezó a dudar; llamó al que había hecho el final y aparentemente se "había olvidado" de decirle que el final tenía un error 
Así que chequeate bien las cuentas de la verdura que mandé acá arriba; si no encontrás error es probable que el enunciado haya estado mal.
Saludos!
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Flopy Gonzalez
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| Esta bien lo revise, solo que a=-1 por lacondición del enunciado de lamanera que yo lo saqué, pero hicimos casi las mismas cuentas,ahora estoy con el parcial del 6 de agosto de 2009. Graciaaaas!
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Flopy.-
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Jackson666
Nivel 9
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O sea que alguno de los 2 le pifió en algo 
Cuando puedas, si encontras quien de los 2 fue avisa así no queda el ejercicio acá posteado con posibilidad de que esté mal (:
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Flopy Gonzalez
Nivel 3
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Ayer fui a la consulta, me dijeron que estaba bien, asi que no mandamos ninguna fruta XD.
Tengo otro, pero hay un item que no me da, es el ultimo y me da 0 no mayor que cero, doy el enunciado:
Sea f una función diferenciable en R2, calcular el gradiente de la función en el punto (0,2) sabiendo que:
- C esta descripta en coordenadas polares por R=-4sen(t) en la curva de nivel cero de f.
- La norma del gradiente de f en el punto (0,2) es 3
- La derivada direccional de f en el punto (0,2) y en la dirección (1,0) es mayor que cero.
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Flopy.-
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Fabricio
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Te digo masomenos lo que hice yo, no me convence para nada pero a lo ultimo se me cumplen las condiciones
primero pase la parametrizacion esa de polares a cartesianas multiplicando por R en ambos lados y luego completando cuadrados llegas a:
![[tex]x^2+(y+2)^2=4[/tex]](images/latex/aa167908be9bccdecad8e1383e5568d017b68bb7_0.png "[tex]x^2+(y+2)^2=4[/tex]")
lo parametrizas de nuevo para que te quede en funcion de una sola variable, en mi caso despeje todo en funcion de x, y luego a x la nombre "t"
![[tex]\gamma(t): (t, \sqrt{4-t^2}-2)[/tex]](images/latex/da6c8c888d1087f23bf6775b6a18e416319850b3_0.png "[tex]\gamma(t): (t, \sqrt{4-t^2}-2)[/tex]")
Derivas al curva para sacar el vector tangente a la misma
![[tex]\gamma'(t): (1, \frac{-t}{\sqrt{4-t^2}})[/tex]](images/latex/15758a5fc3728d7557642a5b1694ed26365ad894_0.png "[tex]\gamma'(t): (1, \frac{-t}{\sqrt{4-t^2}})[/tex]")
Ahora vos sabes que el vector tangente es ortogonal al gradiente, entonces, un vector ortogonal a la curva seria
[/tex]](images/latex/e7fe39100148a29fb439354ac5e003531297d585_0.png "[tex](\frac{t}{\sqrt{4-t^2}},1)[/tex]") ya de ahi sale la componente "y" del gradiente de f
para averiguar la ![[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[/tex]](images/latex/e5600e19ee99b39e01d9144d863e985f1a2254f0_0.png "[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[/tex]") , impones la condicion de ![[tex]||\nabla f(0,2) ||=3[/tex]](images/latex/5e6424485bc4aa9d9e2c88dd9373cc3df8a8cac1_0.png "[tex]||\nabla f(0,2) ||=3[/tex]")
)^2+(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,2))^2=3^2[/tex]](images/latex/38eb44e97d9d1f69e1f4d8a82605bb6523c6e185_0.png "[tex](\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,2))^2+(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,2))^2=3^2[/tex]")
reemplazas por ![[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,2)= 1[/tex]](images/latex/423083f1a8343cd6f8c5c426830e07f553775292_0.png "[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,2)= 1[/tex]")
y llegas a ![[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=\sqrt{8}[/tex]](images/latex/52a0728148f8b30a3eb561d27e39b7655910ce2d_0.png "[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=\sqrt{8}[/tex]")
si lo verificas en la condicion de la derivada direccional (que se puede aplicar la regla de gradiente por versor, porque f es una funcion diferenciable)
![[tex]f'((0,2).(1,0))>0[/tex]](images/latex/ae21ddcb8ce62e6cdf83dd7214006b1fc4ac92ea_0.png "[tex]f'((0,2).(1,0))>0[/tex]")
![[tex]\nabla f(0,2).(1,0)>0[/tex]](images/latex/d7cfed48d3b6be8c51625d6d6be937db0cab09a5_0.png "[tex]\nabla f(0,2).(1,0)>0[/tex]")
.(1,0)>0[/tex]](images/latex/4bf7fff9933851615e9015218ecd54b08c410591_0.png "[tex](\sqrt{8}, 1).(1,0)>0[/tex]")
![[tex] \sqrt{8}>0[/tex]](images/latex/0e78d4194392febb9baad8b1174c45485ec5f461_0.png "[tex] \sqrt{8}>0[/tex]")
por lo tanto ![[tex]\nabla f(0,2)=(\sqrt{8} , 1)[/tex]](images/latex/24e484781bc104ecfd15fab0b982c7116d0cd2d3_0.png "[tex]\nabla f(0,2)=(\sqrt{8} , 1)[/tex]")
no se si estará bien pero buen 
edit: habia sacado mal el vector ortogonal, era un 1 en la segunda componente
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
Última edición por Fabricio el Mar Dic 07, 2010 1:59 pm, editado 2 veces
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Jackson666
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| No revisé las cuentas, pero convendría parametrizar con senos y cosenos en todo caso
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ziont
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Carrera: Mecánica
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Trate de hacerlo, pero a mi no da el primer item, que indica la dirección del gradiente. El 2º item indica el módulo y el 3º el sentido.
Del 3º item, como la función es diferenciable (incluyendo al punto), entonces:
![[tex] D_v \left( 0 , 2 \right) = \nabla f \left( 0 , 2 \right) \cdot v = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) , \frac{\partial f}{\partial y} \left( 0 , 2 \right) \right) \cdot \left( 1 , 0 \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) > 0 [/tex]](images/latex/6556a21b510d97e175e32c63c14ef9d7b48cf208_0.png "[tex] D_v \left( 0 , 2 \right) = \nabla f \left( 0 , 2 \right) \cdot v = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) , \frac{\partial f}{\partial y} \left( 0 , 2 \right) \right) \cdot \left( 1 , 0 \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) > 0 [/tex]")
Del 2º item:
[tex] \left\Vert \nabla f \left( 0 , 2 \right) \right\Vert = sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \left( 0 , 2 \right) \right) \right)^2 } = 3 \rightarrow \left( \frac{\partial f}{\partial x} \left( 0 , 2 \right) \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \left( 0 , 2 \right) \right) \right)^2 = 9 [/tex]
Ahora con el 1º item tengo problemas porque cuando lo paso a cartesianas, me da que ![[tex] \left( 0 , 2 \right) \notin C [/tex]](images/latex/19bf48ec3757a20e4704db82a4204a794bf5a480_0.png "[tex] \left( 0 , 2 \right) \notin C [/tex]") . Si perteneciese, entonces derivaría la ecuación paramétrica para encontrar la dirección de la recta tangente a (0,2) y ahí busco la perpendicular a esa dirección, que es la dirección del gradiente que buscamos. Paso de polares a cartesianas:
![[tex] r = -4 \sen (t) \rightarrow r^2 = -4 r \sen (t) \rightarrow x^2+y^2=-4y \rightarrow x^2+y^2+4y+4=4 \rightarrow x^2+\left(y+2\right) ^2 =4[/tex]](images/latex/78d62c1b215bd1aa68ac53bc70910fc1ac8c39d7_0.png "[tex] r = -4 \sen (t) \rightarrow r^2 = -4 r \sen (t) \rightarrow x^2+y^2=-4y \rightarrow x^2+y^2+4y+4=4 \rightarrow x^2+\left(y+2\right) ^2 =4[/tex]")
Acá se ve claramente que si reemplazamos a x e y por 0 y 2, no se cumple la ecuación. A ver si alguien encuentra algún error, pero creo que está bien (grafiqué en un programa a la ecuación polar y a la cartesiana, y me da que es la misma curva). O sino, creo que debe haber alguna otra forma de hacerlo que no se me ocurre ahora.
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Flopy Gonzalez
Nivel 3
Registrado: 29 Mar 2010
Mensajes: 44
Carrera: Civil
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Nada que ver a como lo hice  . Por un lado si tenes razon, pero lo hice de una forma completamente distinta. Creo que lo complique cuando me dice que la curva de nivel debe ser la curva de nivel cero tal que si esta evaluado en el punto debe darme cero... o eso pienso... eso es mi quilombo
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Flopy.-
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